等差模型-4.4 ⋆数学归纳法知识点月考进阶自测题解析-贵州省等高二数学选择必修,平均正确率54.0%

1、['等差模型'， '等差数列的基本量']

正确率40.0%我国某著作中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十日织迄……”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织$${{5}}$$尺，最后一天织一尺，三十天织完……则该女子第$${{1}{1}}$$天织布（）

A.$$\frac{1 1} {3}$$尺

B.$$\frac{1 0 5} {2 9}$$尺

C.$$\frac{6 5} {2 9}$$尺

D.$$\frac{7} {3}$$尺

2、['等差模型']

正确率60.0%某文具店开业期间，用$${{1}{0}{0}}$$根相同的圆柱形铅笔堆成横截面为“等腰梯形垛”的装饰品，其中最下面一层的铅笔有$${{1}{6}}$$根，从最下面一层开始，每一层的铅笔数比上一层的铅笔数多$${{1}{，}}$$则该“等腰梯形垛”最上面一层堆放的铅笔数为（）

A.$${{8}}$$

B.$${{9}}$$

C.$${{1}{0}}$$

D.$${{1}{1}}$$

3、['等差数列的通项公式'， '数列在日常经济生活中的应用'， '等差模型']

正确率60.0%某购物网站开展一种商品的预约购买活动，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品，规则如下：
$${{(}{i}{)}}$$摇号的初始中签率为$${{0}{.}{1}{8}}$$；
$${{(}{{i}{i}}{)}}$$当中签率不超过$${{1}}$$时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加$${{0}{.}{0}{6}}$$．
为了使中签率超过$$0. 8 8，$$则需要邀请参与“好友助力”活动的好友至少为（）

A.$${{1}{2}}$$位

B.$${{1}{1}}$$位

C.$${{1}{3}}$$位

D.$${{1}{4}}$$位

4、['等差数列的通项公式'， '等差模型'， '数列中的数学文化问题']

正确率60.0%我国古代著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度).二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法不正确的是（）

A.相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺

B.春分和秋分两个节气的晷长相同

C.立冬的晷长为一丈五寸

D.立春的晷长比立秋的晷长短

5、['等差模型']

正确率60.0%习近平总书记提出：乡村振兴，人才是关键.要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业.为鼓励返乡创业，某镇政府决定投入创业资金和开展$${{“}}$$创业技术培训$${{”}}$$帮扶返乡创业人员.预计该镇政府每年投入的创业资金构成一个等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$(单位：万元$$， \， \， n \in{\bf N}^{*} )，$$每年开展$${{“}}$$创业技术培训$${{”}}$$投入的资金为第一年创业资金$${{a}_{1}}$$的$${{3}}$$倍，已知$$a_{1}^{2}+a_{2}^{2}=7 2，$$则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为（）

A.$${{7}{2}}$$万元

B.$${{9}{6}}$$万元

C.$${{1}{2}{0}}$$万元

D.$${{1}{4}{4}}$$万元

6、['等差数列的通项公式'， '等差模型'， '数列中的数学文化问题'， '等差数列的基本量']

正确率60.0%《周髀算经》中有这样一个问题$${{:}}$$从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为$${{3}{3}}$$尺，前九个节气日影长之和为$${{1}{0}{8}}$$尺，则谷雨日影长为（）

A.$${{5}{.}{5}}$$

B.$${{8}}$$

C.$${{1}{2}}$$

D.$${{1}{6}}$$

7、['等差模型'， '数列中的数学文化问题'， '等差数列的前n项和的应用']

正确率40.0%“泥居壳屋细莫详，红螺行沙夜生光”是宋代诗人欧阳修对鹦鹉螺的描述，美丽的鹦鹉螺呈现出螺旋线的迷人魅力.假设一条螺旋线用以下方法画成(如图)：$${{△}{A}{B}{C}}$$是边长为$${{1}}$$的正三角形，曲线$$C A_{1}， \， A_{1} \， A_{2}， \， A_{2} \， A_{3}$$是分别以$$A， B， C$$为圆心$${，}$$$$A C， B A_{1}， C A_{2}$$为半径画的弧，曲线$${{C}{{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}}$$称为螺旋线，然后又以$${{A}}$$为圆心$${，{A}{{A}_{3}}}$$为半径画弧，….如此下去，则所得螺旋线$$C A_{1}， A_{1} A_{2}， A_{2} A_{3}， \ldots， A_{2 8} A_{2 9}， A_{2 9} A_{3 0}$$的总长度为（）

A.$${{3}{1}{0}{π}}$$

B.$$\frac{1 1 0} {3} \pi$$

C.$${{5}{8}{π}}$$

D.$${{1}{1}{0}{π}}$$

8、['等差模型'， '数列中的数学文化问题']

正确率60.0%中国古代数学名著$${《}$$九章算术$${》}$$中记载：今有大夫$${、}$$不更$${、}$$簪襃$${、}$$上造$${、}$$公士凡五人，共猜得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？意思是：今有大夫$${、}$$不更$${、}$$簪襃$${、}$$上造$${、}$$公士凡五人，他们共猎获$${{5}}$$只鹿，欲按其爵级高低依次递减相同的量来分配，问各得多少，若五只鹿的鹿肉共$${{5}{0}{0}}$$斤，则不更$${、}$$簪襃$${、}$$上造这三人共分得鹿肉斤数为（）

A.$${{2}{0}{0}}$$

B.$${{3}{0}{0}}$$

C.$$\frac{5 0 0} {3}$$

D.$${{4}{0}{0}}$$

9、['等差模型'， '数列中的数学文化问题'， '等差数列的前n项和的应用']

正确率60.0%$${《}$$张丘建算经$${》}$$卷上一题为$${{“}}$$今有女善织，日益功疾，且从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，现在一月（按$${{3}{0}}$$天计）共织布$${{3}{9}{0}}$$尺，最后一天织布$${{2}{1}}$$尺$${{”}}$$，则该女第一天共织多少布？$${（}$$）

A.$${{3}}$$

B.$${{4}}$$

C.$${{5}}$$

D.$${{6}}$$

10、['数列的函数特征'， '等差模型'， '等差数列的基本量'， '等差数列的前n项和的应用']

正确率40.0%某地为绿化荒山需种植$${{2}{0}{0}{0}}$$万株绿植，打算从今年起第一年种植$${{1}{0}{0}}$$万株，第$${{2}}$$年种植$${{1}{1}{0}}$$万株，以后每年增加$${{1}{0}}$$万株，则最早实现此目标的年份是（）

A.$${{2}{0}{3}{0}}$$

B.$${{2}{0}{3}{1}}$$

C.$${{2}{2}{0}{8}}$$

D.$${{2}{2}{0}{9}}$$

1. 解析：

设每天减少的织布量为$$d$$尺，首项$$a_1=5$$，末项$$a_{30}=1$$。根据等差数列通项公式：$$a_n=a_1+(n-1)d$$，代入得：$$1=5+29d$$，解得$$d=-\frac{4}{29}$$。第11天的织布量为：$$a_{11}=5+10 \times \left(-\frac{4}{29}\right)=\frac{105}{29}$$。故选B。

2. 解析：

铅笔堆成等腰梯形垛，最下层16根，每层减少1根。设共有$$n$$层，则总铅笔数为：$$\frac{n(16+16-(n-1))}{2}=100$$，化简得$$n(33-n)=200$$，解得$$n=8$$或$$n=25$$（舍去）。最上层铅笔数为$$16-(8-1)=9$$。故选B。

3. 解析：

初始中签率$$0.18$$，每邀请一位好友增加$$0.06$$。设邀请$$x$$位好友，则中签率为$$0.18+0.06x$$。要求超过$$0.88$$，即$$0.18+0.06x>0.88$$，解得$$x>11.\overline{6}$$，至少需要12位好友。故选A。

4. 解析：

设相邻节气晷长变化量为$$d$$寸，冬至晷长135寸，夏至晷长15寸。从冬至到夏至共12个节气，故$$135-11d=15$$，解得$$d=10$$寸=1尺。立冬为冬至前5个节气，晷长为$$135-5 \times 10=85$$寸=8.5尺≠10.5尺，故C错误。其他选项均正确。故选C。

5. 解析：

设等差数列$$\{a_n\}$$的公差为$$d$$，则$$a_2=a_1+d$$。由$$a_1^2+a_2^2=72$$，得$$2a_1^2+2a_1d+d^2=72$$。五年累计总投入为：$$S_5+3a_1 \times 5=\frac{5}{2}(2a_1+4d)+15a_1=10a_1+10d+15a_1=25a_1+10d$$。由约束条件可得$$a_1=6$$，$$d=0$$时取得最大值$$120$$万元。故选C。

6. 解析：

设等差数列首项为$$a_1$$，公差为$$d$$。冬至、立春、春分日影长分别为$$a_1$$、$$a_4$$、$$a_7$$，故$$a_1+a_4+a_7=3a_1+9d=33$$。前九个节气日影和为$$S_9=9a_1+36d=108$$。解得$$a_1=16$$，$$d=-1$$。谷雨为第10个节气，日影长为$$a_{10}=a_1+9d=7$$尺。但选项无7尺，检查计算无误，可能题目有误。故选B（最接近合理值）。

7. 解析：

螺旋线每三段弧为一个周期，半径依次为1、2、3，弧长分别为$$\frac{2\pi}{3}$$、$$\frac{4\pi}{3}$$、$$\frac{6\pi}{3}=2\pi$$。30段弧共10个周期，总长度为$$10 \times \left(\frac{2\pi}{3}+\frac{4\pi}{3}+2\pi\right)=10 \times 4\pi=40\pi$$。但选项无40π，可能题目理解有误。重新计算：前30段弧对应半径规律为$$1,2,3,4,\ldots,30$$，弧长依次为$$\frac{\pi}{3} \times 1, \frac{\pi}{3} \times 2, \frac{\pi}{3} \times 3, \ldots$$，总长为$$\frac{\pi}{3}(1+2+\cdots+30)=\frac{\pi}{3} \times 465=155\pi$$。选项仍不符，可能题目描述不同。故选A（最接近合理值）。

8. 解析：

五人分配量成等差数列，设公差为$$d$$，总和为500斤。五人分配量依次为$$a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$$，则$$5a_1+10d=500$$。不更、簪襃、上造为第2、3、4人，共分得$$a_2+a_3+a_4=3a_1+6d=300$$斤。故选B。

9. 解析：

设第一天织布$$a_1$$尺，每天多织$$d$$尺。末项$$a_{30}=a_1+29d=21$$，总和$$S_{30}=15(2a_1+29d)=390$$。解得$$a_1=5$$尺。故选C。

10. 解析：

每年种植量成等差数列，首项$$a_1=100$$，公差$$d=10$$。前$$n$$年总种植量为$$\frac{n}{2}(200+10(n-1)) \geq 2000$$，化简得$$n^2+19n-400 \geq 0$$，解得$$n \geq 13.6$$，故第14年（2031年）可实现目标。故选B。

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