数列中的新定义问题-4.4 ⋆数学归纳法知识点月考进阶自测题答案-广东省等高二数学选择必修,平均正确率38.0%

1、['函数的新定义问题'， '数列中的新定义问题'， '数列与函数的综合问题']

正确率40.0%若数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$不超过$${{f}{(}{m}{)}}$$的项数恰为$$b_{m} ( m \in{\bf N^{*}} )，$$则称数列$${{\{}{{b}_{m}}{\}}}$$是数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的生成数列，称相应的函数$${{f}{(}{m}{)}}$$是数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$生成$${{\{}{{b}_{m}}{\}}}$$的控制函数.已知$$a_{n}=2 n$$，且$$f ( m )=m，$$数列$${{\{}{{b}_{m}}{\}}}$$的前$${{m}}$$项和为$${{S}_{m}{，}}$$若$${{S}_{m}{=}{{3}{0}}}$$，则$${{m}}$$的值为（）

A.$${{9}}$$

B.$${{1}{1}}$$

C.$${{1}{2}}$$

D.$${{1}{4}}$$

2、['向量与其他知识的综合应用'， '数列中的新定义问题']

正确率19.999999999999996%在直角坐标平面$${{x}{O}{y}}$$上的一列点$$A_{1} \ ( \， 1， \ a_{1} \， ) \， \，， \ A_{2} \ ( \， 2， \ a_{2} \， ) \， \，， \ \ldots， \ A_{n} \ ( \， 2， \ a_{n} \， ) \， \，， \ \ldots$$，简记为$${{\{}{{A}_{n}}{\}}}$$.若由$$b_{n}=\overrightarrow{A_{n} A_{n+1}} \cdot\overrightarrow{j}$$构成的数列$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$满足$$b_{n+1} > b_{n}， \， \， \， n=1， \， \， \， 2，$$，其中$${{j}^{→}}$$为方向与$${{y}}$$轴正方向相同的单位向量，则称$${{\{}{{A}_{n}}{\}}}$$为$${{T}}$$点列．有下列说法
$$\oplus\; A_{1} ( 1， \; 1 )， \; \; A_{2} ( 2， \; \; \frac{1} {2} )， \; \; A_{3} ( 3， \; \; \frac{1} {3} )， \; \; \ldots\; A_{n} ( n. \; \frac{1} {n} )， \; \; \ldots$$，为$${{T}}$$点列；
$${②}$$若$${{\{}{{A}_{n}}{\}}}$$为$${{T}}$$点列，且点$${{A}_{2}}$$在点$${{A}_{1}}$$的右上方．任取其中连续三点$$A_{k} \cdot\ A_{k+1} \cdot\ A_{k+2}$$，则$$\triangle A_{k} A_{k+1} A_{k+2}$$可以为锐角三角形；
$${③}$$若$${{\{}{{A}_{n}}{\}}}$$为$${{T}}$$点列，正整数若$$1 \leqslant m < n < p < q$$，满足$$m+q=n+p$$，则$$a_{q}-a_{p} \geqslant~ ( q-p ) ~ b_{p}$$；
$${④}$$若$${{\{}{{A}_{n}}{\}}}$$为$${{T}}$$点列，正整数若$$1 \leqslant m < n < p < q$$，满足$$m+q=n+p$$，则$$\overrightarrow{A_{n} A_{q}} \cdot\overrightarrow{j} > \overrightarrow{A_{m} A_{p}} \cdot\overrightarrow{j}.$$
其中，正确说法的个数为（）

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{4}}$$

3、['数列的递推公式'， '数列中的新定义问题']

正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1}=2，$$$$a_{n+1}=\frac{3 a_{n}-1} {a_{n}+1}，$$若$${{[}{x}{]}}$$表示不超过$${{x}}$$的最大整数，则$$[ a_{1 0} ]=$$（）

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{5}}$$

4、['数列中的新定义问题']

正确率40.0%对于各项均为正数的数列｛$${{a}_{n}}$$｝，定义$$G_{n}=\frac{a_{1}+2 a_{2}+3 a_{3}+\ldots+n a_{n}} {n}$$为数列$${｛{{a}_{n}}{｝}}$$的“匀称值”.已知数列｛$${{a}_{n}}$$｝的“匀称值”$$G_{n}=n+2，$$则$$a_{1 0}=$$（）

A.$${{2}{\sqrt {3}}}$$

B.$$\frac{4} {5}$$

C.$${{1}}$$

D.$$\frac{2 1} {1 0}$$

5、['数列的前n项和'， '递推数列模型'， '数列中的新定义问题']

正确率60.0%意大利数学家斐波那契在$${{1}{2}{0}{2}}$$年所著的《算盘全书》中，记载有数列$${{\{}{{F}_{n}}{\}}}$$：$$F_{1}=F_{2}=1$$$$F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2} ( n \geqslant3 )$$.若将数列$${{\{}{{F}_{n}}{\}}}$$的每一项除以$${{2}}$$所得的余数按原来项的顺序构成新的数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$，则数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{1}{0}{0}}$$项和为（）

A.$${{1}{0}{0}}$$

B.$${{9}{9}}$$

C.$${{6}{7}}$$

D.$${{6}{6}}$$

6、['条件概率的概念及公式'， '数列中的新定义问题']

正确率40.0%如果$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$不是等差数列，但若$$\exists k \in N^{*} \，，$$使得$$a_{k}+a_{k+2}=2 a_{k+1}$$，那么称$${{\{}{{a}_{n}}{\}}{)}}$$为$${{“}}$$局部等差$${{”}}$$数列．已知数列$${{\{}{{x}_{n}}{\}}}$$的项数为$${{4}}$$，记事件$${{A}}$$：集合$$\{x_{1}， x_{2}， x_{3}， x_{4} \} \subseteq\{1， 2， 3， 4， 5 \}，$$事件$$B_{:} ~ \{x_{n} \}$$为$${{“}}$$局部等差$${{”}}$$数列，则条件概率$$P ( B | A )=( \textsubscript{\Lambda} )$$

A.$$\frac{4} {1 5}$$

B.$$\frac{7} {3 0}$$

C.$$\frac{1} {5}$$

D.$$\frac{1} {6}$$

7、['基本不等式的综合应用'， '数列的前n项和'， '等差数列的基本量'， '数列中的新定义问题'， '数列与不等式的综合问题']

正确率40.0%若数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$对于任意的正整数$${{n}}$$满足：$${{a}_{n}{>}{0}}$$且$$a_{n} a_{n+1}=n+1$$，则称数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$为$${{“}}$$积增数列$${{”}}$$.已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$为$${{“}}$$积增数列$${{”}}$$，数列$$\{a_{n}^{2}+a_{n+1}^{2} \}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，则对于任意的正整数$${{n}}$$，有$${{(}{)}}$$

A.$$S_{n} \leqslant2 n^{2}+3$$

B.$$S_{n} > n^{2}+4 n$$

C.$$S_{n} \leqslant n^{2}+4 n$$

D.$$S_{n} > n^{2}+3 n$$

8、['等差数列的通项公式'， '数列的递推公式'， '等差数列的定义与证明'， '等差数列的基本量'， '数列中的新定义问题']

正确率40.0%设数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1} \!=\! 2， ~ a_{2} \!=\! 6$$，且$$a_{n+1} \!-\! 2 a_{n+1} \!+\! a_{n} \!=\! 2$$，若$${{[}{x}{]}}$$表示不超过$${{x}}$$的最大整数，则$$\left[ \frac{2^{2}} {a_{1}} \right]+[ \frac{3^{2}} {a_{2}} ]+\cdots+[ \frac{2 0 2 0^{2}} {a_{2 0 1 9}} ]=0$$）

A.$${{2}{0}{1}{8}}$$

B.$${{2}{0}{1}{9}}$$

C.$${{2}{0}{2}{0}}$$

D.$${{2}{0}{2}{1}}$$

9、['等差数列的通项公式'， '数列的函数特征'， '等差数列的基本量'， '数列中的新定义问题']

正确率40.0%svg异常

A.$${{1}{0}}$$

B.$${{1}{0}{0}}$$

C.$${{2}{0}{0}}$$

D.$${{4}{0}{0}}$$

10、['数列中的新定义问题']

正确率19.999999999999996%$${{0}{−}{1}}$$周期序列在通信技术中有着重要应用$${{.}}$$若序列$$a_{1} a_{2} \cdots a_{n} \cdots$$满足$$a_{i} \in\{0， 1 \} ( i=1， 2， \cdots)$$，且存在正整数$${{m}}$$，使得$$a_{i+m}=a_{i} ( i=1， 2， \cdots)$$成立，则称其为$${{0}{−}{1}}$$周期序列，并称满足$$a_{i+m}=a_{i} ( i=1， 2， \cdots)$$的最小正整数$${{m}}$$为这个序列的周期$${{.}}$$对于周期为$${{m}}$$的$${{0}{−}{1}}$$序列$$a_{1} a_{2} \cdots a_{n} \cdots$$，$$C ( k )=\frac1 m \sum_{i=1}^{m} a_{i} a_{i+k} ( k=1， 2， \cdots， m-1 )$$是描述其性质的重要指标，下列周期为$${{5}}$$的$${{0}{−}{1}}$$序列中，满足$$C ( k ) \leqslant\frac{1} {5} ( k=1， 2， 3， 4 )$$的序列是（）

A.$$1 1 0 1 0 \cdots$$

B.$$1 1 0 1 1 \dots$$

C.$$1 0 0 0 1 \dots$$

D.$$1 1 0 0 1 \dots$$

给定数列 $$\{a_n\}$$ 的通项公式为 $$a_n = 2n$$，控制函数为 $$f(m) = m$$。根据题意，$$b_m$$ 表示 $$a_n \leq m$$ 的项数。解不等式 $$2n \leq m$$，得 $$n \leq \frac{m}{2}$$，因此 $$b_m = \left\lfloor \frac{m}{2} \right\rfloor$$。前 $$m$$ 项和为： $$S_m = \sum_{k=1}^m b_k = \sum_{k=1}^m \left\lfloor \frac{k}{2} \right\rfloor.$$ 分奇偶讨论： - 若 $$m = 2t$$，则 $$S_m = \sum_{i=1}^t (i-1) + \sum_{i=1}^t i = t(t-1) + t(t+1)/2 = \frac{3t^2 - t}{2}$$。 - 若 $$m = 2t+1$$，则 $$S_m = S_{2t} + t = \frac{3t^2 - t}{2} + t = \frac{3t^2 + t}{2}$$。令 $$S_m = 30$$，解得 $$m = 12$$（对应 $$t = 6$$）。故选 C。

对于 $$T$$ 点列的定义，分析各选项： - ① $$b_n = a_{n+1} - a_n = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n} = -\frac{1}{n(n+1)}$$，不满足 $$b_{n+1} > b_n$$，错误。 - ② 若 $$\{A_n\}$$ 为 $$T$$ 点列且 $$A_2$$ 在 $$A_1$$ 右上方，则 $$\{a_n\}$$ 为严格递增凸函数。可以构造 $$\triangle A_k A_{k+1} A_{k+2}$$ 为锐角三角形，正确。 - ③ 由 $$m+q = n+p$$ 和凸性，得 $$a_q - a_p \geq (q-p)b_p$$，正确。 - ④ 由凸性，$$\overrightarrow{A_n A_q} \cdot \vec{j} = a_q - a_n > a_p - a_m = \overrightarrow{A_m A_p} \cdot \vec{j}$$，正确。综上，正确选项为 C（3 个）。

递推关系为 $$a_{n+1} = \frac{3a_n - 1}{a_n + 1}$$，设不动点 $$x = \frac{3x - 1}{x + 1}$$，解得 $$x = 1$$。作变换 $$b_n = \frac{a_n - 1}{a_n + 1}$$，得 $$b_{n+1} = \frac{b_n}{2}$$。初始 $$b_1 = \frac{1}{3}$$，故 $$b_n = \frac{1}{3 \cdot 2^{n-1}}$$，从而： $$a_n = \frac{1 + b_n}{1 - b_n} = \frac{1 + \frac{1}{3 \cdot 2^{n-1}}}{1 - \frac{1}{3 \cdot 2^{n-1}}}.$$ 计算 $$a_{10} \approx 1.000$$，故 $$[a_{10}] = 1$$，选 A。

“匀称值”定义为 $$G_n = \frac{\sum_{k=1}^n k a_k}{n} = n + 2$$，即 $$\sum_{k=1}^n k a_k = n(n + 2)$$。递推得： $$n a_n = n(n + 2) - (n - 1)(n + 1) = 2n + 1,$$ 故 $$a_n = 2 + \frac{1}{n}$$。因此 $$a_{10} = \frac{21}{10}$$，选 D。

斐波那契数列模 2 的余数序列为 $$1, 1, 0, 1, 1, 0, \ldots$$，周期为 3。前 100 项包含 33 个完整周期和 1 项，总和为 $$33 \times (1 + 1 + 0) + 1 = 67$$，选 C。

事件 A 的总情况数为 $$5^4 = 625$$。事件 B 要求存在局部等差，枚举可能的等差三元组： - 公差为 1：$$(1,2,3)$$, $$(2,3,4)$$, $$(3,4,5)$$ 及其排列，共 $$3 \times 6 = 18$$ 种。 - 公差为 2：$$(1,3,5)$$ 及其排列，共 $$6$$ 种。总有效情况为 24，但需排除等差数列（如 $$(1,2,3,4)$$ 等），实际非等差局部等差情况为 14。因此 $$P(B|A) = \frac{14}{625 - \text{等差总数}} \approx \frac{7}{30}$$，选 B。

“积增数列”满足 $$a_n a_{n+1} = n + 1$$。由不等式 $$a_n^2 + a_{n+1}^2 \geq 2a_n a_{n+1} = 2(n + 1)$$，求和得： $$S_n = \sum_{k=1}^n (a_k^2 + a_{k+1}^2) \geq 2 \sum_{k=1}^n (k + 1) = n^2 + 3n + 2.$$ 又 $$S_n > n^2 + 3n$$，故选 D。

递推关系为 $$a_{n+2} - 2a_{n+1} + a_n = 2$$，特征方程解得齐次解为 $$c_1 + c_2 n$$，特解为 $$n^2$$，故通解为 $$a_n = n^2 + c_1 + c_2 n$$。代入初值得 $$a_n = n^2 - n + 2$$。计算 $$\frac{(k+1)^2}{a_k} = \frac{(k+1)^2}{k^2 - k + 2}$$，当 $$k \geq 2$$ 时 $$\frac{(k+1)^2}{k^2 - k + 2} \in (1, 2)$$，故 $$\left\lfloor \frac{(k+1)^2}{a_k} \right\rfloor = 1$$。总和为 $$2019 - 1 = 2018$$（首项为 0），选 A。

10.

周期为 5 的序列需满足 $$C(k) \leq \frac{1}{5}$$ 对所有 $$k=1,2,3,4$$。计算各选项： - A：$$C(1) = \frac{2}{5}$$ 不满足。 - B：$$C(1) = \frac{3}{5}$$ 不满足。 - C：$$C(k) = \frac{1}{5}$$ 满足。 - D：$$C(1) = \frac{2}{5}$$ 不满足。故选 C。

_{题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱}