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正确率40.0%“提丢斯数列”是由$${{1}{8}}$$世纪德国数学家提丢斯给出，具体如下：取一个数列
容易发现，从第$${{3}}$$项开始，每一项是前一项的$${{2}}$$倍，将每一项加上$${{4}}$$得到一个数列
再将每一项除以$${{1}{0}}$$后得到“提丢斯数列”，即$$0. 4， \ 0. 7， \ 1. 0， \ 1. 6， \ 2. 8， \ 5. 2， \ 1 0. 0， \ 1 9. 6， \ \ldots$$.则下列说法中正确的是（）
C
A.“提丢斯数列”是等比数列
B.“提丢斯数列”的第$${{9}{9}}$$项为$$\frac{3 \times2^{9 8}+4} {1 0}$$
C.“提丢斯数列”的前$${{3}{1}}$$项和为$$\frac{3 \times2^{3 0}} {1 0}+1 2. 1$$
D.“提丢斯数列”中不超过$${{2}{0}}$$的有$${{9}}$$项
2、['等比数列前n项和的应用'， '分组求和法']正确率40.0%在数列｛$${{a}_{n}}$$｝中$$， \， \， a_{n}=2^{n}-1，$$在一个$${{5}}$$行$${{6}}$$列的数表中，第$${{i}}$$行第$${{j}}$$列的元素为$$c_{i j}=a_{i} \cdot a_{j}+a_{i}+a_{j}$$$$( i=1， ~ 2， ~ \ldots， ~ 5，$$$$j=1， ~ 2， ~ \ldots， ~ 6 )，$$则该数表中所有元素之和为（）
A
A.$$2^{1 3}-4 1 0$$
B.$$2^{1 3}-3 8 0$$
C.$$2^{1 2}-1 4$$
D.$$2^{1 2}-4$$
3、['分组求和法'， '数列的通项公式']正确率40.0%已知数列｛$${{a}_{n}}$$｝的通项公式为$$a_{n}=\left\{\begin{array} {l l} {n^{2}， \; \; n \gg\sharp\sharp\sharp\sharp\sharp\sharp\sharp\sharp\sharp\sharp\sharp\sharp\sharp\sharp\sharp\sharp\sharp\sharp\sharp\sharp\sharp\sharp\sharp\sharp\sharp\sharp\sharp\sharp\sharp\sharp\end{array} \right.$$且$$b_{n}=a_{n}+a_{n+1}，$$则$$b_{1}+b_{2}+\ldots+b_{2 0 0}=$$（）
C
A.$${{−}{{4}{0}{0}}}$$
B.$${{4}{0}{0}}$$
C.$${{−}{{2}{0}{0}}}$$
D.$${{2}{0}{0}}$$
4、['数列的前n项和'， '等比数列前n项和的应用'， '分组求和法'， '数列的通项公式'， '等差数列的前n项和的应用']正确率60.0%已知数列$$2 \frac{1} {2}， ~ 4 \frac{1} {4}， ~ 6 \frac{1} {8}， ~ 8 \frac{1} {1 6}， ~ \ldots，$$则其前$${{n}}$$项和$${{S}_{n}{=}}$$（）
A
A.$$n^{2}+n+1-\frac{1} {2^{n}}$$
B.$$n^{2}+n-\frac{1} {2^{n}}$$
C.$$n^{2}+1-\frac{1} {2^{n-1}}$$
D.$$n^{2}+n+2-\frac{1} {2^{n-1}}$$
5、['等差数列的通项公式'， '数列的函数特征'， '分组求和法']正确率40.0%已知在等差数列｛$${{a}_{n}}$$｝中，$$a_{3}+a_{5}=a_{4}+7， \， \， a_{1 0}=1 9，$$则数列｛$$a_{n} \operatorname{c o s} n \pi$$｝的前$${{2}{0}{2}{0}}$$项和为（）
D
A.$${{1}{0}{0}{9}}$$
B.$${{1}{0}{1}{0}}$$
C.$${{2}{0}{1}{9}}$$
D.$${{2}{0}{2}{0}}$$
6、['数列的函数特征'， '裂项相消法求和'， '等差、等比数列的综合应用'， '分组求和法']正确率40.0%在单调递增数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，已知$$a_{1}=1， \， \， a_{2}=2$$，且$$a_{2 n-1}， ~ a_{2 n}， ~ a_{2 n+1}$$成等比数列$$a_{2 n}， ~ a_{2 n+1}， ~ a_{2 n+2}$$成等差数列，$${{n}{∈}{{N}^{∗}}}$$．设$$b_{n}=\textsubscript{(}-1 \textsubscript{)}^{n} a_{2 n-1}+\frac{1} {a_{2 n}}$$，则数列$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$的前$${{9}}$$项和为（）
D
A.$${{5}{5}{.}{9}}$$
B.$${{4}{5}{.}{9}}$$
C.$${{−}{{4}{4}{.}{9}}}$$
D.$${{−}{{4}{4}{.}{1}}}$$
7、['等比数列前n项和的应用'， '分组求和法'， '等差数列的前n项和的应用']正确率60.0%数列$$2 \l~ 2 \frac{1} {2}， ~ 3 \frac{1} {4}， ~ 4 \frac{1} {8}， ~ \ldots， ~ n+\frac{1} {2^{n-1}}， ~ \ldots$$的前$${{n}}$$项之和为
C
A.$$\frac{n ( n+1 )} {2}+2-\frac{1} {2^{n}}$$
B.$$\frac{n ( n+1 )} {2}+1-\frac{1} {2^{n}}$$
C.$$\frac{n^{2}+n+4} {2}-\frac{1} {2^{n-1}}$$
D.$$\frac{n^{2}-n+4} {2}-\frac{1} {2^{n-1}}$$
8、['等差数列的通项公式'， '等比数列的通项公式'， '等比数列前n项和的应用'， '等差、等比数列的综合应用'， '分组求和法'， '等差数列的前n项和的应用']正确率40.0%已知数列$$\{a_{n} \}， ~ \{b_{n} \}$$满足$$a_{1}=b_{1}=1，$$$$a_{n+1}-a_{n}=\frac{b_{n+1}} {b_{n}}=2， \ n \in\bf{N}_{+}$$，则数列$$\left\{b_{a_{n}}+\frac1 {3 0} \right\}$$的前$${{1}{0}}$$项的和为（）
C
A.$$\frac{1} {3} \， ( 4^{1 0}-1 )$$
B.$$\frac{1} {3} ( 4^{9}-1 )$$
C.$$\frac{4^{1 0}} {3}$$
D.$$\frac{4^{9}} {3}$$
9、['数列的递推公式'， '数列的函数特征'， '归纳推理'， '分组求和法']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{n+1}=a_{n}-a_{n-1} \， \， ( \， n \geqslant2 ) \， \，， \， \， a_{1}=m， \， \， a_{2}=n， \， \， S_{n}$$为数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和，则$$S_{2 0 1 7}$$的值为（）
C
A.$$2 0 1 7 n-m$$
B.$${{n}{−}{{2}{0}{1}{7}}{m}}$$
C.$${{m}}$$
D.$${{n}}$$
10、['等差数列的通项公式'， '其他方法求数列通项'， '等差数列的基本量'， '分组求和法']正确率40.0%设数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$$S_{n}， \， \， a_{1}=1， \， \， a_{n}=\frac{S_{n}} {n}+2 \， \， ( \， n-1 ) \， \， \，， \， \， \， \， \， ( \， n \in N^{*} \， )$$，若$$S_{1}+\frac{S_{2}} {2}+\frac{S_{3}} {3}+\ldots+\frac{S_{n}} {n}-( \mathit{n}-1 )^{\mathit{alpha}^{2}}=2 0 1 5$$，则$${{n}}$$的值为（）
A
A.$${{1}{0}{0}{8}}$$
B.$${{1}{0}{0}{7}}$$
C.$${{2}{0}{1}{4}}$$
D.$${{2}{0}{1}{5}}$$
1. 分析提丢斯数列的构造过程：
原始数列：$$0, 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, ...$$
从第3项起：$$a_n = 2a_{n-1}$$
加4后：$$b_n = a_n + 4$$
除以10：$$T_n = \frac{{b_n}}{{10}} = \frac{{a_n + 4}}{{10}}$$
通项公式：$$T_n = \frac{{3 \times 2^{n-2} + 4}}{{10}}$$（n≥3），$$T_1=0.4$$，$$T_2=0.7$$
A错误：不是等比数列
B正确：$$T_{99} = \frac{{3 \times 2^{97} + 4}}{{10}}$$
C错误：前31项和应为$$\frac{{3(2^{30}-1)}}{{10}} + 11 \times 0.4$$
D正确：计算得$$T_1$$到$$T_8$$均≤20，共8项
答案：B
2. 已知$$a_n = 2^n - 1$$，$$c_{ij} = a_i a_j + a_i + a_j$$
化简：$$c_{ij} = (2^i - 1)(2^j - 1) + (2^i - 1) + (2^j - 1) = 2^{i+j} - 1$$
总和：$$\sum_{i=1}^{5}\sum_{j=1}^{6} c_{ij} = \sum_{i=1}^{5}\sum_{j=1}^{6} (2^{i+j} - 1)$$
$$= \sum_{i=1}^{5}\sum_{j=1}^{6} 2^{i+j} - 30$$
$$= \sum_{i=1}^{5} 2^i \sum_{j=1}^{6} 2^j - 30 = (2^6-2)(2^7-2) - 30$$
$$= 62 \times 126 - 30 = 7812 - 30 = 7782$$
验证选项：$$2^{13} - 410 = 8192 - 410 = 7782$$
答案：A
3. 数列定义不完整，但根据选项推断：
可能$$a_n = n^2$$（n为奇数），$$a_n = -n^2$$（n为偶数）
$$b_n = a_n + a_{n+1} = n^2 - (n+1)^2 = -2n - 1$$（n为奇数）
$$b_n = -n^2 + (n+1)^2 = 2n + 1$$（n为偶数）
前200项中奇偶各100项：
$$S = \sum_{k=1}^{100} [-(2k-1)-1] + \sum_{k=1}^{100} [2k+1] = \sum_{k=1}^{100} (-4k) = -4 \times \frac{{100 \times 101}}{{2}} = -20200$$
但选项最大为±400，可能题目有误
答案：A（根据选项推断）
4. 数列：$$2\frac{{1}}{{2}}, 4\frac{{1}}{{4}}, 6\frac{{1}}{{8}}, 8\frac{{1}}{{16}}, ...$$
通项：$$a_n = 2n + \frac{{1}}{{2^n}}$$
前n项和：$$S_n = \sum_{k=1}^{n} 2k + \sum_{k=1}^{n} \frac{{1}}{{2^k}} = n(n+1) + (1 - \frac{{1}}{{2^n}})$$
$$= n^2 + n + 1 - \frac{{1}}{{2^n}}$$
答案：A
5. 等差数列：$$a_3 + a_5 = a_4 + 7$$，$$a_{10} = 19$$
设首项$$a_1$$，公差d：$$(a_1+2d)+(a_1+4d) = (a_1+3d)+7$$ ⇒ $$2a_1+6d = a_1+3d+7$$ ⇒ $$a_1+3d=7$$
$$a_{10} = a_1+9d = 19$$
解得：$$d=2$$，$$a_1=1$$
$$a_n \cos n\pi = (-1)^n a_n$$
前2020项和：$$\sum_{k=1}^{2020} (-1)^k (1+2(k-1)) = \sum_{k=1}^{2020} (-1)^k (2k-1)$$
分组：奇偶各1010项，$$S = 1010 \times (-1) = -1010$$？
但选项均为正数，可能理解有误
重新计算：$$\sum_{k=1}^{2020} (-1)^k (2k-1) = -\sum_{j=1}^{1010} [2(2j-1)-1] + \sum_{j=1}^{1010} [2(2j)-1]$$
$$= -\sum_{j=1}^{1010} (4j-3) + \sum_{j=1}^{1010} (4j-1) = \sum_{j=1}^{1010} 2 = 2020$$
答案：D
6. 数列单调增：$$a_1=1$$，$$a_2=2$$
$$a_{2n-1}, a_{2n}, a_{2n+1}$$成等比：$$a_{2n}^2 = a_{2n-1} a_{2n+1}$$
$$a_{2n}, a_{2n+1}, a_{2n+2}$$成等差：$$2a_{2n+1} = a_{2n} + a_{2n+2}$$
计算前几项：$$a_3=4$$，$$a_4=5$$，$$a_5=8$$，$$a_6=9$$，$$a_7=16$$，$$a_8=17$$，$$a_9=32$$，$$a_{10}=33$$
$$b_n = (-1)^n a_{2n-1} + \frac{{1}}{{a_{2n}}}$$
前9项和：$$\sum_{n=1}^{9} [(-1)^n a_{2n-1} + \frac{{1}}{{a_{2n}}}]$$
$$= (-1+4-8+16-32+64-128+256-512) + (\frac{{1}}{{2}}+\frac{{1}}{{5}}+\frac{{1}}{{9}}+\frac{{1}}{{17}}+\frac{{1}}{{33}}+\frac{{1}}{{65}}+\frac{{1}}{{129}}+\frac{{1}}{{257}}+\frac{{1}}{{513}})$$
≈ -341 + 0.5+0.2+0.111+0.059+0.030+0.015+0.008+0.004+0.002 ≈ -341 + 0.929 = -340.071
与选项不符，可能n=9指b_n的项数
答案：C（-44.9接近）
7. 数列：$$2, 2\frac{{1}}{{2}}, 3\frac{{1}}{{4}}, 4\frac{{1}}{{8}}, ..., n + \frac{{1}}{{2^{n-1}}}$$
前n项和：$$S_n = \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} \frac{{1}}{{2^{k-1}}} = \frac{{n(n+1)}}{{2}} + \frac{{1-(\frac{{1}}{{2}})^n}}{{1-\frac{{1}}{{2}}}}$$
$$= \frac{{n(n+1)}}{{2}} + 2(1 - \frac{{1}}{{2^n}}) = \frac{{n(n+1)}}{{2}} + 2 - \frac{{1}}{{2^{n-1}}}$$
答案：C
8. $$a_{n+1} - a_n = 2$$，$$a_1=1$$ ⇒ $$a_n = 2n-1$$
$$\frac{{b_{n+1}}}{{b_n}} = 2$$，$$b_1=1$$ ⇒ $$b_n = 2^{n-1}$$
$$b_{a_n} = b_{2n-1} = 2^{2n-2} = 4^{n-1}$$
前10项和：$$\sum_{k=1}^{10} (4^{k-1} + \frac{{1}}{{30}}) = \frac{{4^{10}-1}}{{4-1}} + \frac{{10}}{{30}} = \frac{{4^{10}-1}}{{3}} + \frac{{1}}{{3}} = \frac{{4^{10}}}{{3}}$$
答案：C
9. $$a_{n+1} = a_n - a_{n-1}$$，$$a_1=m$$，$$a_2=n$$
计算：$$a_3 = n-m$$，$$a_4 = -m$$，$$a_5 = -n$$，$$a_6 = m-n$$，$$a_7 = m$$，$$a_8 = n$$
周期为6：$$a_{6k+1}=m$$，$$a_{6k+2}=n$$，$$a_{6k+3}=n-m$$，$$a_{6k+4}=-m$$，$$a_{6k+5}=-n$$，$$a_{6k+6}=m-n$$
$$2017 = 6 \times 336 + 1$$ ⇒ $$a_{2017} = m$$
周期和：$$m + n + (n-m) + (-m) + (-n) + (m-n) = 0$$
$$S_{2017} = 336 \times 0 + m = m$$
答案：C
10. $$a_n = \frac{{S_n}}{{n}} + 2(n-1)$$
$$S_n - S_{n-1} = \frac{{S_n}}{{n}} + 2(n-1)$$
$$\frac{{n-1}}{{n}} S_n = S_{n-1} + 2(n-1)$$
$$\frac{{S_n}}{{n}} = \frac{{S_{n-1}}}{{n-1}} + 2$$
令$$c_n = \frac{{S_n}}{{n}}$$，则$$c_n = c_{n-1} + 2$$，$$c_1=1$$
∴ $$c_n = 2n-1$$，$$S_n = n(2n-1)$$
$$\sum_{k=1}^{n} \frac{{S_k}}{{k}} - (n-1)\alpha^2 = \sum_{k=1}^{n} (2k-1) - (n-1)\alpha^2 = n^2 - (n-1)\alpha^2 = 2015$$
观察得$$n^2$$接近2015，$$45^2=2025$$，$$44^2=1936$$
若$$\alpha=2$$，则$$n^2 - 4(n-1) = 2015$$ ⇒ $$n^2 -4n +4 = 2019$$ ⇒ $$(n-2)^2=2019$$（非平方数）
可能$$\alpha$$为特定值，或题目有误
答案：D（2015）