.jpg)
正确率40.0%定义$$\frac{n} {p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{n}}$$为$${{n}}$$个正数$${{p}_{1}{，}{{p}_{2}}{，}{…}{…}{{p}_{n}}}$$的$${{“}}$$均倒数$${{”}}$$．若已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项的$${{“}}$$均倒数$${{”}}$$为$$\frac{1} {2 n+1}$$，又$$b_{n}=\frac{a_{n}+1} {4}$$，则$$\frac1 {b_{1} b_{2}}+\frac1 {b_{2} b_{3}}+\cdots+\frac1 {b_{1 4} b_{1 5}}=$$（）.
B
A.$$\frac{1 3} {1 4}$$
B.$$\frac{1 4} {1 5}$$
C.$$\frac{1} {1 4}$$
D.$$\frac{1 1} {1 5}$$
2、['数列的递推公式'， '其他方法求数列通项'， '等比数列的基本量']正确率40.0%数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{a}_{1}{+}{{a}_{2}}{+}{{a}_{3}}{+}{⋯}{⋯}{+}{{a}_{n}}{=}{{2}^{n}}{−}{1}}$$，则$${{a}^{2}_{1}{+}{{a}^{2}_{2}}{+}{{a}^{2}_{3}}{+}{⋯}{⋯}{+}{{a}^{2}_{n}}{=}}$$$${{(}{)}}$$
D
A.$${{(}{{2}^{n}}{−}{1}{)}^{2}}$$
B.$$\frac{1} {3} ( 2^{n}-1 )$$
C.$${{4}^{n}{−}{1}}$$
D.$$\frac{1} {3} ( 4^{n}-1 )$$
3、['其他方法求数列通项'， '数列的通项公式']正确率60.0%数列$$1， ~-\frac{3} {4}， ~ \frac{1} {2}， ~-\frac{5} {1 6}， ~ \ldots.$$的一个通项公式为（）
A
A.$$(-1 )^{n+1} \cdot\frac{n+1} {2^{n}}$$
B.$$(-1 )^{n+1} \frac{2 n-1} {2^{n}}$$
C.$$( \ y-1 )^{\ y+1} \frac{n+1} {2 n}$$
D.$$(-1 )^{n+1} \frac{2 n-1} {2 n}$$
4、['数列的前n项和'， '等差数列的定义与证明'， '其他方法求数列通项'， '数列的通项公式'， '等差数列的前n项和的应用']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和$${{S}_{n}{=}{{n}^{2}}{+}{n}}$$，则$${{a}_{1}{+}{{a}_{3}}{+}{{a}_{5}}{+}{{a}_{7}}{+}{{a}_{9}}{=}{（}}$$）
A
A.$${{5}{0}}$$
B.$${{4}{5}}$$
C.$${{9}{0}}$$
D.$${{8}{0}}$$
5、['等差数列的通项公式'， '数列的递推公式'， '等差数列的定义与证明'， '其他方法求数列通项']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$$a_{1}=1， \， \， a_{n+1}={\frac{2 a_{n}} {a_{n}+2}} \， \， ( \， n \in N * )$$，则$${{a}_{5}}$$等于（）
B
A.$$\frac{2} {5}$$
B.$$\frac{1} {3}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
6、['等比数列的通项公式'， '其他方法求数列通项'， '等比数列的定义与证明'， '等比数列的基本量']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，且$${{S}_{n}{=}{2}{{a}_{n}}{−}{1}}$$，则$$\frac{S_{6}} {a_{6}}=( \eta)$$
A
A.$$\frac{6 3} {3 2}$$
B.$$\frac{3 1} {1 6}$$
C.$$\frac{1 2 3} {6 4}$$
D.$${\frac{1 2 7} {1 2 8}}$$
7、['数列的前n项和'， '数列的递推公式'， '等差数列的定义与证明'， '累乘法求数列通项'， '其他方法求数列通项'， '等比数列的定义与证明'， '数列的通项公式']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$$a_{1}=1， \， \， \frac{S_{n+1}} {S_{n}}=\frac{n+1} {n}$$，则数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$（）
B
A.既非等差数列，又非等比数列
B.既是等差数列，又是等比数列
C.仅为等差数列
D.仅为等比数列
8、['数列的递推公式'， '裂项相消法求和'， '其他方法求数列通项']正确率40.0%已知函数$${{f}{{(}{x}{)}}{=}{{a}_{1}}{x}{+}{{a}_{2}}{{x}^{2}}{+}{{a}_{3}}{{x}^{3}}{+}{…}{+}{{a}_{n}}{{x}^{n}}{{(}{n}{∈}{{N}^{∗}}{，}{x}{∈}{R}{)}}}$$，且对一切正整数$${{n}}$$都有$${{f}{(}{1}{)}{=}{{n}^{2}}}$$，则$$\frac1 {a_{1} a_{2}}+\frac1 {a_{2} a_{3}}+\frac1 {a_{3} a_{4}}+\ldots+\frac1 {a_{n} a_{n+1}} \left( \right)$$）
A
A.$$\frac{n} {2 n+1}$$
B.$$\frac{n^{2}} {2 n+1}$$
C.$$\frac{n} {2 n^{2}+1}$$
D.$$\frac1 {n ( 2 n+1 )}$$
9、['数列的前n项和'， '数列的递推公式'， '等比数列的通项公式'， '其他方法求数列通项'， '等比数列的基本量']正确率60.0%记数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$.若$${{2}{{S}_{n}}{=}{{a}_{n}}{+}{1}}$$，则$${{S}_{5}{=}}$$
A
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
10、['数列的前n项和'， '其他方法求数列通项'， '数列的通项公式']正确率40.0%在数列｛$${{a}_{n}}$$｝中，$${{a}_{1}{+}{{a}_{2}}{+}{{a}_{3}}{+}{…}{+}{{a}_{n}}{=}{{2}^{n}}{−}{1}{(}{n}{∈}{{N}^{∗}}{)}{，}}$$则$${{a}^{2}_{1}{+}{{a}^{2}_{2}}{+}{{a}^{2}_{3}}{+}{…}{+}{{a}^{2}_{n}}}$$等于（）
A
A.$$\frac{1} {3} ( 4^{n}-1 )$$
B.$$\frac{1} {3} ( 2^{n}-1 )$$
C.$${{4}^{n}{−}{1}}$$
D.$${{(}{{2}^{n}}{−}{1}{{)}^{2}}}$$
### 题目1解析根据题意，数列 $$\{a_n\}$$ 的前 $$n$$ 项的“均倒数”为 $$\frac{1}{2n+1}$$，即：
解得 $$S_n = n(2n+1)$$。当 $$n \geq 2$$ 时，$$a_n = S_n - S_{n-1} = n(2n+1) - (n-1)(2n-1) = 4n - 1$$。验证 $$n=1$$ 时，$$a_1 = S_1 = 3$$ 也满足通项公式。
定义 $$b_n = \frac{a_n + 1}{4} = \frac{4n - 1 + 1}{4} = n$$。因此，求和式为：
正确答案为 B。
--- ### 题目2解析已知数列 $$\{a_n\}$$ 的前 $$n$$ 项和为 $$S_n = 2^n - 1$$。当 $$n \geq 2$$ 时，$$a_n = S_n - S_{n-1} = 2^n - 1 - (2^{n-1} - 1) = 2^{n-1}$$。验证 $$n=1$$ 时，$$a_1 = S_1 = 1$$ 也满足通项公式。
因此，$$a_n^2 = (2^{n-1})^2 = 4^{n-1}$$。求和式为：
正确答案为 D。
--- ### 题目3解析观察数列 $$1, -\frac{3}{4}, \frac{1}{2}, -\frac{5}{16}, \ldots$$，可以发现分子为 $$1, 3, 1, 5, \ldots$$，分母为 $$1, 4, 2, 16, \ldots$$。进一步分析：
验证前几项：
- $$n=1$$: $$a_1 = (-1)^2 \cdot \frac{1}{2} = 1$$
- $$n=2$$: $$a_2 = (-1)^3 \cdot \frac{3}{4} = -\frac{3}{4}$$
- $$n=3$$: $$a_3 = (-1)^4 \cdot \frac{5}{8} = \frac{5}{8}$$（与题目不符，修正分母为 $$2^n$$）
重新观察分母应为 $$2^n$$，分子为 $$2n-1$$。因此通项公式为：
正确答案为 B。
--- ### 题目4解析已知数列 $$\{a_n\}$$ 的前 $$n$$ 项和 $$S_n = n^2 + n$$。当 $$n \geq 2$$ 时，$$a_n = S_n - S_{n-1} = n^2 + n - [(n-1)^2 + (n-1)] = 2n$$。验证 $$n=1$$ 时，$$a_1 = S_1 = 2$$ 也满足通项公式。
因此，$$a_1 + a_3 + a_5 + a_7 + a_9 = 2 + 6 + 10 + 14 + 18 = 50$$。
正确答案为 A。
--- ### 题目5解析已知递推关系 $$a_{n+1} = \frac{2a_n}{a_n + 2}$$，且 $$a_1 = 1$$。计算前几项：
- $$a_2 = \frac{2 \times 1}{1 + 2} = \frac{2}{3}$$
- $$a_3 = \frac{2 \times \frac{2}{3}}{\frac{2}{3} + 2} = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{8}{3}} = \frac{1}{2}$$
- $$a_4 = \frac{2 \times \frac{1}{2}}{\frac{1}{2} + 2} = \frac{1}{\frac{5}{2}} = \frac{2}{5}$$
- $$a_5 = \frac{2 \times \frac{2}{5}}{\frac{2}{5} + 2} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{12}{5}} = \frac{1}{3}$$
正确答案为 B。
--- ### 题目6解析已知 $$S_n = 2a_n - 1$$。当 $$n \geq 2$$ 时，$$a_n = S_n - S_{n-1} = 2a_n - 1 - (2a_{n-1} - 1)$$，化简得 $$a_n = 2a_{n-1}$$。验证 $$n=1$$ 时，$$S_1 = a_1 = 2a_1 - 1$$，解得 $$a_1 = 1$$。
因此，数列 $$\{a_n\}$$ 是首项为 $$1$$、公比为 $$2$$ 的等比数列，通项公式为 $$a_n = 2^{n-1}$$。前 $$n$$ 项和为 $$S_n = 2^n - 1$$。
计算 $$\frac{S_6}{a_6} = \frac{2^6 - 1}{2^5} = \frac{63}{32}$$。
正确答案为 A。
--- ### 题目7解析已知 $$\frac{S_{n+1}}{S_n} = \frac{n+1}{n}$$，即 $$S_{n+1} = \frac{n+1}{n} S_n$$。展开递推关系：
因为 $$S_1 = a_1 = 1$$，所以 $$S_n = n$$。当 $$n \geq 2$$ 时，$$a_n = S_n - S_{n-1} = n - (n-1) = 1$$。验证 $$n=1$$ 时也成立。
因此，数列 $$\{a_n\}$$ 是常数列 $$a_n = 1$$，既是等差数列（公差为 $$0$$），又是等比数列（公比为 $$1$$）。
正确答案为 B。
--- ### 题目8解析已知 $$f(1) = a_1 + a_2 + \cdots + a_n = n^2$$，因此 $$S_n = n^2$$。当 $$n \geq 2$$ 时，$$a_n = S_n - S_{n-1} = n^2 - (n-1)^2 = 2n - 1$$。验证 $$n=1$$ 时，$$a_1 = 1$$ 也满足通项公式。
因此，$$a_n = 2n - 1$$。求和式为：
正确答案为 A。
--- ### 题目9解析已知 $$2S_n = a_n + 1$$。当 $$n \geq 2$$ 时，$$2S_{n-1} = a_{n-1} + 1$$，两式相减得 $$2a_n = a_n - a_{n-1}$$，即 $$a_n = -a_{n-1}$$。验证 $$n=1$$ 时，$$2S_1 = a_1 + 1$$，即 $$2a_1 = a_1 + 1$$，解得 $$a_1 = 1$$。
因此，数列 $$\{a_n\}$$ 是首项为 $$1$$、公比为 $$-1$$ 的等比数列，通项公式为 $$a_n = (-1)^{n-1}$$。前 $$n$$ 项和为：
计算 $$S_5 = \frac{1 - (-1)^5}{2} = 1$$。
正确答案为 A。
--- ### 题目10解析与题目2相同，数列 $$\{a_n\}$$ 的前 $$n$$ 项和为 $$S_n = 2^n - 1$$，通项公式为 $$a_n = 2^{n-1}$$，平方和为：
正确答案为 A。
题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱