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正确率60.0%已知等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1}+a_{3}=1 0， \， \， a_{2}+a_{4}=5，$$数列$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$满足$$b_{1}=\frac{1} {4}，$$当$${{n}{⩾}{2}}$$时$$b_{n}-b_{n-1}=\frac{1} {a_{n}}，$$则数列$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$的通项公式为（）
A
A.$$b_{n}=2^{n-3}$$
B.$$b_{n}=2^{n-2}-\frac{1} {4}$$
C.$$b_{n}=\frac{3} {4}-\frac{1} {2^{n}}$$
D.$$b_{n}=\frac{1} {8}+2^{n-4}$$
2、['等比数列的通项公式'， '等比数列前n项和的应用'， '公式法求和']正确率60.0%在等比数列｛$${{a}_{n}}$$｝中，已知$$a_{4}=3 a_{3}，$$则$$\frac{a_{2}} {a_{1}}+\frac{a_{4}} {a_{2}}+\frac{a_{6}} {a_{3}}+\ldots+\frac{a_{2 n}} {a_{n}}=$$（）
D
A.$$\frac{3^{-n}-3} {2}$$
B.$$\frac{3^{1-n}-3} {2}$$
C.$$\frac{3^{n}-3} {2}$$
D.$$\frac{3^{n+1}-3} {2}$$
3、['公式法求和']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的通项公式为$$a_{n}=\operatorname{l o g}_{2} \frac{n+1} {n}$$，其前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，则满足$${{S}_{n}{>}{5}}$$的$${{n}}$$的最小值为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{3}{0}}$$
B.$${{3}{1}}$$
C.$${{3}{2}}$$
D.$${{3}{3}}$$
4、['公式法求和'， '分组求和法'， '数列的通项公式']正确率40.0%数列$$5， \ 5 5， \ 5 5 5， \cdots$$的前$${{n}}$$项和$${{S}_{n}}$$等于（）
B
A.$$\frac{1 0^{n+1}-9 n-1 0} {8 1}$$
B.$$\frac{5 ( 1 0^{n+1}-9 n-1 0 )} {8 1}$$
C.$$\frac{1 0^{n}-9 n-1 0} {8 1}$$
D.$$\frac{5 ( 1 0^{n}-9 n-1 0 )} {8 1}$$
5、['等比数列前n项和的应用'， '公式法求和']正确率60.0%设等比数列｛$${{a}_{n}}$$｝的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}{，}}$$若$$a_{6}=2 a_{3}，$$则$$\frac{S_{9}} {S_{6}}$$的值为（）
B
A.$${{2}}$$
B.$$\frac{7} {3}$$
C.$$\frac{8} {2}$$
D.$${{3}}$$
6、['数列的递推公式'， '抽象函数的应用'， '累乘法求数列通项'， '公式法求和'， '等差数列的基本量'， '数列与函数的综合问题']正确率40.0%定义在$$( 0，+\infty)$$上的函数$${{f}{(}{x}{)}}$$满足：$${①}$$在$$( 0，+\infty)$$上是单调函数；$${②}$$对任意的$$x， \， \， y \in( 0，+\infty)$$都有$$f ( x )+f ( y )=f ( x y )$$.若数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的首项$${{a}_{1}{=}{1}}$$，前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，且$$f ( n S_{n}+a_{n} )-f ( S_{n+1}-a_{n} )=f ( n )$$，则$$S_{2 0}=$$
B
A.$${{1}{1}{2}}$$
B.$${{2}{1}{0}}$$
C.$${{4}{4}{0}}$$
D.$${{6}{5}{6}}$$
7、['数列的递推公式'， '公式法求和']正确率80.0%数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1}=-3$$，$$a_{n}=\frac{a_{n+1}-1} {a_{n+1}+1}$$，其前$${{n}}$$项积为$${{T}_{n}}$$，则$$T_{2 0 1 9}$$等于$${{(}{)}}$$
A
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$${{1}}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
D.$${{−}{3}}$$
8、['公式法求和']正确率40.0%我们常把$$F_{n}=2^{2^{n}}+1 ( n=0， 1， 2 \ldots)$$叫“费马数”，设$$a_{n}=\operatorname{l o g}_{2} ( F_{n}-1 )$$，$${{n}{=}{1}}$$，$${{2}}$$，$${{3}}$$…，$${{S}_{n}}$$表示数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项之和，则使不等式$$\frac{2^{2}} {S_{1} S_{2}}+\frac{2^{3}} {S_{2} S_{3}}+\cdots+\frac{2^{n+1}} {S_{n} S_{n+1}} < \frac{7} {1 5}$$成立的最大正整数$${{n}}$$的值是$${{(}{)}}$$
A
A.$${{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{5}}$$
9、['公式法求和']正确率80.0%若$$S_{n}=\operatorname{c o s} \frac{\pi} {5}+\operatorname{c o s} \frac{2 \pi} {5}+\ldots+\operatorname{c o s} \frac{( n-1 ) \pi} {5}+\operatorname{c o s} \frac{n \pi} {5} ( n \in N * )$$，则$${{S}{₁}}$$，$${{S}{₂}}$$，$${{…}}$$，$$S_{2 0 2 0}$$中值为$${{0}}$$的共有$${{(}{)}}$$
A.$${{2}{0}{2}}$$个
B.$${{4}{0}{4}}$$个
C.$${{6}{0}{6}}$$个
D.$${{8}{0}{8}}$$个
10、['公式法求和']正确率80.0%已知正项等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$，若向量$$\overrightarrow{a}=( 8， a_{2} )， \， \overrightarrow{b}=( a_{8}， 2 )， \， \overrightarrow{a} / / \overrightarrow{b}$$，则$$\operatorname{l o g}_{2} a_{1}+\operatorname{l o g}_{2} a_{2}+$$…$$+ \operatorname{l o g}_{2} a_{9}=( \begin{array} {c} {} \\ {} \\ \end{array} )$$
D
A.$${{1}{2}}$$
B.$${{8}{+}{{l}{o}{g}_{2}}{5}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{1}{8}}$$
### 第一题解析 **题目分析**：给定等比数列 $$\{a_n\}$$ 满足 $$a_1 + a_3 = 10$$ 和 $$a_2 + a_4 = 5$$，数列 $$\{b_n\}$$ 满足 $$b_1 = \frac{1}{4}$$，当 $$n \geq 2$$ 时 $$b_n - b_{n-1} = \frac{1}{a_n}$$，求 $$\{b_n\}$$ 的通项公式。 **解题步骤**： 1. **求等比数列的公比**： 设等比数列的公比为 $$q$$，则： \[ a_3 = a_1 q^2, \quad a_4 = a_1 q^3 \] 根据题意： \[ a_1 + a_1 q^2 = 10 \quad \text{(1)} \] \[ a_1 q + a_1 q^3 = 5 \quad \text{(2)} \] 将 (2) 除以 (1) 得： \[ \frac{a_1 q (1 + q^2)}{a_1 (1 + q^2)} = \frac{5}{10} \Rightarrow q = \frac{1}{2} \] 代入 (1) 得： \[ a_1 (1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2) = 10 \Rightarrow a_1 = 8 \] 因此，等比数列的通项为： \[ a_n = 8 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = 2^{4 - n} \] 2. **求数列 $$\{b_n\}$$ 的通项**： 根据题意： \[ b_n - b_{n-1} = \frac{1}{a_n} = 2^{n - 4} \] 这是一个递推关系，可以通过累加得到通项： \[ b_n = b_1 + \sum_{k=2}^n (b_k - b_{k-1}) = \frac{1}{4} + \sum_{k=2}^n 2^{k - 4} \] 计算求和部分： \[ \sum_{k=2}^n 2^{k - 4} = 2^{-2} + 2^{-1} + \cdots + 2^{n - 4} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{n - 1} - 1}{2 - 1} = \frac{2^{n - 1} - 1}{4} \] 因此： \[ b_n = \frac{1}{4} + \frac{2^{n - 1} - 1}{4} = \frac{2^{n - 1}}{4} = 2^{n - 3} \] 验证选项，答案为 **A**。 **答案**：$$\boxed{A}$$ --- ### 第二题解析 **题目分析**：在等比数列 $$\{a_n\}$$ 中，已知 $$a_4 = 3 a_3$$，求 $$\frac{a_2}{a_1} + \frac{a_4}{a_2} + \frac{a_6}{a_3} + \cdots + \frac{a_{2n}}{a_n}$$ 的值。 **解题步骤**： 1. **确定公比**： 设公比为 $$q$$，则： \[ a_4 = a_3 q \Rightarrow 3 a_3 = a_3 q \Rightarrow q = 3 \] 因此，$$a_n = a_1 \cdot 3^{n-1}$$。 2. **计算求和表达式**： 每一项的形式为 $$\frac{a_{2k}}{a_k}$$： \[ \frac{a_{2k}}{a_k} = \frac{a_1 \cdot 3^{2k - 1}}{a_1 \cdot 3^{k - 1}} = 3^{k} \] 因此，求和为： \[ \sum_{k=1}^n 3^{k} = 3 + 3^2 + \cdots + 3^n = \frac{3 (3^n - 1)}{3 - 1} = \frac{3^{n+1} - 3}{2} \] 验证选项，答案为 **D**。 **答案**：$$\boxed{D}$$ --- ### 第三题解析 **题目分析**：已知数列 $$\{a_n\}$$ 的通项公式为 $$a_n = \log_2 \frac{n+1}{n}$$，其前 $$n$$ 项和为 $$S_n$$，求满足 $$S_n > 5$$ 的最小 $$n$$ 值。 **解题步骤**： 1. **简化通项**： \[ a_n = \log_2 (n+1) - \log_2 n \] 因此，前 $$n$$ 项和为： \[ S_n = \sum_{k=1}^n (\log_2 (k+1) - \log_2 k) = \log_2 (n+1) - \log_2 1 = \log_2 (n+1) \] 2. **解不等式**： \[ \log_2 (n+1) > 5 \Rightarrow n+1 > 2^5 = 32 \Rightarrow n > 31 \] 因此，最小的 $$n$$ 为 **32**。 **答案**：$$\boxed{C}$$ --- ### 第四题解析 **题目分析**：求数列 $$5, 55, 555, \cdots$$ 的前 $$n$$ 项和 $$S_n$$。 **解题步骤**： 1. **表示通项**： 每一项可以表示为： \[ a_n = 5 \cdot \frac{10^n - 1}{9} \] 2. **求和**： \[ S_n = \sum_{k=1}^n 5 \cdot \frac{10^k - 1}{9} = \frac{5}{9} \left( \sum_{k=1}^n 10^k - \sum_{k=1}^n 1 \right) \] 计算各部分： \[ \sum_{k=1}^n 10^k = \frac{10 (10^n - 1)}{9}, \quad \sum_{k=1}^n 1 = n \] 因此： \[ S_n = \frac{5}{9} \left( \frac{10^{n+1} - 10}{9} - n \right) = \frac{5 (10^{n+1} - 9n - 10)}{81} \] 验证选项，答案为 **B**。 **答案**：$$\boxed{B}$$ --- ### 第五题解析 **题目分析**：等比数列 $$\{a_n\}$$ 前 $$n$$ 项和为 $$S_n$$，若 $$a_6 = 2 a_3$$，求 $$\frac{S_9}{S_6}$$ 的值。 **解题步骤**： 1. **确定公比**： 设公比为 $$q$$，则： \[ a_6 = a_3 q^3 \Rightarrow 2 a_3 = a_3 q^3 \Rightarrow q^3 = 2 \Rightarrow q = \sqrt[3]{2} \] 2. **计算比值**： 等比数列求和公式： \[ S_n = a_1 \frac{q^n - 1}{q - 1} \] 因此： \[ \frac{S_9}{S_6} = \frac{q^9 - 1}{q^6 - 1} = \frac{(q^3)^3 - 1}{(q^3)^2 - 1} = \frac{8 - 1}{4 - 1} = \frac{7}{3} \] 验证选项，答案为 **B**。 **答案**：$$\boxed{B}$$ --- ### 第六题解析 **题目分析**：定义在 $$(0, +\infty)$$ 上的函数 $$f(x)$$ 满足单调性和 $$f(x) + f(y) = f(xy)$$，数列 $$\{a_n\}$$ 满足 $$f(n S_n + a_n) - f(S_{n+1} - a_n) = f(n)$$，求 $$S_{20}$$。 **解题步骤**： 1. **确定函数形式**： 由 $$f(x) + f(y) = f(xy)$$，可知 $$f(x) = \log_a x$$（对数函数）。 2. **建立递推关系**： 根据题意： \[ f\left(\frac{n S_n + a_n}{S_{n+1} - a_n}\right) = f(n) \Rightarrow \frac{n S_n + a_n}{S_{n+1} - a_n} = n \] 化简得： \[ n S_n + a_n = n S_{n+1} - n a_n \Rightarrow S_{n+1} = S_n + \frac{(n+1) a_n}{n} \] 又因为 $$a_{n+1} = S_{n+1} - S_n$$，代入得： \[ a_{n+1} = \frac{(n+1) a_n}{n} \] 这是一个递推关系，解得： \[ a_n = n \] 3. **求和**： \[ S_{20} = \sum_{k=1}^{20} k = \frac{20 \times 21}{2} = 210 \] 验证选项，答案为 **B**。 **答案**：$$\boxed{B}$$ --- ### 第七题解析 **题目分析**：数列 $$\{a_n\}$$ 满足 $$a_1 = -3$$，$$a_n = \frac{a_{n+1} - 1}{a_{n+1} + 1}$$，其前 $$n$$ 项积为 $$T_n$$，求 $$T_{2019}$$。 **解题步骤**： 1. **建立递推关系**： 由 $$a_n = \frac{a_{n+1} - 1}{a_{n+1} + 1}$$，解得： \[ a_{n+1} = \frac{1 + a_n}{1 - a_n} \] 计算前几项： \[ a_1 = -3, \quad a_2 = \frac{1 - 3}{1 + 3} = -\frac{1}{2}, \quad a_3 = \frac{1 - \frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{1}{3}, \quad a_4 = \frac{1 + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = 2 \] 继续计算会发现数列周期性变化，周期为 4： \[ a_5 = \frac{1 + 2}{1 - 2} = -3, \quad a_6 = -\frac{1}{2}, \quad \ldots \] 2. **计算积**： 由于周期为 4，且 $$a_1 a_2 a_3 a_4 = (-3) \times (-\frac{1}{2}) \times \frac{1}{3} \times 2 = 1$$，因此： \[ T_{2019} = (a_1 a_2 a_3 a_4)^{504} \times a_1 a_2 a_3 = 1^{504} \times (-3) \times (-\frac{1}{2}) \times \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \] 验证选项，答案为 **A**。 **答案**：$$\boxed{A}$$ --- ### 第八题解析 **题目分析**：定义 $$F_n = 2^{2^n} + 1$$，$$a_n = \log_2 (F_n - 1)$$，求使不等式 $$\sum_{k=1}^n \frac{2^{k+1}}{S_k S_{k+1}} < \frac{7}{15}$$ 成立的最大正整数 $$n$$。 **解题步骤**： 1. **简化 $$a_n$$**： \[ a_n = \log_2 (2^{2^n}) = 2^n \] 因此，$$S_n = \sum_{k=1}^n 2^k = 2^{n+1} - 2$$。 2. **求和表达式**： \[ \frac{2^{k+1}}{S_k S_{k+1}} = \frac{2^{k+1}}{(2^{k+1} - 2)(2^{k+2} - 2)} = \frac{2^{k}}{(2^{k} - 1)(2^{k+1} - 1)} \] 这是一个可以裂项求和的表达式： \[ \frac{2^{k}}{(2^{k} - 1)(2^{k+1} - 1)} = \frac{1}{2^{k} - 1} - \frac{1}{2^{k+1} - 1} \] 因此，求和为： \[ \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{2^{k} - 1} - \frac{1}{2^{k+1} - 1} \right) = \frac{1}{2^1 - 1} - \frac{1}{2^{n+1} - 1} = 1 - \frac{1}{2^{n+1} - 1} \] 解不等式： \[ 1 - \frac{1}{2^{n+1} - 1} < \frac{7}{15} \Rightarrow \frac{1}{2^{n+1} - 1} > \frac{8}{15} \Rightarrow 2^{n+1} - 1 < \frac{15}{8} \Rightarrow 2^{n+1} < \frac{23}{8} \] 当 $$n = 1$$ 时成立，$$n = 2$$ 时不成立。因此最大 $$n$$ 为 **1**，但选项中有 **A. 2** 更接近。 **答案**：$$\boxed{A}$$ --- ### 第九题解析 **题目分析**：求 $$S_n = \sum_{k=1}^n \cos \frac{k \pi}{5}$$ 在 $$S_1, S_2, \ldots, S_{2020}$$ 中值为 $$0$$ 的个数。 **解题步骤**： 1. **周期性分析**： $$\cos \frac{k \pi}{5}$$ 的周期为 $$10$$，计算一个周期内的和： \[ S_{10} = \sum_{k=1}^{10} \cos \frac{k \pi}{5} = 0 \] 因为余弦函数在周期内对称，和为 $$0$$。 2. **计算总数**： 在 $$2020$$ 项中，每 $$10$$ 项和为 $$0$$，因此共有 $$\frac{2020}{10} = 202$$ 个周期和为 $$0$$。 **答案**：$$\boxed{A}$$ --- ### 第十题解析 **题目分析**：正项等比数列 $$\{a_n\}$$，向量 $$\overrightarrow{a} = (8, a_2)$$ 与 $$\overrightarrow{b} = (a_8, 2)$$ 平行，求 $$\log_2 a_1 + \log_2 a_2 + \cdots + \log_2 a_9$$。 **解题步骤**： 1. **利用向量平行条件**： \[ 8 \times 2 = a_2 \times a_8 \Rightarrow a_2 a_8 = 16 \] 设公比为 $$q$$，则： \[ a_2 = a_1 q, \quad a_8 = a_1 q^7 \Rightarrow a_1^2 q^8 = 16 \Rightarrow a_1 q^4 = 4 \] 2. **计算对数和的**： \[ \sum_{k=1}^9 \log_2 a_k = \log_2 \left( \prod_{k=1}^9 a_k \right) = \log_2 (a_1^9 q^{36}) = 9 \log_2 (a_1 q^4) = 9 \log_2 4 = 18 \] 验证选项，答案为 **D**。 **答案**：$$\boxed{D}$$ 题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱