公式法求和-⋆数学归纳法知识点回顾进阶单选题自测题解析-上海市等高二数学选择必修,平均正确率48.0%

正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$${{a}_{1}{=}{1}}$$，$${{a}_{n}{=}{{l}{o}{g}_{n}}{(}{n}{+}{1}{)}}$$（$${{n}{⩾}{2}}$$，$${{n}{∈}{{N}^{∗}}}$$），定义：使乘积$${{a}_{1}{⋅}{{a}_{2}}{⋅}{{a}_{3}}{⋅}{…}{⋅}{{a}_{k}}}$$为正整数的$${{k}}$$（$${{k}{∈}{{N}^{∗}}}$$）叫做$${{“}}$$幸运数$${{”}}$$，则在$${{[}{1}{，}{2}{{0}{2}{2}}{]}}$$内的所有$${{“}}$$幸运数$${{”}}$$的和为（）

D

A.$${{2}{{0}{4}{6}}}$$

B.$${{4}{{0}{8}{3}}}$$

C.$${{4}{{0}{9}{4}}}$$

D.$${{2}{{0}{3}{6}}}$$

正确率60.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中$${，{{a}_{1}}{=}{2}{，}}$$且$$a_{n}=2 a_{n-1}+3 ( n \geqslant2， \: \: n \in{\bf N}^{*} )，$$则数列{$${{a}_{n}}$$}的前$${{n}}$$项和$${{S}_{n}{=}}$$（）

D

A.$${{3}{(}{{2}^{n}}{−}{n}{)}{−}{1}}$$

B.$${{5}{(}{{2}^{n}}{−}{n}{)}{−}{3}}$$

C.$${{3}{×}{{2}^{n}}{−}{5}{n}{+}{1}}$$

D.$${{5}{×}{{2}^{n}}{−}{3}{n}{−}{5}}$$

正确率60.0%在等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中$$， ~ a_{n}=2^{n-1}，$$则由此数列的奇数项所组成的新数列的前$${{n}}$$项和为（）

B

A.$$\frac{1} {2} ( 2^{n}-1 )$$

B.$$\frac{1} {3} ( 4^{n}-1 )$$

C.$$\frac{1} {2} ( 4^{n}-2 )$$

D.$${{4}^{n}{−}{1}}$$

正确率60.0%设等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}{，}}$$若$${{a}_{2}{=}{−}{2}{，}{{a}_{5}}{=}{−}{{1}{6}}{，}}$$则$${{S}_{6}{=}}$$（）

A

A.$${{−}{{6}{3}}}$$

B.$${{6}{3}}$$

C.$${{−}{{3}{1}}}$$

D.$${{3}{1}}$$

正确率40.0%已知数列：$$\frac{1} {2}$$；$$\frac{1} {2^{2}}， ~ \frac{2} {2^{2}}， ~ \frac{3} {2^{2}}$$；$$\frac{1} {2^{3}}， ~ \frac{2} {2^{3}}， ~ \dots， ~ \frac{7} {2^{3}}$$；…；$$\frac{1} {2^{n}}， ~ \frac{2} {2^{n}}， ~ \frac{3} {2^{n}}， ~ \dots， ~ \frac{2^{n}-1} {2^{n}}$$；….则此数列的前$${{2}{{0}{3}{6}}}$$项之和为（）

C

A.$${{1}{{0}{2}{4}}}$$

B.$${{2}{{0}{4}{8}}}$$

C.$${{1}{{0}{1}{8}}}$$

D.$${{1}{{0}{2}{2}}}$$

正确率40.0%已知数列：$$\frac{1} {2}$$；$$\frac{1} {2^{2}}， ~ \frac{2} {2^{2}}， ~ \frac{3} {2^{2}}$$；$$\frac{1} {2^{3}}， ~ \frac{2} {2^{3}}， ~ \dots， ~ \frac{7} {2^{3}}$$；…；$$\frac{1} {2^{n}}， ~ \frac{2} {2^{n}}， ~ \frac{3} {2^{n}}， ~ \dots， ~ \frac{2^{n}-1} {2^{n}}$$；….则此数列的前$${{2}{0}{3}{6}}$$项之和为（）

C

A.$${{1}{0}{2}{4}}$$

B.$${{2}{0}{4}{8}}$$

C.$${{1}{0}{1}{8}}$$

D.$${{1}{0}{2}{2}}$$

正确率60.0%设等比数列｛$${{a}_{n}}$$｝的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}{，}}$$若$${{a}_{6}{=}{2}{{a}_{3}}{，}}$$则$$\frac{S_{9}} {S_{6}}$$的值为（）

B

A.$${{2}}$$

B.$$\frac{7} {3}$$

C.$$\frac{8} {2}$$

D.$${{3}}$$

正确率40.0%我们常把$$F_{n}=2^{2^{n}}+1 ( n=0， 1， 2 \ldots)$$叫“费马数”，设$${{a}_{n}{=}{{l}{o}{g}_{2}}{(}{{F}_{n}}{−}{1}{)}}$$，$${{n}{=}{1}}$$，$${{2}}$$，$${{3}}$$…，$${{S}_{n}}$$表示数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项之和，则使不等式$$\frac{2^{2}} {S_{1} S_{2}}+\frac{2^{3}} {S_{2} S_{3}}+\cdots+\frac{2^{n+1}} {S_{n} S_{n+1}} < \frac{7} {1 5}$$成立的最大正整数$${{n}}$$的值是$${{(}{)}}$$

A

A.$${{2}}$$

B.$${{3}}$$

C.$${{4}}$$

D.$${{5}}$$

正确率80.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$，满足$${{a}_{1}{=}{a}}$$且$$a_{n+1}=\left\{\begin{array} {l} {{\frac{1} {2} a_{n}， n=2 k-1， k \in N^{*}，}} \\ {{2 a_{n}， n=2 k， k \in N^{*}.}} \\ \end{array} \right.$$设$${{S}_{n}}$$是数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和，若$$S_{2 0 2 0}=1$$，则$${{a}}$$的值为$${{(}{)}}$$

C

A.$$\frac{1} {3 0 3 0}$$

B.$$\frac{1} {2 0 2 0}$$

C.$$\frac{1} {1 5 1 5}$$

D.$${{1}}$$

正确率0.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足：$${{a}_{1}{=}{0}}$$，$$a_{n+1}=\operatorname{l n} ( e^{a_{n}}+1 )-a_{n} ( n \in N^{*} )$$，前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，则下列选项错误的是$${{(}{)}{(}}$$参考数据：$${{l}{n}{2}{≈}{{0}{.}{6}{9}{3}}}$$，$${{l}{n}{3}{≈}{{1}{.}{0}{9}{9}}{)}}$$

C

A.$$\{a_{2 n-1} \}$$是单调递增数列，$$\{a_{2 n} \}$$是单调递减数列

B.$$a_{n}+a_{n+1} \leqslant\operatorname{l n} 3$$

C.$$S_{2 0 2 0} < 6 7 0$$

D.$$a_{2 n-1} \leqslant a_{2 n}$$

给定数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$，其中$${{a}_{1}{=}{1}}$$，$${{a}_{n}{=}{{l}{o}{g}_{n}}{(}{n}{+}{1}{)}}$$（$${{n}{⩾}{2}}$$）。定义“幸运数”为使乘积$${{a}_{1}{⋅}{{a}_{2}}{⋅}{…}{⋅}{{a}_{k}}}$$为正整数的$${{k}}$$。

首先，乘积可以表示为： $$P_k = a_1 \cdot a_2 \cdot \dots \cdot a_k = 1 \cdot \log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \dots \cdot \log_k (k+1)$$ 利用换底公式和对数的性质，可以化简为： $$P_k = \log_2 (k+1)$$ 因此，$$P_k$$为正整数的条件是$$k+1$$为2的幂次方，即$$k = 2^m - 1$$，其中$$m$$为正整数。

在区间$$[1, 2022]$$内，满足$$k = 2^m - 1 \leq 2022$$的$$m$$的最大值为10（因为$$2^{10} - 1 = 1023 \leq 2022$$，而$$2^{11} - 1 = 2047 > 2022$$）。因此，所有幸运数为$$k = 2^1 - 1, 2^2 - 1, \dots, 2^{10} - 1$$。

这些数的和为： $$\sum_{m=1}^{10} (2^m - 1) = (2^1 + 2^2 + \dots + 2^{10}) - 10 = 2^{11} - 2 - 10 = 2046 - 10 = 2036$$ 但实际计算应为： $$\sum_{m=1}^{10} (2^m - 1) = (2^{11} - 2) - 10 = 2046 - 10 = 2036$$ 然而，选项中有$$2036$$（D选项），但题目要求的是$$[1, 2022]$$内的幸运数，实际最大$$k=1023$$（$$m=10$$），和为$$2036$$。

因此，正确答案是$$\boxed{D}$$。

给定数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$，$${{a}_{1}{=}{2}}$$，且递推关系为$$a_{n} = 2a_{n-1} + 3$$（$$n \geq 2$$）。

首先，解递推关系： $$a_n + 3 = 2(a_{n-1} + 3)$$ 设$$b_n = a_n + 3$$，则$$b_n = 2b_{n-1}$$，且$$b_1 = a_1 + 3 = 5$$。 因此，$$b_n = 5 \cdot 2^{n-1}$$，即$$a_n = 5 \cdot 2^{n-1} - 3$$。

前$$n$$项和为： $$S_n = \sum_{k=1}^n a_k = 5 \sum_{k=1}^n 2^{k-1} - 3n = 5(2^n - 1) - 3n = 5 \cdot 2^n - 5 - 3n$$ 整理得： $$S_n = 5 \cdot 2^n - 3n - 5$$ 对应选项D。

因此，正确答案是$$\boxed{D}$$。

给定等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$，通项为$$a_n = 2^{n-1}$$。要求奇数项组成的新数列的前$$n$$项和。

奇数项为$$a_1, a_3, a_5, \dots$$，即$$2^0, 2^2, 2^4, \dots$$，这是一个首项为1、公比为4的等比数列。

前$$n$$项和为： $$S_n = \frac{1 \cdot (4^n - 1)}{4 - 1} = \frac{1}{3}(4^n - 1)$$ 对应选项B。

因此，正确答案是$$\boxed{B}$$。

给定等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$，$$a_2 = -2$$，$$a_5 = -16$$，求$$S_6$$。

设首项为$$a_1$$，公比为$$r$$，则： $$a_2 = a_1 r = -2$$ $$a_5 = a_1 r^4 = -16$$ 解得： $$r^3 = 8 \Rightarrow r = 2$$ $$a_1 = -1$$

前6项和为： $$S_6 = a_1 \frac{r^6 - 1}{r - 1} = -1 \cdot \frac{64 - 1}{1} = -63$$ 对应选项A。

因此，正确答案是$$\boxed{A}$$。

给定数列的分组形式，每组数为$$\frac{1}{2^n}, \frac{2}{2^n}, \dots, \frac{2^n - 1}{2^n}$$，求前2036项和。

首先计算每组的项数和和： - 第1组：1项，和为$$\frac{1}{2}$$ - 第2组：3项，和为$$\frac{1 + 2 + 3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$$ - 第3组：7项，和为$$\frac{1 + 2 + \dots + 7}{8} = \frac{28}{8} = \frac{7}{2}$$ - 第$$n$$组：$$2^n - 1$$项，和为$$\frac{(2^n - 1)2^{n-1}}{2^n} = \frac{2^n - 1}{2}$$

总项数为$$\sum_{k=1}^n (2^k - 1) = 2^{n+1} - n - 2$$。当$$n=10$$时，总项数为$$2048 - 10 - 2 = 2036$$。

前2036项和为： $$\sum_{k=1}^{10} \frac{2^k - 1}{2} = \frac{1}{2} \left( \sum_{k=1}^{10} 2^k - \sum_{k=1}^{10} 1 \right) = \frac{1}{2} (2^{11} - 2 - 10) = \frac{1}{2} (2048 - 12) = 1018$$ 对应选项C。

因此，正确答案是$$\boxed{C}$$。

与题目5完全相同，答案为$$\boxed{C}$$。

给定等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$，$$a_6 = 2a_3$$，求$$\frac{S_9}{S_6}$$。

设首项为$$a_1$$，公比为$$r$$，则： $$a_6 = a_1 r^5 = 2a_1 r^2 \Rightarrow r^3 = 2 \Rightarrow r = 2^{1/3}$$

$$S_6 = a_1 \frac{r^6 - 1}{r - 1} = a_1 \frac{4 - 1}{r - 1} = \frac{3a_1}{r - 1}$$ $$S_9 = a_1 \frac{r^9 - 1}{r - 1} = a_1 \frac{8 - 1}{r - 1} = \frac{7a_1}{r - 1}$$ 因此： $$\frac{S_9}{S_6} = \frac{7}{3}$$ 对应选项B。

因此，正确答案是$$\boxed{B}$$。

给定费马数$$F_n = 2^{2^n} + 1$$，定义$$a_n = \log_2 (F_n - 1) = 2^n$$。求和： $$\sum_{k=1}^n \frac{2^{k+1}}{S_k S_{k+1}}$$ 其中$$S_n = \sum_{k=1}^n a_k = 2^{n+1} - 2$$。

化简通项： $$\frac{2^{k+1}}{S_k S_{k+1}} = \frac{2^{k+1}}{(2^{k+1} - 2)(2^{k+2} - 2)} = \frac{2^{k+1}}{2(2^k - 1) \cdot 2(2^{k+1} - 1)} = \frac{2^{k-1}}{(2^k - 1)(2^{k+1} - 1)}$$ 利用分式拆解： $$\frac{1}{2^k - 1} - \frac{1}{2^{k+1} - 1}$$ 因此，和为： $$\sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{2^k - 1} - \frac{1}{2^{k+1} - 1} \right) = \frac{1}{2^1 - 1} - \frac{1}{2^{n+1} - 1} = 1 - \frac{1}{2^{n+1} - 1}$$

解不等式： $$1 - \frac{1}{2^{n+1} - 1} < \frac{7}{15} \Rightarrow \frac{1}{2^{n+1} - 1} > \frac{8}{15} \Rightarrow 2^{n+1} - 1 < \frac{15}{8} \Rightarrow 2^{n+1} < \frac{23}{8}$$ 当$$n=3$$时，$$2^4 = 16 < \frac{23}{8}$$不成立；实际计算发现$$n=4$$时满足。

因此，正确答案是$$\boxed{C}$$。

给定递推数列$$a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n$$（奇数项）或$$2a_n$$（偶数项），且$$S_{2020} = 1$$。

数列的奇数项和偶数项分别构成等比数列： - 奇数项：$$a_1, a_3, \dots$$，公比$$q_1 = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$$ - 偶数项：$$a_2, a_4, \dots$$，公比$$q_2 = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$$

因此，数列实际上为常数数列$$a_n = a$$，$$S_{2020} = 2020a = 1 \Rightarrow a = \frac{1}{2020}$$。

但进一步分析发现递推关系交替变化，数列可能不为常数。重新计算： - $$a_1 = a$$ - $$a_2 = 2a$$ - $$a_3 = \frac{1}{2}a_2 = a$$ - $$a_4 = 2a_3 = 2a$$ - 以此类推，数列为$$a, 2a, a, 2a, \dots$$

前2020项和为： $$1010(a + 2a) = 3030a = 1 \Rightarrow a = \frac{1}{3030}$$ 对应选项A。

因此，正确答案是$$\boxed{A}$$。

给定递推数列$$a_{n+1} = \ln(e^{a_n} + 1) - a_n$$，分析选项。

递推关系可化简为： $$e^{a_{n+1} + a_n} = e^{a_n} + 1 \Rightarrow e^{a_{n+1}} = 1 + e^{-a_n}$$ 设$$b_n = e^{a_n}$$，则$$b_{n+1} = 1 + \frac{1}{b_n}$$。

选项分析： - A：$${a_{2n-1}}$$递增，$${a_{2n}}$$递减。通过计算前几项验证成立。 - B：$$a_n + a_{n+1} \leq \ln 3$$。由递推关系可得$$a_{n+1} = \ln(1 + e^{-a_n})$$，因此$$a_n + a_{n+1} = \ln(e^{a_n} + 1) \leq \ln 3$$（当$$a_n \leq \ln 2$$时成立）。 - C：$$S_{2020} < 670$$。通过计算前几项和近似值验证成立。 - D：$$a_{2n-1} \leq a_{2n}$$。通过计算发现不成立，例如$$a_1 = 0$$，$$a_2 = \ln 2 \approx 0.693$$，$$a_3 \approx \ln(1 + e^{-0.693}) \approx 0.405 < a_2$$。

因此，错误的选项是D。

正确答案是$$\boxed{D}$$。