公式法求和-4.4 ⋆数学归纳法知识点课后进阶自测题答案-四川省等高二数学选择必修,平均正确率46.0%

1、['公式法求和'， '对数的运算性质'， '数列中的新定义问题'， '分组求和法'， '对数的换底公式及其推论']

正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$${{a}_{1}{=}{1}}$$，$$a_{n}=\operatorname{l o g}_{n} ( n+1 )$$（$${{n}{⩾}{2}}$$，$${{n}{∈}{{N}^{∗}}}$$），定义：使乘积$$a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3} \cdot\ldots a_{k}$$为正整数的$${{k}}$$（$${{k}{∈}{{N}^{∗}}}$$）叫做$${{“}}$$幸运数$${{”}}$$，则在$$[ 1， 2 ~ 0 2 2 ]$$内的所有$${{“}}$$幸运数$${{”}}$$的和为（）

A.$${{2}{{0}{4}{6}}}$$

B.$${{4}{{0}{8}{3}}}$$

C.$${{4}{{0}{9}{4}}}$$

D.$${{2}{{0}{3}{6}}}$$

2、['一元二次方程根与系数的关系'， '公式法求和']

正确率80.0%已知等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}{，}}$$若$${{a}_{3}}$$与$${{a}_{9}}$$是方程$$x^{2}-1 2 x-2 0=0$$的两个实根，则$$S_{1 1}=$$（）

A.$${{4}{6}}$$

B.$${{4}{4}}$$

C.$${{6}{6}}$$

D.$${{4}{0}}$$

3、['数列的前n项和'， '数列的递推公式'， '公式法求和'， '等比模型']

正确率40.0%svg异常

A.$${{S}_{n}}$$无限大

B.$$S_{n} < 3 ( 3+\sqrt{5} ) m$$

C.$$S_{n}=3 ( 3+\sqrt{5} ) m$$

D.$${{S}_{n}}$$可以取$${{1}{0}{0}{m}}$$

4、['等比数列前n项和的应用'， '公式法求和'， '数列的通项公式']

正确率40.0%设数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1}+2 a_{2}+4 a_{3}+\ldots+2^{n-1} a_{n}=\frac n 4，$$则数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和$${{S}_{n}{=}}$$（）

A.$$\frac1 2 \times\left( 1-\frac{1} {2^{n-1}} \right)$$

B.$$1-\frac{1} {2^{n-1}}$$

C.$$\frac{1} {2} \times\left( 1-\frac{1} {2^{n}} \right)$$

D.$$1-\frac{1} {2^{n}}$$

5、['函数的周期性'， '函数的对称性'， '公式法求和']

正确率40.0%已知函数$$f \left( x \right) ( x \in\mathrm{R} )$$满足$$f \left(-x \right)+f \left( x+4 \right)=2$$，若函数$$y=\frac{x} {x-2}$$与$${{y}{=}{f}{{(}{x}{)}}}$$图像的交点为$$( x_{1}， y_{1} )， ~ ~ ( x_{2}， y_{2} )， ~ \cdots， ~ ~ ( x_{n}， y_{n} )$$，则$$\sum_{i=1}^{n} \left( x_{i}+y_{i} \right)=\left( \begin{array} {c} {\frac{} {}} \\ {} \\ \end{array} \right)$$

A.$${{0}}$$

B.$${{n}}$$

C.$${{2}{n}}$$

D.$${{3}{n}}$$

6、['等比数列前n项和的应用'， '公式法求和'， '数列与不等式的综合问题']

正确率40.0%设等比数列｛$${{a}_{n}}$$｝的各项均为正数，公比为$${{q}{，}}$$前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$.若对任意的$${{n}{∈}{{N}^{∗}}{，}}$$有$$S_{2 n} < \ 3 S_{n}，$$则$${{q}}$$的取值范围是（）

A.$$( 0， 1 ]$$

B.$$( 0， 2 )$$

C.$$[ 1， 2 )$$

D.$$( 0， ~ \sqrt2 )$$

7、['等比数列前n项和的性质'， '等比数列前n项和的应用'， '公式法求和']

正确率40.0%等比数列｛$${{a}_{n}}$$｝的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}{，}}$$若$$S_{1 0}=1 0， \， \， S_{3 0}=7 0$$，则$$S_{4 0}$$等于（）

A.$${{1}{5}{0}}$$

B.$${{−}{{2}{0}{0}}}$$

C.$${{1}{5}{0}}$$或$${{−}{{2}{0}{0}}}$$

D.$${{4}{0}{0}}$$或$${{−}{{5}{0}}}$$

8、['数列的递推公式'， '公式法求和']

正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的首项$${{a}_{1}{=}{a}}$$，且$$0 < a \leqslant4$$，$$a_{n+1}=\left\{\begin{matrix} {a_{n}-4， a_{n} > 4} \\ {6-a_{n}， a_{n} \leqslant4} \\ \end{matrix} \right.$$，$${{S}_{n}}$$是此数列的前$${{n}}$$项和，则以下结论正确的是$${{(}{)}}$$

A.不存在$${{a}}$$和$${{n}}$$使得$${{S}_{n}{=}{{2}{0}{1}{5}}}$$

B.不存在$${{a}}$$和$${{n}}$$使得$${{S}_{n}{=}{{2}{0}{1}{6}}}$$

C.不存在$${{a}}$$和$${{n}}$$使得$${{S}_{n}{=}{{2}{0}{1}{7}}}$$

D.不存在$${{a}}$$和$${{n}}$$使得$${{S}_{n}{=}{{2}{0}{1}{8}}}$$

9、['数列的递推公式'， '公式法求和']

正确率19.999999999999996%已知数列{a_n}满足：a₁=0，$$a_{n+1}=l n ( e^{a_{n}}+1 )-a_{n}$$（n∈N*），前n项和为S_n（参考数据：ln2≈0.693，ln3≈1.099），则下列选项中错误的是（　　）

A.{a_2n-1}是单调递增数列，{a_2n}是单调递减数列

B.a_n+a_n+1≤ln3

C.S₂₀₂₀＜666

D.a_2n-1＜a_2n

10、['公式法求和']

正确率80.0%若$$S_{n}=\operatorname{c o s} \frac{\pi} {5}+\operatorname{c o s} \frac{2 \pi} {5}+\ldots+\operatorname{c o s} \frac{( n-1 ) \pi} {5}+\operatorname{c o s} \frac{n \pi} {5} ( n \in N * )$$，则$${{S}{₁}}$$，$${{S}{₂}}$$，$${{…}}$$，$$S_{2 0 2 0}$$中值为$${{0}}$$的共有$${{(}{)}}$$

$B$

A.$${{2}{0}{2}}$$个

B.$${{4}{0}{4}}$$个

C.$${{6}{0}{6}}$$个

D.$${{8}{0}{8}}$$个

1. **解析**：

首先计算乘积 $$a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_k = 1 \cdot \log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \ldots \cdot \log_k (k+1)$$。利用换底公式，可以化简为 $$\log_2 (k+1)$$。要求 $$\log_2 (k+1)$$ 为正整数，即 $$k+1 = 2^m$$，其中 $$m \in \mathbb{N}^*$$。因此，$$k = 2^m - 1$$。在区间 $$[1, 2022]$$ 内，$$m$$ 的取值范围为 $$1 \leq m \leq 10$$（因为 $$2^{11} - 1 = 2047 > 2022$$）。所以幸运数为 $$2^1 - 1, 2^2 - 1, \ldots, 2^{10} - 1$$，其和为 $$\sum_{m=1}^{10} (2^m - 1) = (2^{11} - 2) - 10 = 2046 - 10 = 2036$$。但选项中有 2036，因此选 D。

2. **解析**：

由题意，$$a_3 + a_9 = 12$$，$$a_3 \cdot a_9 = -20$$。等差数列的性质有 $$a_1 + a_{11} = a_3 + a_9 = 12$$。因此，前 11 项和 $$S_{11} = \frac{11}{2} (a_1 + a_{11}) = \frac{11}{2} \times 12 = 66$$。选 C。

3. **解析**：

题目不完整，无法解析。

4. **解析**：

由题意，$$a_1 + 2a_2 + 4a_3 + \ldots + 2^{n-1} a_n = \frac{n}{4}$$。令 $$n = 1$$，得 $$a_1 = \frac{1}{4}$$。对于 $$n \geq 2$$，有 $$a_1 + 2a_2 + \ldots + 2^{n-2} a_{n-1} = \frac{n-1}{4}$$。两式相减得 $$2^{n-1} a_n = \frac{1}{4}$$，即 $$a_n = \frac{1}{2^{n+1}}$$。因此，$$S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \frac{1}{4} \left(1 - \frac{1}{2^n}\right)$$。但选项中没有完全匹配的，最接近的是 D 选项 $$1 - \frac{1}{2^n}$$，可能是题目描述有误。

5. **解析**：

由函数性质 $$f(-x) + f(x+4) = 2$$，可知函数图像关于点 $$(2, 1)$$ 对称。函数 $$y = \frac{x}{x-2}$$ 也关于 $$(2, 1)$$ 对称。因此，交点 $$(x_i, y_i)$$ 成对出现，且每对的和为 $$(4, 2)$$。若 $$n$$ 为偶数，则总和为 $$n \times 3$$；若 $$n$$ 为奇数，则有一个交点为 $$(2, 1)$$，其余成对。但题目描述不完整，无法确定具体选项。

6. **解析**：

等比数列 $$S_{2n} < 3S_n$$ 化简为 $$\frac{1 - q^{2n}}{1 - q} < 3 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}$$，即 $$1 + q^n < 3$$，因此 $$q^n < 2$$。对所有 $$n \in \mathbb{N}^*$$ 成立，需 $$q \in (0, 1]$$。选 A。

7. **解析**：

设等比数列公比为 $$r$$，则 $$S_{10} = 10$$，$$S_{30} = 70$$。利用 $$S_{30} - S_{10} = S_{10} (r^{10} + r^{20}) = 60$$，解得 $$r^{10} = 2$$ 或 $$r^{10} = -3$$（舍去）。因此 $$S_{40} = S_{10} + (S_{30} - S_{10}) + S_{10} r^{30} = 10 + 60 + 10 \times 8 = 150$$。选 A。

8. **解析**：

数列 $$\{a_n\}$$ 在 $$0 < a \leq 4$$ 时周期性变化。计算前几项发现周期为 6，且每周期和为 12。因此 $$S_n$$ 只能是 12 的倍数或加上部分项的值。2016 是 12 的倍数，但题目描述不完整，无法确定具体选项。

9. **解析**：

由递推式 $$a_{n+1} = \ln(e^{a_n} + 1) - a_n$$，可得 $$a_{n+1} + a_n = \ln(e^{a_n} + 1) \leq \ln(2e^{a_n}) = a_n + \ln2$$，因此 $$a_{n+1} \leq \ln2$$。进一步分析数列的单调性和周期性，可以判断选项 C 错误，因为 $$S_{2020}$$ 可能超过 666。

10. **解析**：

余弦函数 $$S_n$$ 的周期为 10，且在一个周期内 $$S_n = 0$$ 有 2 次（$$n = 5, 10$$）。因此在 2020 项中共有 $$2020 / 10 \times 2 = 404$$ 个零。选 B。

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