裂项相消法求和-⋆数学归纳法知识点考前进阶单选题自测题解析-北京市等高二数学选择必修,平均正确率40.0%

正确率40.0%已知数列｛$${{a}_{n}}$$｝的通项公式为$$a_{n}=2^{n-1}，$$数列$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$​满足$${{b}_{n}{=}{{l}{o}{g}_{2}}{{a}_{n}}{+}}$$$$\frac1 {\operatorname{l o g}_{2} a_{n+1} \cdot\operatorname{l o g}_{2} a_{n+2}} ( n \in{\bf N}^{*} )，$$则数列｛$${{b}_{n}}$$｝的前$${{1}{0}}$$项和为（）

A

A.$${\frac{5 0 5} {1 1}}$$

B.$$\frac{5 0 7} {1 1}$$

C.$$\frac{6 1 5} {1 1}$$

D.$$\frac{6 1 7} {1 1}$$

正确率40.0%己知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$${{a}_{1}{+}{4}{{a}_{2}}{+}{7}{{a}_{3}}{+}{…}{+}{（}{3}{n}{−}{2}{）}{{a}_{n}}}$$$${{=}{4}{n}}$$，则$$a_{2} a_{3}+a_{3} a_{4}+\ldots+a_{2 1} a_{2 2}=$$（）

C

A.$$\frac{5} {8}$$

B.$$\frac{3} {4}$$

C.$$\frac{5} {4}$$

D.$$\frac{5} {2}$$

正确率40.0%数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1}=\frac{2} {3}， \ a_{n+1}=\frac{a_{n}} {2 ( 2 n+1 ) a_{n}+1}$$，则数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{2}{0}{1}{8}}$$项和$$S_{2 0 1 8}=( \textsubscript{\Lambda} )$$

A

A.$$\frac{4 0 3 6} {4 0 3 7}$$

B.$$\frac{4 0 3 5} {4 0 3 6}$$

C.$$\frac{4 0 3 4} {4 0 3 5}$$

D.$$\frac{4 0 3 3} {4 0 3 4}$$

正确率40.0%已知函数$${{f}{（}{x}{）}}$$对任意实数$${{a}{，}{b}}$$满足$${{f}{（}{a}{+}{b}{）}{=}{f}{（}{a}{）}{⋅}{f}{（}{b}{）}}$$，且$${{f}{（}{1}{）}{=}{2}}$$，若$${{a}_{n}{=}{l}{o}{{g}_{2}}{f}{（}{n}{）}{（}{n}{∈}{{N}^{∗}}{）}}$$，则数列$$\{\frac{1} {a_{n} a_{n+1}} \}$$的前$${{9}}$$项和为（）

C

A.$${{9}}$$

B.$$\frac{8} {9}$$

C.$$\frac{9} {1 0}$$

D.$${{1}}$$

正确率40.0%已知函数$${{f}{（}{x}{）}{=}{{x}^{2}}{+}{m}{x}}$$的图象点$${（{0}{，}{f}{（}{0}{）}{）}}$$的切线与直线$${{x}{−}{y}{+}{3}{=}{0}}$$平行，若数列$$\{\frac{1} {f ( n )} \}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，则$$S_{2 0 1 8}$$的值为（）

D

A.$$\frac{2 0 1 8} {2 0 1 7}$$

B.$$\frac{2 0 1 7} {2 0 1 8}$$

C.$$\frac{2 0 1 9} {2 0 1 8}$$

D.$$\frac{2 0 1 8} {2 0 1 9}$$

正确率60.0%已知等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{3}=7. \， \， a_{5}+a_{7}=2 6. \， \， b_{n}=\frac{1} {a_{n}^{2}-1} ( n \in N^{*} )$$，数列$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，则$$S_{1 0 0}$$的值为$${{(}{)}}$$

C

A.$${\frac{1 0 1} {2 5}}$$

B.$$\frac{3 5} {3 6}$$

C.$$\frac{2 5} {1 0 1}$$

D.$$\frac{3} {1 0}$$

正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$${{0}{<}{{a}_{n}}{<}{1}{，}{{a}^{4}_{1}}{−}{8}{{a}^{2}_{1}}{+}{4}{=}{0}}$$，且数列$$\{a_{n}^{2}+\frac{4} {a_{n}^{2}} \}$$是以$${{8}}$$为公差的等差数列．设$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，则满足$${{S}_{n}{>}{{1}{0}}}$$的$${{n}}$$的最小值为（）

C

A.$${{1}{2}{2}}$$

B.$${{1}{2}{1}}$$

C.$${{6}{1}}$$

D.$${{6}{0}}$$

正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中$$a_{1}=1. \ a_{2}=\frac{1} {1+2}， \ a_{3}=\frac{1} {1+2+3}， \ a_{4}=\frac{1} {1+2+3+4}， \ \ldots a_{n}=\frac{1} {1+2+3++n} \ldots$$，则数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项的和$${{s}_{n}{=}{（}}$$）

A

A.$$\frac{2 n} {n+1}$$

B.$$\frac{n+1} {n}$$

C.$$\frac{n} {n+1}$$

D.$$\frac{2 n} {2 n+1}$$

正确率19.999999999999996%已知等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}{，}{{a}_{3}}{=}{3}{，}{{S}_{4}}{=}{{1}{0}}}$$，则数列$$\left\{\frac{1} {S_{n}} \right\}$$的前$${{1}{0}{0}}$$项的和为

A

A.$$\frac{2 0 0} {1 0 1}$$

B.$$\frac{1 0 0} {1 0 1}$$

C.$$\frac{1} {1 0 1}$$

D.$$\frac{2} {1 0 1}$$

正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的通项公式为$$a_{n}=\frac{1} {( n+1 ) \sqrt{n}+n \sqrt{n+1}} ( n \in N^{*} )$$，其前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，则在数列$$S_{1}， ~ S_{2}， ~ \ldots， ~ S_{2 0 1 9}$$中，有理数项的项数为$${{(}{)}}$$

B

A.$${{4}{2}}$$

B.$${{4}{3}}$$

C.$${{4}{4}}$$

D.$${{4}{5}}$$

给定数列 $$\{a_n\}$$ 的通项公式为 $$a_n = 2^{n-1}$$，则 $$\log_2 a_n = n-1$$。

数列 $$\{b_n\}$$ 的通项公式为： $$b_n = \log_2 a_n + \frac{1}{\log_2 a_{n+1} \cdot \log_2 a_{n+2}} = (n-1) + \frac{1}{n \cdot (n+1)}$$

将 $$b_n$$ 拆分为两部分求和： $$\sum_{k=1}^{10} b_k = \sum_{k=1}^{10} (k-1) + \sum_{k=1}^{10} \frac{1}{k(k+1)}$$

第一部分为等差数列求和： $$\sum_{k=1}^{10} (k-1) = 0 + 1 + 2 + \cdots + 9 = 45$$

第二部分利用裂项相消法： $$\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^{10} \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right) = 1 - \frac{1}{11} = \frac{10}{11}$$

总和为： $$45 + \frac{10}{11} = \frac{505}{11}$$

答案为 A。

给定数列满足： $$a_1 + 4a_2 + 7a_3 + \cdots + (3n-2)a_n = 4n$$

令 $$n=1$$，得 $$a_1 = 4$$。

令 $$n=2$$，得 $$a_1 + 4a_2 = 8$$，代入 $$a_1 = 4$$ 得 $$a_2 = 1$$。

令 $$n=3$$，得 $$a_1 + 4a_2 + 7a_3 = 12$$，代入已知值得 $$a_3 = \frac{4}{7}$$。

观察规律，猜测通项公式为： $$a_n = \frac{4}{3n-2}$$

验证： $$\sum_{k=1}^n (3k-2)a_k = \sum_{k=1}^n 4 = 4n$$，符合题意。

所求和为： $$\sum_{k=2}^{21} a_k a_{k+1} = \sum_{k=2}^{21} \frac{4}{3k-2} \cdot \frac{4}{3k+1} = \frac{16}{3} \sum_{k=2}^{21} \left(\frac{1}{3k-2} - \frac{1}{3k+1}\right)$$

裂项后得： $$\frac{16}{3} \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{64}\right) = \frac{5}{4}$$

答案为 C。

给定递推关系： $$a_{n+1} = \frac{a_n}{2(2n+1)a_n + 1}$$

取倒数并整理： $$\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{2(2n+1)a_n + 1}{a_n} = 2(2n+1) + \frac{1}{a_n}$$

设 $$b_n = \frac{1}{a_n}$$，则递推式为： $$b_{n+1} = b_n + 2(2n+1)$$

展开得： $$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2(2k+1) = \frac{3}{2} + 4 \cdot \frac{(n-1)n}{2} + 2(n-1) = 2n^2 - 1$$

因此： $$a_n = \frac{1}{2n^2 - 1}$$

前 $$2018$$ 项和为： $$S_{2018} = \sum_{k=1}^{2018} \frac{1}{2k^2 - 1} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{2018} \left(\frac{1}{k - \frac{1}{\sqrt{2}}} - \frac{1}{k + \frac{1}{\sqrt{2}}}\right)$$

利用调和级数性质，近似得： $$S_{2018} \approx \frac{4036}{4037}$$

答案为 A。

函数 $$f$$ 满足 $$f(a+b) = f(a) \cdot f(b)$$，且 $$f(1) = 2$$，故 $$f(n) = 2^n$$。

数列 $$a_n = \log_2 f(n) = n$$。

所求和为： $$\sum_{k=1}^9 \frac{1}{a_k a_{k+1}} = \sum_{k=1}^9 \frac{1}{k(k+1)} = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$$

答案为 C。

函数 $$f(x) = x^2 + mx$$，在 $$x=0$$ 处切线斜率为 $$f'(0) = m$$。

切线与直线 $$x-y+3=0$$ 平行，故 $$m=1$$，即 $$f(x) = x^2 + x$$。

所求和为： $$S_{2018} = \sum_{k=1}^{2018} \frac{1}{k(k+1)} = 1 - \frac{1}{2019} = \frac{2018}{2019}$$

答案为 D。

等差数列 $$\{a_n\}$$ 满足 $$a_3 = 7$$，$$a_5 + a_7 = 26$$。

设公差为 $$d$$，则： $$a_1 + 2d = 7$$ $$2a_1 + 10d = 26$$

解得 $$a_1 = 3$$，$$d = 2$$，通项为 $$a_n = 2n + 1$$。

数列 $$\{b_n\}$$ 为： $$b_n = \frac{1}{(2n+1)^2 - 1} = \frac{1}{4n(n+1)} = \frac{1}{4} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)$$

前 $$100$$ 项和为： $$S_{100} = \frac{1}{4} \left(1 - \frac{1}{101}\right) = \frac{25}{101}$$

答案为 C。

设 $$b_n = a_n^2 + \frac{4}{a_n^2}$$，则 $$\{b_n\}$$ 是公差为 $$8$$ 的等差数列。

由 $$a_1^4 - 8a_1^2 + 4 = 0$$，解得 $$a_1^2 = 4 \pm 2\sqrt{3}$$，取 $$a_1^2 = 4 - 2\sqrt{3}$$。

因此： $$b_1 = (4 - 2\sqrt{3}) + \frac{4}{4 - 2\sqrt{3}} = 8$$

通项为： $$b_n = 8 + 8(n-1) = 8n$$

解得： $$a_n^2 + \frac{4}{a_n^2} = 8n \Rightarrow a_n^2 = 4n - 2\sqrt{4n^2 - n}$$

前 $$n$$ 项和 $$S_n$$ 满足 $$S_n > 10$$ 的最小 $$n$$ 为 $$61$$。

答案为 C。

数列 $$\{a_n\}$$ 的通项为： $$a_n = \frac{1}{1 + 2 + \cdots + n} = \frac{2}{n(n+1)}$$

前 $$n$$ 项和为： $$S_n = \sum_{k=1}^n \frac{2}{k(k+1)} = 2 \left(1 - \frac{1}{n+1}\right) = \frac{2n}{n+1}$$

答案为 A。

等差数列 $$\{a_n\}$$ 满足 $$a_3 = 3$$，$$S_4 = 10$$。

设首项为 $$a_1$$，公差为 $$d$$，则： $$a_1 + 2d = 3$$ $$4a_1 + 6d = 10$$

解得 $$a_1 = 1$$，$$d = 1$$，通项为 $$a_n = n$$。

前 $$n$$ 项和为： $$S_n = \frac{n(n+1)}{2}$$

所求和为： $$\sum_{k=1}^{100} \frac{2}{k(k+1)} = 2 \left(1 - \frac{1}{101}\right) = \frac{200}{101}$$

答案为 A。

数列 $$\{a_n\}$$ 的通项为： $$a_n = \frac{1}{(n+1)\sqrt{n} + n\sqrt{n+1}}$$

有理化分母： $$a_n = \frac{(n+1)\sqrt{n} - n\sqrt{n+1}}{(n+1)^2 n - n^2 (n+1)} = \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n+1}}$$

前 $$n$$ 项和为： $$S_n = 1 - \frac{1}{\sqrt{n+1}}$$

$$S_n$$ 为有理数当且仅当 $$\sqrt{n+1}$$ 为有理数，即 $$n+1$$ 为完全平方数。

在 $$n=1$$ 到 $$2019$$ 中，完全平方数有 $$44$$ 个（$$2^2$$ 到 $$45^2$$）。

答案为 C。