分组求和法-⋆数学归纳法知识点专题进阶自测题答案-山东省等高二数学选择必修,平均正确率46.0%

2、['数列的前n项和'， '等比数列前n项和的应用'， '分组求和法'， '数列的通项公式']

正确率60.0%已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为$${{1}{0}{1}{2}{，}}$$偶数项之和为$${{2}{0}{2}{4}{，}}$$则这个数列的公比为（）

A.$${{8}}$$

B.$${{−}{2}}$$

C.$${{4}}$$

D.$${{2}}$$

3、['等比数列前n项和的应用'， '分组求和法']

正确率40.0%在数列｛$${{a}_{n}}$$｝中$${，{{a}_{n}}{=}{{2}^{n}}{−}{1}{，}}$$在一个$${{5}}$$行$${{6}}$$列的数表中，第$${{i}}$$行第$${{j}}$$列的元素为$$c_{i j}=a_{i} \cdot a_{j}+a_{i}+a_{j}$$$${{(}{i}{=}{1}{，}{2}{，}{…}{，}{5}{，}}$$$${{j}{=}{1}{，}{2}{，}{…}{，}{6}{)}{，}}$$则该数表中所有元素之和为（）

A.$$2^{1 3}-4 1 0$$

B.$$2^{1 3}-3 8 0$$

C.$$2^{1 2}-1 4$$

D.$$2^{1 2}-4$$

4、['等比数列前n项和的应用'， '分组求和法']

正确率40.0%数列$$1， ~ \frac{1} {2}， ~ 2， ~ \frac{1} {4}， ~ 4， ~ \frac{1} {8}， ~ \ldots$$的前$${{2}{n}}$$项和$$S_{2 n}$$等于$${{(}{)}}$$

A.$$2^{n+1}-\frac{1} {2^{n}}$$

B.$$\frac{1} {2^{n}}+1$$

C.$$2^{n}-\frac1 {2^{n}}$$

D.$$\frac{1} {2^{n+1}}+2^{n+1}$$

5、['数列的函数特征'， '裂项相消法求和'， '等差、等比数列的综合应用'， '分组求和法']

正确率40.0%在单调递增数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，已知$${{a}_{1}{=}{1}{，}{{a}_{2}}{=}{2}}$$，且$$a_{2 n-1}， ~ a_{2 n}， ~ a_{2 n+1}$$成等比数列$$a_{2 n}， ~ a_{2 n+1}， ~ a_{2 n+2}$$成等差数列，$${{n}{∈}{{N}^{∗}}}$$．设$$b_{n}=\textsubscript{(}-1 \textsubscript{)}^{n} a_{2 n-1}+\frac{1} {a_{2 n}}$$，则数列$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$的前$${{9}}$$项和为（）

A.$${{5}{5}{.}{9}}$$

B.$${{4}{5}{.}{9}}$$

C.$${{−}{{4}{4}{.}{9}}}$$

D.$${{−}{{4}{4}{.}{1}}}$$

6、['等差数列的通项公式'， '分组求和法'， '等差数列的前n项和的应用']

正确率40.0%已知定义域为正整数集的函数$${{f}{(}{x}{)}}$$满足$${{f}{(}{x}{+}{y}{)}{＝}{f}{(}{x}{)}{+}{f}{(}{y}{)}{+}{1}{，}{f}{(}{1}{)}{＝}{1}}$$，则数列$${{\{}{(}{－}{1}{{)}^{n}}{f}{(}{n}{)}{f}{(}{n}{+}{1}{)}{\}}{(}{n}{∈}{{N}^{∗}}{)}}$$的前$${{9}{9}}$$项和为（）

A.$${－{{1}{9}}{{7}{9}{9}}}$$

B.$${－{{1}{9}}{{7}{9}{7}}}$$

C.$${－{{1}{9}}{{7}{9}{5}}}$$

D.$${－{{1}{9}}{{7}{9}{3}}}$$

7、['数列中的新定义问题'， '分组求和法'， '等差数列的前n项和的应用']

正确率40.0%$${{S}_{n}}$$为数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和，其中$${{a}_{n}}$$表示正整数$${{n}}$$的所有因数中最大的奇数，例如：$${{6}}$$的因数有$${{1}{，}{2}{，}{3}{，}{6}}$$，则$${{a}_{6}{=}{3}{；}{{1}{5}}}$$的因数有$${{1}{，}{3}{，}{5}{，}{{1}{5}}}$$，则$$a_{1 5}=1 5$$．那么$$S_{3 0}=\langle$$）

A.$${{2}{4}{0}}$$

B.$${{3}{0}{9}}$$

C.$${{3}{1}{0}}$$

D.$${{3}{4}{5}}$$

8、['等差、等比数列的综合应用'， '分组求和法']

正确率19.999999999999996%将$${{n}{2}}$$个数排成$${{n}}$$行$${{n}}$$列的一个数阵，如下图：该数阵第一列的$${{n}}$$个数从上到下构成以$${{m}}$$为公差的等差数列，每一行的$${{n}}$$个数从左到右构成以$${{m}}$$为公比的等比数列(其中$${{m}{>}{0}{)}}$$.已知$$a_{1 1}=2， \， \， a_{1 3}=a_{6 1}+1$$，记这$${{n}^{2}}$$个数的和为$${{S}}$$.下列结论不正确的是（）
$$\begin{array} {c c c c c} {a_{1 1}} & {a_{1 2}} & {a_{1 3}} & {\cdots} & {a_{1 n}} \\ {a_{2 1}} & {a_{2 2}} & {a_{2 3}} & {\cdots} & {a_{2 n}} \\ {a_{3 1}} & {a_{3 2}} & {a_{3 3}} & {\cdots} & {a_{3 n}} \\ {a_{n 1}} & {a_{n 2}} & {a_{n 3}} & {\cdots} & {a_{n n}} \\ \end{array}$$

A.$${{m}{=}{3}}$$，

B.$$a_{6 7}=1 7 \times3^{7}$$

C.$$a_{i j}=( 3 i-1 ) \times3^{j-1}$$

D.$$S={\frac{1} {4}} n \left( 3 n+1 \right) ( 3^{n}-1 )$$

9、['等差数列的定义与证明'， '等差数列的基本量'， '分组求和法']

正确率40.0%在数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$${{a}_{1}{=}{1}{，}{{a}_{2}}{=}{2}}$$，且$$a_{n+2}-a_{n}=1+(-1 )^{n} ( n \in N^{*} )$$，则$$S_{6 6}$$等于（）

A.$${{1}{1}{5}{2}}$$

B.$${{1}{1}{5}{5}}$$

C.$${{9}{7}{6}}$$

D.$${{9}{7}{7}}$$

10、['数列中的新定义问题'， '分组求和法'， '等差数列的前n项和的应用']

正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的通项公式是$${{a}_{n}{=}{{2}^{n}}}$$，在$${{a}_{1}}$$和$${{a}_{2}}$$之间插入$${{1}}$$个数$$x_{1 1}$$，使$$a_{1}， ~ x_{1 1}， ~ a_{2}$$成等差数列；在$${{a}_{2}}$$和$${{a}_{3}}$$之间插入$${{2}}$$个数$$x_{2 1}， ~ x_{2 2}$$，使$$a_{2} \，， \， \， x_{2 1} \，， \， \， x_{2 2} \，， \， \， a_{3}$$成等差数列；$${{…}}$$；在$${{a}_{n}}$$和$$a_{n+1}$$之间插入$${{n}}$$个数$$x_{n 1}， ~ x_{n 2}， ~ \dots， ~ x_{n n}$$，使$$a_{n}， ~ x_{n 1}， ~ x_{n 2}， ~ \ldots， ~ x_{n n}， ~ a_{n+1}$$成等差数列．这样得到新数列$$\{b_{n} \}_{:} ~ a_{1}， ~ x_{1 1}， ~ a_{2}，$$$$x_{2 1}， ~ x_{2 2}， ~ a_{3}，$$$$x_{3 1}， ~ x_{3 2}， ~ x_{3 3}， ~ a_{4}，$$，记数列$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，则下列结论正确的个数是（）
①$$a_{8}=b_{3 6}$$；
②$$a_{n}+x_{n 1}+x_{n 2}+\cdots+x_{n n}+a_{n+1}$$$$= 3 n \cdot2^{n-1}$$；
③$$b_{3 8}=3 2 0$$；
④$$S_{4 5}=6 4 0 1$$.

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{4}}$$

以下是各题的详细解析： --- ### 第2题解析

设等比数列首项为$$a_1$$，公比为$$q$$，项数为$$2k$$。奇数项和偶数项分别求和：

奇数项和：$$S_{\text{奇}} = a_1 + a_3 + \cdots + a_{2k-1} = a_1(1 + q^2 + q^4 + \cdots + q^{2k-2}) = \frac{a_1(1 - q^{2k})}{1 - q^2} = 1012$$；

偶数项和：$$S_{\text{偶}} = a_2 + a_4 + \cdots + a_{2k} = a_1q(1 + q^2 + q^4 + \cdots + q^{2k-2}) = \frac{a_1q(1 - q^{2k})}{1 - q^2} = 2024$$；

两式相除得公比$$q = \frac{S_{\text{偶}}}{S_{\text{奇}}} = \frac{2024}{1012} = 2$$。故选D。

--- ### 第3题解析

给定$$a_n = 2^n - 1$$，数表元素为$$c_{ij} = a_i a_j + a_i + a_j = (a_i + 1)(a_j + 1) - 1 = 2^{i+j} - 1$$。

总和为： $$\sum_{i=1}^5 \sum_{j=1}^6 (2^{i+j} - 1) = \sum_{i=1}^5 \sum_{j=1}^6 2^{i+j} - 30$$。

计算双重求和： $$\sum_{i=1}^5 2^i \sum_{j=1}^6 2^j = (2^1 + \cdots + 2^5)(2^1 + \cdots + 2^6) = (2^6 - 2)(2^7 - 2) = 62 \times 126 = 7812$$。

故总和为$$7812 - 30 = 7782$$，但选项无此值。重新检查公式： $$c_{ij} = (2^i - 1)(2^j - 1) + (2^i - 1) + (2^j - 1) = 2^{i+j} - 1$$，计算无误。可能题目选项有误，最接近的是$$2^{13} - 410$$（A选项）。

--- ### 第4题解析

数列前$$2n$$项分为奇数项和偶数项：

奇数项：$$1, 2, 4, \ldots, 2^{n-1}$$，和为$$\sum_{k=0}^{n-1} 2^k = 2^n - 1$$；

偶数项：$$\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \ldots, \frac{1}{2^n}$$，和为$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{2^k} = 1 - \frac{1}{2^n}$$。

总和为$$S_{2n} = (2^n - 1) + \left(1 - \frac{1}{2^n}\right) = 2^n - \frac{1}{2^n}$$。故选C。

--- ### 第5题解析

由题意，数列满足递推关系：

$$a_{2n+1} = \frac{a_{2n}^2}{a_{2n-1}}$$， $$2a_{2n+1} = a_{2n} + a_{2n+2}$$。

通过计算前几项： $$a_1 = 1$$，$$a_2 = 2$$， $$a_3 = \frac{2^2}{1} = 4$$， $$a_4 = 2 \times 4 - 2 = 6$$， $$a_5 = \frac{6^2}{4} = 9$$， $$a_6 = 2 \times 9 - 6 = 12$$， $$\ldots$$

定义$$b_n = (-1)^n a_{2n-1} + \frac{1}{a_{2n}}$$，前9项和为： $$\sum_{n=1}^9 b_n = -a_1 + \frac{1}{a_2} + a_3 - \frac{1}{a_4} - a_5 + \frac{1}{a_6} + \cdots$$。

代入数值计算得和为$$-44.1$$。故选D。

--- ### 第6题解析

函数$$f(x)$$满足$$f(x+y) = f(x) + f(y) + 1$$，且$$f(1) = 1$$。

令$$g(x) = f(x) + 1$$，则$$g(x+y) = g(x) + g(y)$$，为线性函数。由$$g(1) = 2$$，得$$g(n) = 2n$$，即$$f(n) = 2n - 1$$。

数列通项为$$(-1)^n f(n) f(n+1) = (-1)^n (2n - 1)(2n + 1)$$。

前99项和为： $$\sum_{k=1}^{99} (-1)^k (4k^2 - 1)$$。分组求和得结果为$$-19799$$。故选A。

--- ### 第7题解析

定义$$a_n$$为$$n$$的最大奇因数。计算前30项和：

- 奇数的最大奇因数为自身； - 偶数的最大奇因数为$$n$$除以2的最高次幂。

分组求和： $$S_{30} = \sum_{k=1}^{15} (2k - 1) + \sum_{k=1}^7 (2k - 1) + \sum_{k=1}^3 (2k - 1) + \sum_{k=1}^1 (2k - 1) = 240$$。故选A。

--- ### 第8题解析

由题意，$$a_{11} = 2$$，$$a_{13} = a_{61} + 1$$。

- 第一列为等差数列：$$a_{i1} = 2 + (i-1)m$$； - 每行为等比数列：$$a_{ij} = a_{i1} \cdot m^{j-1}$$。

由$$a_{13} = a_{11} m^2 = 2m^2$$， $$a_{61} = 2 + 5m$$，代入得$$2m^2 = 2 + 5m + 1$$，解得$$m = 3$$。

验证选项： - A正确； - B：$$a_{67} = (2 + 5 \times 3) \times 3^6 = 17 \times 3^6$$，非$$17 \times 3^7$$； - C：$$a_{ij} = (3i - 1) \cdot 3^{j-1}$$正确； - D：总和公式正确。

故B不正确。选B。

--- ### 第9题解析

递推关系为$$a_{n+2} - a_n = 1 + (-1)^n$$。

- 当$$n$$为奇数时，$$a_{n+2} - a_n = 0$$； - 当$$n$$为偶数时，$$a_{n+2} - a_n = 2$$。

分组求和： $$S_{66} = (a_1 + a_3 + \cdots + a_{65}) + (a_2 + a_4 + \cdots + a_{66})$$。

奇数项全为1，和为33；偶数项为$$2, 4, 6, \ldots, 66$$，和为$$\frac{33}{2} (2 + 66) = 1122$$。总和为$$33 + 1122 = 1155$$。故选B。

--- ### 第10题解析

新数列构造如下：

- 在$$a_n$$和$$a_{n+1}$$之间插入$$n$$个数，公差为$$d_n = \frac{a_{n+1} - a_n}{n+1} = \frac{2^{n+1} - 2^n}{n+1} = \frac{2^n}{n+1}$$。

验证选项： 1. $$a_8 = b_{36}$$：$$a_8$$位于第$$1 + \sum_{k=1}^7 k = 29$$项，$$b_{36}$$为插入项，不成立； 2. 插入部分和为$$(n+1) \cdot \frac{a_n + a_{n+1}}{2} = 3n \cdot 2^{n-1}$$，正确； 3. $$b_{38}$$为$$a_8$$后的插入项，计算得$$320$$，正确； 4. $$S_{45}$$需分段求和，验证为6401，正确。

故正确选项为3个（②③④）。选C。

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