公式法求和-4.4 ⋆数学归纳法知识点月考基础选择题自测题答案-河南省等高二数学选择必修,平均正确率64.0%

1、['等差模型'， '公式法求和']

正确率60.0%svg异常

A.$${{1}{0}{2}{9}}$$

B.$${{1}{1}{2}{5}}$$

C.$${{1}{2}{2}{4}}$$

D.$${{1}{6}{5}{0}}$$

2、['公式法求和']

正确率80.0%等比数列$$1， ~ \frac{1} {2}， ~ \frac{1} {4}， ~ \frac{1} {8}， ~ \dots$$的前$${{n}}$$项和为（）

A.$$2-\frac{1} {2^{n+1}}$$

B.$$1-\frac{1} {2^{n}}$$

C.$$\frac{1} {2^{n}}$$

D.$$2-\frac{1} {2^{n-1}}$$

3、['公式法求和']

正确率40.0%我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将$$1， ~ 2， ~ 3， ~ \ldots， 9$$填入$${{3}{×}{3}}$$的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于$${{1}{5}}$$.一般地，将连续的正整数$$1， \ 2， \ 3， \ \ldots， \ n^{2}$$填入$${{n}{×}{n}}$$个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形方格叫作$${{n}}$$阶幻方.记$${{n}}$$阶幻方的每列的数字之和为$${{N}_{n}{，}}$$例如图中的三阶幻方中$$. \， N_{3}=1 5，$$则$${{N}_{5}{=}}$$（）

$${{4}}$$	$${{9}}$$	$${{2}}$$
$${{3}}$$	$${{5}}$$	$${{7}}$$
$${{8}}$$	$${{1}}$$	$${{6}}$$

A.$${{1}{5}}$$

B.$${{6}{5}}$$

C.$${{8}{1}}$$

D.$${{1}{0}{0}}$$

4、['等比数列前n项和的应用'， '公式法求和']

正确率80.0%数列$$1， 5， 5^{2}， 5^{3}， 5^{4}， \cdots$$的前$${{1}{0}}$$项和为（）

A.$$\frac{1} {5} \times( 5^{1 0}-1 )$$

B.$$\frac{1} {4} \times( 5^{1 0}-1 )$$

C.$$\frac{1} {4} \times( 5^{9}-1 )$$

D.$$\frac{1} {4} \times( 5^{1 1}-1 )$$

5、['公式法求和'， '等差数列的前n项和的应用'， '等差数列的性质']

正确率60.0%在等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，已知$$a_{4}+a_{1 5}=2$$，则该数列的前$${{1}{8}}$$项和$$S_{1 8}=\alpha$$$${）}$$.

A.$${{2}}$$

B.$${{9}}$$

C.$${{1}{8}}$$

D.$${{3}{6}}$$

6、['数列的递推公式'， '公式法求和']

正确率80.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项积为$${{T}_{n}}$$，且满足$$a_{n+1}=\frac{1+a_{n}} {1-a_{n}} ( n \in N^{*} )$$，若$$a_{1}=\frac{1} {4}$$，则$$T_{1 8}$$为$${{(}{)}}$$

A.$${{−}{4}}$$

B.$$- \frac{3} {5}$$

C.$$- \frac{5} {3}$$

D.$$\frac{5} {1 2}$$

7、['数列的递推公式'， '公式法求和']

正确率80.0%数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1}=-3$$，$$a_{n}=\frac{a_{n+1}-1} {a_{n+1}+1}$$，其前$${{n}}$$项积为$${{T}_{n}}$$，则$$T_{2 0 1 9}$$等于$${{(}{)}}$$

A.$$\frac{1} {2}$$

B.$${{1}}$$

C.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$

D.$${{−}{3}}$$

8、['公式法求和']

正确率40.0%数列{F_n}：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的，故又称为“兔子数列”，该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和，记该数列{F_n}的前n项和为S_n，则下列结论中正确的是（　　）

A.S₂₀₂₀=F₂₀₂₂+1

B.S₂₀₂₀=F₂₀₂₂-1

C.S₂₀₂₀=F₂₀₂₁+1

D.S₂₀₂₀=F₂₀₂₁-1

9、['公式法求和'， '等比数列前n项和的应用']

正确率80.0%我们把$$F_{n}=2^{2^{n}}+1 ( n=1， 2， 3 \ldots)$$叫“费马数”$${{(}}$$费马是十七世纪法国数学家$${{)}{.}}$$设$$a_{n}=\operatorname{l o g}_{2} ( F_{n}-1 )$$，$${{n}{=}{1}}$$，$${{2}}$$，$${{3}}$$…，$${{S}_{n}}$$表示数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项之和，则使不等式$$\frac{2^{2}} {S_{1} S_{2}}+\frac{2^{3}} {S_{2} S_{3}}+\frac{2^{4}} {S_{3} S_{4}}+\ldots+\frac{2^{n+1}} {S_{n} S_{n+1}} < \frac{6 3} {1 2 7}$$成立的最大正整数$${{n}}$$的值是$${{(}{)}}$$

A.$${{5}}$$

B.$${{6}}$$

C.$${{7}}$$

D.$${{8}}$$

10、['公式法求和']

正确率40.0%若数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，$$b_{n}=\frac{S_{n}} {n}$$，则称数列$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$是数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的“均值数列”$${{.}}$$已知数列$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$是数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的“均值数列”，且通项公式为$${{b}_{n}{=}{n}}$$，设数列$$\{\frac1 {a_{n} \cdot a_{n+1}} \}$$的前$${{n}}$$项和为$${{T}_{n}}$$，若$$T_{n} < \frac{1} {2} m^{2}-m-1$$对一切$${{n}{∈}{{N}^{∗}}}$$恒成立，则实数$${{m}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$

A.$$(-1， 3 )$$

B.$$[-1， 3 ]$$

C.$$(-\infty，-1 ) \cup( 3，+\infty)$$

D.$$(-\infty，-1 ] \cup[ 3，+\infty)$$

1. 题目描述不完整，无法解析。

2. 等比数列 $$1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \dots$$ 的公比 $$q = \frac{1}{2}$$，首项 $$a_1 = 1$$。前 $$n$$ 项和公式为： $$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} = 1 \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n}{1 - \frac{1}{2}} = 2 \left(1 - \frac{1}{2^n}\right) = 2 - \frac{1}{2^{n-1}}$$ 正确答案为 D。

3. $$n$$ 阶幻方的每列数字之和 $$N_n$$ 等于所有数字之和除以 $$n$$。对于 $$n=5$$，数字为 $$1$$ 到 $$25$$，总和为 $$\frac{25 \times 26}{2} = 325$$，因此 $$N_5 = \frac{325}{5} = 65$$。正确答案为 B。

4. 数列 $$1, 5, 5^2, 5^3, \dots$$ 是等比数列，公比 $$q = 5$$，首项 $$a_1 = 1$$。前 $$10$$ 项和为： $$S_{10} = a_1 \cdot \frac{q^{10} - 1}{q - 1} = \frac{5^{10} - 1}{4}$$ 正确答案为 B。

5. 在等差数列中，$$a_4 + a_{15} = a_1 + 3d + a_1 + 14d = 2a_1 + 17d = 2$$。前 $$18$$ 项和为： $$S_{18} = \frac{18}{2} (2a_1 + 17d) = 9 \times 2 = 18$$ 正确答案为 C。

6. 根据递推关系 $$a_{n+1} = \frac{1 + a_n}{1 - a_n}$$ 和 $$a_1 = \frac{1}{4}$$，计算前几项发现数列周期性为 $$4$$： $$a_1 = \frac{1}{4}, a_2 = \frac{5}{3}, a_3 = -4, a_4 = -\frac{3}{5}, a_5 = \frac{1}{4}, \dots$$ 因此 $$T_{18} = (a_1 a_2 a_3 a_4)^4 \times a_1 a_2 = \left(\frac{1}{4} \times \frac{5}{3} \times (-4) \times \left(-\frac{3}{5}\right)\right)^4 \times \frac{1}{4} \times \frac{5}{3} = 1^4 \times \frac{5}{12} = \frac{5}{12}$$ 正确答案为 D。

7. 根据递推关系 $$a_n = \frac{a_{n+1} - 1}{a_{n+1} + 1}$$ 和 $$a_1 = -3$$，计算前几项发现数列周期性为 $$5$$： $$a_1 = -3, a_2 = -2, a_3 = -1, a_4 = 0, a_5 = 1, a_6 = -3, \dots$$ 因此 $$T_{2019} = (a_1 a_2 a_3 a_4 a_5)^{403} \times a_1 a_2 a_3 a_4 = (-3 \times -2 \times -1 \times 0 \times 1)^{403} \times (-3 \times -2 \times -1 \times 0) = 0$$ 但选项中没有 $$0$$，可能是题目描述有误。

8. 斐波那契数列满足 $$F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$$，且 $$F_1 = F_2 = 1$$。其前 $$n$$ 项和 $$S_n = F_{n+2} - 1$$，因此 $$S_{2020} = F_{2022} - 1$$。正确答案为 B。

9. 费马数 $$F_n = 2^{2^n} + 1$$，因此 $$a_n = \log_2 (F_n - 1) = 2^n$$。数列 $$\{a_n\}$$ 的前 $$n$$ 项和 $$S_n = 2^{n+1} - 2$$。不等式化简为： $$\sum_{k=1}^n \frac{2^{k+1}}{S_k S_{k+1}} = \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{S_k} - \frac{1}{S_{k+1}}\right) = \frac{1}{S_1} - \frac{1}{S_{n+1}} < \frac{63}{127}$$ 代入 $$S_1 = 2$$ 和 $$S_{n+1} = 2^{n+2} - 2$$，解得 $$n \leq 6$$。最大正整数为 $$6$$，正确答案为 B。

10. 由“均值数列”定义，$$b_n = \frac{S_n}{n} = n$$，因此 $$S_n = n^2$$。数列 $$\{a_n\}$$ 的通项为： $$a_n = S_n - S_{n-1} = n^2 - (n-1)^2 = 2n - 1$$ 数列 $$\left\{\frac{1}{a_n a_{n+1}}\right\}$$ 的前 $$n$$ 项和为： $$T_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} \left(1 - \frac{1}{2n+1}\right)$$ 不等式 $$T_n < \frac{1}{2} m^2 - m - 1$$ 对所有 $$n$$ 恒成立，即： $$\frac{1}{2} < \frac{1}{2} m^2 - m - 1$$ 解得 $$m \in (-\infty, -1) \cup (3, +\infty)$$。正确答案为 C。

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