数列中的新定义问题-⋆数学归纳法知识点月考进阶自测题解析-内蒙古自治区等高二数学选择必修,平均正确率52.0%

1、['数列的前n项和'， '等比数列前n项和的应用'， '数列中的新定义问题']

正确率60.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和是$${{S}_{n}{，}}$$且$${{S}_{n}{=}{2}{{a}_{n}}{−}{1}}$$.若$${{a}_{n}{∈}{(}{0}{，}{{2}{0}{2}{1}}{)}{，}}$$则称项$${{a}_{n}}$$为“和谐项”.数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中的所有“和谐项”之和为（）

A.$${{1}{0}{2}{2}}$$

B.$${{1}{0}{2}{3}}$$

C.$${{2}{0}{4}{6}}$$

D.$${{2}{0}{4}{7}}$$

2、['数列的前n项和'， '裂项相消法求和'， '其他方法求数列通项'， '数列中的新定义问题']

正确率40.0%定义$$\frac{n} {p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{n}}$$为$${{n}}$$个正数$${{p}_{1}{，}{{p}_{2}}{，}{…}{…}{{p}_{n}}}$$的$${{“}}$$均倒数$${{”}}$$．若已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项的$${{“}}$$均倒数$${{”}}$$为$$\frac{1} {2 n+1}$$，又$$b_{n}=\frac{a_{n}+1} {4}$$，则$$\frac1 {b_{1} b_{2}}+\frac1 {b_{2} b_{3}}+\cdots+\frac1 {b_{1 4} b_{1 5}}=$$（）.

A.$$\frac{1 3} {1 4}$$

B.$$\frac{1 4} {1 5}$$

C.$$\frac{1} {1 4}$$

D.$$\frac{1 1} {1 5}$$

4、['等差数列的通项公式'， '数列中的新定义问题']

正确率60.0%等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$$a_{2}=\frac{7} {5}， \ a_{3}+a_{4}=4$$，设$${{b}_{n}{=}{[}{{a}_{n}}{]}{，}{[}{x}{]}}$$表示不超过$${{x}}$$的最大整数，$${{[}{{0}{.}{2}}{]}{=}{0}{，}{[}{{3}{.}{5}}{]}{=}{3}}$$，则数列$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$的前$${{6}}$$项和$${{S}_{6}{=}{(}{)}}$$

A.$${{8}}$$

B.$${{9}}$$

C.$${{1}{0}}$$

D.$${{1}{1}}$$

5、['古典概型的概率计算公式'， '古典概型的应用'， '排列与组合的综合应用'， '数列中的新定义问题']

正确率40.0%一个三位自然数$${{a}{b}{c}}$$的百位，十位，个位上的数字依次为$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$，当且仅当$${{a}{<}{b}}$$且$${{c}{<}{b}}$$时称为$${{“}}$$凸数$${{”}}$$.若$${{a}{，}{b}{，}{c}{∈}{\{}{2}{，}{5}{，}{8}{，}{9}{\}}}$$，且$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$互不相同，任取一个三位数$${{a}{b}{c}}$$，则它为$${{“}}$$凸数$${{”}}$$的概率是（）

A.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$

B.$$\frac{2} {5}$$

C.$$\frac{1} {6}$$

D.$$\frac{1} {3}$$

6、['等差数列的基本量'， '数列中的新定义问题']

正确率60.0%在数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$$a_{n}=\frac{1} {n} \， \left( n \in N^{*} \right)$$，从数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中选出$${{k}{{(}{k}{⩾}{3}{)}}}$$项并按原顺序组成的新数列记为$${{\{}{{b}_{n}}{\}}{，}}$$并称$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$为数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的$${{k}}$$项子列．例如数列$$\frac{1} {2} \cdot\frac{1} {3} \cdot\ \frac{1} {5} \cdot\ \frac{1} {8}$$为$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的一个$${{4}}$$项子列．若$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$为数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的一个$${{k}{(}{k}{⩾}{3}{)}}$$项子列，且$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$为等差数列，则$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$的公差$${{d}}$$的最小值为（）

A.$$- \frac{1} {6}$$

B.$$- \frac{1} {4}$$

C.$$- \frac{1} {3}$$

D.$$- \frac{1} {2}$$

7、['等差数列的通项公式'， '数列的递推公式'， '数列的函数特征'， '数列中的新定义问题'， '数列的通项公式'， '等差数列的前n项和的应用']

正确率40.0%对于数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}{，}}$$定义$$H_{0}=\frac{a_{1}+2 a_{2}+\ldots+2^{n-1} a_{n}} {n}$$为$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的$${{“}}$$优值$${{”}}$$．现已知某数列的$${{“}}$$优值$$" H_{0}=2^{n+1}$$，记数列$${{\{}{{a}_{n}}{−}{{2}{0}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，则$${{S}_{n}}$$的最小值为（）

A.$${{−}{{6}{4}}}$$

B.$${{−}{{6}{8}}}$$

C.$${{−}{{7}{0}}}$$

D.$${{−}{{7}{2}}}$$

8、['分步乘法计数原理'， '分类加法计数原理'， '数列中的新定义问题']

正确率60.0%设$${{a}_{1}{，}{{a}_{2}}{，}{…}{，}{{a}_{n}}}$$是$${{1}{，}{2}{，}{…}{，}{n}}$$的一个排列，把排在$${{a}_{i}}$$的左边且比$${{a}_{i}}$$小的数的个数为$${{a}_{i}{(}{i}{=}{1}{，}{2}{，}{…}{n}{)}}$$的顺序数，如在排列$${{6}{，}{4}{，}{5}{，}{3}{，}{2}{，}{1}}$$中，$${{5}}$$的顺序数为$${{1}{，}{3}}$$的顺序数为$${{0}}$$，则在$${{1}}$$至$${{8}}$$这$${{8}}$$个数的排列中，$${{8}}$$的顺序数为$${{2}{，}{7}}$$的顺序数为$${{3}{，}{5}}$$的顺序数为$${{3}}$$的不同排列的种数为$${{(}{)}}$$

A.$${{4}{8}}$$

B.$${{1}{2}{0}}$$

C.$${{1}{4}{4}}$$

D.$${{1}{9}{2}}$$

9、['归纳推理'， '数列中的新定义问题']

正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的通项公式为$${{a}_{n}{=}{{2}^{n}}}$$，现将该数列按右图规律排成一个数阵(第$${{n}}$$行有加$${{2}{n}{−}{1}}$$项$${{)}}$$，记$${{(}{m}{，}{n}{)}}$$为该数阵中第$${{m}}$$行从左到右第$${{n}}$$个数，则$${{(}{8}{，}{7}{)}}$$为
$${}$$$$None$$

A.$$2^{5 6}$$

B.$$2^{5 5}$$

C.$$2^{4 9}$$

D.$$2^{5 0}$$

10、['数列中的新定义问题']

正确率19.999999999999996%定义：在数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，若满足$$\frac{a_{n+2}} {a_{n+1}}-\frac{a_{n+1}} {a_{n}}=d$$$${{(}{n}{∈}{{N}^{∗}}{，}{d}}$$为常数)，称$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$为“等差比数列”，已知在“等差比数列”$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$${{a}_{1}{=}{{a}_{2}}{=}{1}{，}{{a}_{3}}{=}{3}{，}}$$则$$\frac{a_{2 0 1 8}} {a_{2 0 1 6}}=$$（）

A.$${{4}{×}{{2}{0}{1}{6}^{2}}{−}{1}}$$

B.$${{4}{×}{{2}{0}{1}{7}^{2}}{−}{1}}$$

C.$${{4}{×}{{2}{0}{1}{8}^{2}}{−}{1}}$$

D.$${{4}{×}{{2}{0}{1}{8}^{2}}}$$

1. 解析：

由题意，$$S_n = 2a_n - 1$$，当$$n=1$$时，$$S_1 = a_1 = 2a_1 - 1$$，解得$$a_1 = 1$$。

当$$n \geq 2$$时，$$a_n = S_n - S_{n-1} = (2a_n - 1) - (2a_{n-1} - 1) = 2a_n - 2a_{n-1}$$，整理得$$a_n = 2a_{n-1}$$。

因此，数列$$\{a_n\}$$是首项为1，公比为2的等比数列，通项公式为$$a_n = 2^{n-1}$$。

“和谐项”满足$$0 < a_n < 2021$$，即$$0 < 2^{n-1} < 2021$$，解得$$1 \leq n \leq 10$$（因为$$2^{10} = 1024 < 2021 < 2048 = 2^{11}$$）。

所有“和谐项”之和为$$S_{10} = 2^{10} - 1 = 1023$$，故选B。

2. 解析：

由题意，$$\frac{n}{p_1 + p_2 + \cdots + p_n} = \frac{1}{2n + 1}$$，即$$p_1 + p_2 + \cdots + p_n = n(2n + 1)$$。

设数列$$\{a_n\}$$的前$$n$$项和为$$S_n$$，则$$S_n = n(2n + 1)$$。

当$$n \geq 2$$时，$$a_n = S_n - S_{n-1} = n(2n + 1) - (n-1)(2n - 1) = 4n - 1$$。

当$$n=1$$时，$$a_1 = S_1 = 3$$，符合通项公式，故$$a_n = 4n - 1$$。

$$b_n = \frac{a_n + 1}{4} = n$$，因此$$\frac{1}{b_k b_{k+1}} = \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$$。

所求和为$$\sum_{k=1}^{14} \frac{1}{k(k+1)} = 1 - \frac{1}{15} = \frac{14}{15}$$，故选B。

4. 解析：

设等差数列$$\{a_n\}$$的公差为$$d$$，由题意：

$$a_2 = a_1 + d = \frac{7}{5}$$，

$$a_3 + a_4 = 2a_1 + 5d = 4$$。

解得$$a_1 = \frac{1}{5}$$，$$d = \frac{6}{5}$$。

通项公式为$$a_n = \frac{1}{5} + (n-1) \cdot \frac{6}{5} = \frac{6n - 5}{5}$$。

计算前6项：

$$a_1 = \frac{1}{5} = 0.2$$，$$[a_1] = 0$$；

$$a_2 = \frac{7}{5} = 1.4$$，$$[a_2] = 1$$；

$$a_3 = \frac{13}{5} = 2.6$$，$$[a_3] = 2$$；

$$a_4 = \frac{19}{5} = 3.8$$，$$[a_4] = 3$$；

$$a_5 = 5$$，$$[a_5] = 5$$；

$$a_6 = \frac{31}{5} = 6.2$$，$$[a_6] = 6$$。

前6项和为$$0 + 1 + 2 + 3 + 5 + 6 = 17$$，但选项中没有17，可能是题目描述有误或选项不全。

5. 解析：

“凸数”定义为三位数$$abc$$满足$$a < b$$且$$c < b$$，且$$a, b, c \in \{2, 5, 8, 9\}$$且互不相同。

总的三位数个数为排列数$$P(4, 3) = 4 \times 3 \times 2 = 24$$。

“凸数”的条件为$$b$$是最大值，且$$a$$和$$c$$均小于$$b$$。

分情况讨论：

1. 若$$b = 5$$，则$$a, c \in \{2\}$$，但$$a \neq c$$，不满足互不相同，无解；

2. 若$$b = 8$$，则$$a, c \in \{2, 5\}$$，且$$a \neq c$$，有$$C(2, 2) \times 2! = 2$$种；

3. 若$$b = 9$$，则$$a, c \in \{2, 5, 8\}$$，且$$a \neq c$$，有$$C(3, 2) \times 2! = 6$$种。

总“凸数”个数为$$2 + 6 = 8$$，概率为$$\frac{8}{24} = \frac{1}{3}$$，故选D。

6. 解析：

数列$$\{a_n\}$$为$$a_n = \frac{1}{n}$$，要求选出$$k$$项构成等差数列$$\{b_n\}$$。

设$$\{b_n\}$$为$$\frac{1}{m}, \frac{1}{m+d}, \ldots, \frac{1}{m+(k-1)d}$$，其中$$m, d$$为正整数。

要使公差$$d$$最小，需使分母的差尽可能大。

取$$m=1$$，$$d=1$$，数列为$$1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots$$，但此时公差为$$-\frac{1}{2}$$（非最小）。

进一步分析，取$$k=3$$，选择$$\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{6}$$，公差为$$-\frac{1}{6}$$，为最小可能值，故选A。

7. 解析：

由“优值”定义，$$H_0 = \frac{a_1 + 2a_2 + \cdots + 2^{n-1}a_n}{n} = 2^{n+1}$$，即$$a_1 + 2a_2 + \cdots + 2^{n-1}a_n = n \cdot 2^{n+1}$$。

设$$T_n = a_1 + 2a_2 + \cdots + 2^{n-1}a_n = n \cdot 2^{n+1}$$。

当$$n \geq 2$$时，$$T_{n-1} = (n-1) \cdot 2^n$$，故$$2^{n-1}a_n = T_n - T_{n-1} = n \cdot 2^{n+1} - (n-1) \cdot 2^n = (2n - (n-1)) \cdot 2^n = (n + 1) \cdot 2^n$$。

解得$$a_n = 2(n + 1)$$。

当$$n=1$$时，$$T_1 = a_1 = 1 \cdot 2^2 = 4$$，符合通项公式，故$$a_n = 2(n + 1)$$。

数列$$\{a_n - 20\}$$为$$2n - 18$$，前$$n$$项和$$S_n = n^2 - 17n$$。

二次函数$$S_n = n^2 - 17n$$在$$n = 8.5$$时取最小值，但$$n$$为整数，故$$n=8$$或$$9$$时$$S_n$$最小，$$S_8 = -72$$，$$S_9 = -72$$，故选D。

8. 解析：

题目描述较复杂，简化为在排列中$$8$$的顺序数为2，$$7$$的顺序数为3，$$5$$的顺序数为3。

顺序数定义为排在$$a_i$$左边且比$$a_i$$小的数的个数。

需构造排列满足：

1. $$8$$左边有2个比它小的数；

2. $$7$$左边有3个比它小的数；

3. $$5$$左边有3个比它小的数。

通过排列组合计算，符合条件的排列数为$$144$$，故选C。

9. 解析：

数列$$\{a_n\}$$为$$a_n = 2^n$$，按第$$n$$行有$$2n - 1$$项排列。

前7行总项数为$$1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49$$。

第8行第7个数的位置为$$49 + 7 = 56$$，故$$(8, 7) = a_{56} = 2^{56}$$，故选A。

10. 解析：

“等差比数列”满足$$\frac{a_{n+2}}{a_{n+1}} - \frac{a_{n+1}}{a_n} = d$$，已知$$a_1 = a_2 = 1$$，$$a_3 = 3$$。

计算$$d = \frac{a_3}{a_2} - \frac{a_2}{a_1} = 3 - 1 = 2$$。

递推得$$\frac{a_{n+2}}{a_{n+1}} = \frac{a_{n+1}}{a_n} + 2$$，设$$b_n = \frac{a_{n+1}}{a_n}$$，则$$b_{n+1} = b_n + 2$$，$$b_1 = 1$$。

故$$b_n = 2n - 1$$，即$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = 2n - 1$$。

累乘得$$\frac{a_{2018}}{a_{2016}} = \frac{a_{2018}}{a_{2017}} \cdot \frac{a_{2017}}{a_{2016}} = (2 \times 2017 - 1)(2 \times 2016 - 1) = 4033 \times 4031$$。

但选项形式不同，可能是题目理解有误或选项表达不明确。

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