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正确率60.0%在等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中$$a_{2}=2， \， \， 4 a_{1}+a_{3}=8， \， \， S_{n}$$是数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和，则$${{S}_{5}{=}}$$（）
B
A.$${{1}{5}}$$
B.$${{3}{1}}$$
C.$${{4}{8}}$$
D.$${{6}{3}}$$
2、['等差数列的通项公式'， '等差数列的定义与证明'， '公式法求和'， '等差数列的前n项和的性质'， '等差数列的前n项和的应用']正确率60.0%等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}{，}}$$若$${\frac{S_{2 0 2 1}} {2 0 2 1}}={\frac{S_{2 0 2 0}} {2 0 2 0}}+1$$且$$a_{1}=3，$$则（）
A
A.$$a_{n}=2 n+1$$
B.$$a_{n}=n+1$$
C.$$S_{n}=2 n^{2}+n$$
D.$$S_{n}=4 n^{2}-n$$
3、['公式法求和'， '分组求和法']正确率80.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的通项公式是$$a_{n}=(-1 )^{n} ( 3 n-2 )，$$等于$${{(}{)}}$$
D
A.$${{3}{0}{2}{7}}$$
B.$${{−}{{3}{0}{2}{7}}}$$
C.$${{3}{0}{2}{8}}$$
D.$${{−}{{3}{0}{2}{8}}}$$
4、['公式法求和'， '分组求和法']正确率40.0%已知数列：$$\frac{1} {2}$$；$$\frac{1} {2^{2}}， ~ \frac{2} {2^{2}}， ~ \frac{3} {2^{2}}$$；$$\frac{1} {2^{3}}， ~ \frac{2} {2^{3}}， ~ \dots， ~ \frac{7} {2^{3}}$$；…；$$\frac{1} {2^{n}}， ~ \frac{2} {2^{n}}， ~ \frac{3} {2^{n}}， ~ \dots， ~ \frac{2^{n}-1} {2^{n}}$$；….则此数列的前$${{2}{{0}{3}{6}}}$$项之和为（）
C
A.$${{1}{{0}{2}{4}}}$$
B.$${{2}{{0}{4}{8}}}$$
C.$${{1}{{0}{1}{8}}}$$
D.$${{1}{{0}{2}{2}}}$$
5、['等比数列前n项和的应用'， '公式法求和'， '分组求和法'， '数列的通项公式'， '等差数列的前n项和的应用']正确率60.0%下面的数组中均由三个数组成，它们是$$( 1， 2， 3 ). \ ( 2， 4， 6 ). \ ( 3， 8， 1 1 ). \ ( 4， 1 6， 2 0 ). \ ( 5， 3 2， 3 7 ). \ \ \ldots\ \ ( a_{n}， b_{n}， c_{n} )$$，若数列$${{\{}{{c}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，则$$S_{1 0}$$等于（）
C
A.$${{1}{0}{0}{6}}$$
B.$${{1}{0}{6}{8}}$$
C.$${{2}{1}{0}{1}}$$
D.$${{2}{1}{0}{2}}$$
6、['数列的递推公式'， '公式法求和']正确率19.999999999999996%已知数列{a n}满足：a 1=0，$$a_{n+1}=l n ( e^{a_{n}}+1 )-a_{n}$$（n∈N*），前n项和为S n（参考数据：ln2≈0.693，ln3≈1.099），则下列选项中错误的是（ ）
A.{a 2n-1}是单调递增数列，{a 2n}是单调递减数列
B.a n+a n+1≤ln3
C.S 2020＜666
D.a 2n-1＜a 2n
7、['公式法求和']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$${{a}_{0}{=}{0}}$$，$$| a_{i+1} |=| a_{i}+1 | ( i \in N )$$，则$$| \sum_{k=1}^{2 0} a_{k} |$$的值不可能是$${{(}{)}}$$
A.$${{2}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{1}{0}}$$
D.$${{1}{4}}$$
8、['数列的递推公式'， '数列的函数特征'， '公式法求和']正确率40.0%设数列{a n}的前n项和为S n，且a 1=1，$$a_{n}=\frac{S_{n}} n+2 ( n-1 )$$（n∈N *），则$$n S_{n}-2 n^{2}$$的最小值为（ ）
A.-2
B.-1
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
D.3
9、['公式法求和']正确率40.0%我们把$$F_{n}=2^{2^{n}}+1 ( n=0， 1， 2$$…$${{)}}$$叫“费马数”$${{(}}$$费马是十七世纪法国数学家$${{)}{.}}$$设$$a_{n}=\operatorname{l o g}_{2} ( F_{n}-1 )$$，$${{n}{=}{1}}$$，$${{2}}$$，$${{3}}$$，…，设数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，则使不等式$$S_{1}+S_{2}+S_{3}+$$…$$+ S_{n} > 2 0 2 1-2 n$$成立的正整数$${{n}}$$的最小值是$${{(}{)}}$$
B
A.$${{8}}$$
B.$${{9}}$$
C.$${{1}{0}}$$
D.$${{1}{1}{6}}$$
10、['公式法求和']正确率40.0%若数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，$$b_{n}=\frac{S_{n}} {n}$$，则称数列$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$是数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的“均值数列”$${{.}}$$已知数列$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$是数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的“均值数列”，且通项公式为$${{b}_{n}{=}{n}}$$，设数列$$\{\frac1 {a_{n} \cdot a_{n+1}} \}$$的前$${{n}}$$项和为$${{T}_{n}}$$，若$$T_{n} < \frac{1} {2} m^{2}-m-1$$对一切$${{n}{∈}{{N}^{∗}}}$$恒成立，则实数$${{m}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$
D
A.$$(-1， 3 )$$
B.$$[-1， 3 ]$$
C.$$(-\infty，-1 ) \cup( 3，+\infty)$$
D.$$(-\infty，-1 ] \cup[ 3，+\infty)$$
以下是各题的详细解析： --- ### 1. **等比数列求和** **解析：** 设等比数列公比为 $$q$$，由 $$a_2 = a_1 q = 2$$ 得 $$a_1 = \frac{2}{q}$$。 根据 $$4a_1 + a_3 = 8$$，代入 $$a_3 = a_1 q^2$$ 得： $$4 \cdot \frac{2}{q} + \frac{2}{q} \cdot q^2 = 8 \Rightarrow \frac{8}{q} + 2q = 8$$。 化简得 $$2q^2 - 8q + 8 = 0 \Rightarrow q = 2$$。 因此 $$a_1 = 1$$，前 $$5$$ 项和为： $$S_5 = \frac{1 \cdot (2^5 - 1)}{2 - 1} = 31$$。 **答案：**B.$${{3}{1}}$$
--- ### 2. **等差数列性质** **解析：** 由 $$\frac{S_{2021}}{2021} = \frac{S_{2020}}{2020} + 1$$，得： $$\frac{a_1 + a_{2021}}{2} = \frac{a_1 + a_{2020}}{2} + 1$$。 化简得 $$a_{2021} - a_{2020} = 2$$，即公差 $$d = 2$$。 已知 $$a_1 = 3$$，通项公式为： $$a_n = 3 + (n-1) \cdot 2 = 2n + 1$$。 前 $$n$$ 项和公式为： $$S_n = \frac{n(3 + 2n + 1)}{2} = n^2 + 2n$$。 **答案：**A.$$a_{n}=2 n+1$$
--- ### 3. **数列求和** **解析：** 通项公式 $$a_n = (-1)^n (3n - 2)$$，前 $$n$$ 项和为： $$S_n = \sum_{k=1}^n (-1)^k (3k - 2)$$。 分组计算奇数项和偶数项，或直接观察规律。 **答案：**D.$${{−}{{3}{0}{2}{8}}}$$
--- ### 4. **分组数列求和** **解析：** 数列分组为： - 第 $$1$$ 组：$$1$$ 项 - 第 $$2$$ 组：$$3$$ 项 - 第 $$3$$ 组：$$7$$ 项 - ... - 第 $$n$$ 组：$$2^n - 1$$ 项 前 $$n$$ 组总项数为 $$2^{n+1} - n - 2$$。 求 $$2036$$ 项所在组数，解得 $$n = 10$$ 时总项数为 $$2036$$。 每组和为 $$\frac{1 + 2 + \dots + (2^n - 1)}{2^n} = \frac{(2^n - 1)2^{n-1}}{2^n} = 2^{n-1} - \frac{1}{2}$$。 前 $$10$$ 组总和为： $$\sum_{k=1}^{10} \left(2^{k-1} - \frac{1}{2}\right) = (2^{10} - 1) - 5 = 1018$$。 **答案：**C.$${{1}{{0}{1}{8}}}$$
--- ### 5. **数列规律与求和** **解析：** 观察数列 $$(a_n, b_n, c_n)$$： - $$a_n = n$$ - $$b_n = 2^n$$ - $$c_n = b_n + a_n = 2^n + n$$ 前 $$10$$ 项和为： $$S_{10} = \sum_{k=1}^{10} (2^k + k) = (2^{11} - 2) + \frac{10 \cdot 11}{2} = 2046 + 55 = 2101$$。 **答案：**C.$${{2}{1}{0}{1}}$$
--- ### 6. **递推数列性质** **解析：** 递推关系 $$a_{n+1} = \ln(e^{a_n} + 1) - a_n$$，化简得： $$a_{n+1} + a_n = \ln(e^{a_n} + 1)$$。 通过迭代计算或不等式分析，选项 **D** 错误。 **答案：**D.$$a_{2n-1} < a_{2n}$$
--- ### 7. **绝对值递推数列** **解析：** 递推关系 $$|a_{i+1}| = |a_i + 1|$$，解得 $$a_i$$ 可能为 $$k$$ 或 $$-k-2$$。 求和 $$|\sum_{k=1}^{20} a_k|$$ 的可能值为偶数，排除 $$10$$。 **答案：**C.$${{1}{0}}$$
--- ### 8. **递推数列与最值** **解析：** 递推关系 $$a_n = \frac{S_n}{n} + 2(n-1)$$，化简得： $$S_n = n S_{n-1} + 2n(n-1)$$。 解得 $$S_n = n^2$$，验证得 $$n S_n - 2n^2 = -n^2$$，最小值为 $$-1$$。 **答案：**B.$$-1$$
--- ### 9. **费马数列求和** **解析：** 费马数 $$F_n = 2^{2^n} + 1$$，$$a_n = \log_2(F_n - 1) = 2^n$$。 $$S_n = 2^{n+1} - 2$$，不等式化为： $$\sum_{k=1}^n (2^{k+1} - 2) > 2021 - 2n$$。 解得 $$n \geq 10$$。 **答案：**C.$${{1}{0}}$$
--- ### 10. **均值数列与不等式** **解析：** 由 $$b_n = n$$ 得 $$S_n = n^2$$，$$a_n = S_n - S_{n-1} = 2n - 1$$。 $$T_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{n}{2n+1}$$。 不等式 $$\frac{n}{2n+1} < \frac{1}{2}m^2 - m - 1$$ 对所有 $$n$$ 成立，解得 $$m \in (-1, 3)$$。 **答案：**A.$$(-1, 3 )$$
--- 以上为各题的详细解析。 题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱