累加法求数列通项-4.4 ⋆数学归纳法知识点回顾进阶单选题自测题解析-湖北省等高二数学选择必修,平均正确率55.99999999999999%

1、['数列的递推公式'， '正切（型）函数的周期性'， '累加法求数列通项'， '正切函数的诱导公式']

正确率40.0%数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$${{a}_{1}{=}{\sqrt {2}}}$$，$$a_{n+1}=a_{n}+\sqrt{2} \operatorname{t a n} \left( \frac{\pi} {4}+\frac{n \pi} {2} \right)$$，则$$a_{2 0 2 1}=$$（）

A.$${\sqrt {2}}$$

B.$${{0}}$$

C.$${{−}{\sqrt {2}}}$$

D.$${{2}}$$

2、['等差数列的定义与证明'， '用向量的坐标表示两个向量垂直的条件'， '累加法求数列通项'， '平面向量共线的坐标表示'， '等比数列的定义与证明']

正确率40.0%已知各项均不为零的数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}{，}}$$向量$$c_{n}=( S_{n}， S_{n+1} )，$$$$b_{n}=( n^{2}， ( n+1 )^{2} )，$$$${{n}{∈}{{N}^{∗}}{，}}$$下列命题中是真命题的是（）

A.若$$\boldsymbol{c}_{n} / / \boldsymbol{b}_{n}，$$则数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是等差数列

B.若$$\boldsymbol{c}_{n} / / \boldsymbol{b}_{n}，$$则数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是等比数列

C.若$$c_{n} \perp b_{n}，$$则数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是等差数列

D.若$$c_{n} \perp b_{n}，$$则数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是等比数列

3、['数列的递推公式'， '累加法求数列通项'， '对数的运算性质']

正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1} \!=\! 1， \ a_{n+1} \!=\! a_{n}+\operatorname{l o g}_{2} \left( \frac{n} {n \!+\! 1} \right)$$，则$$a_{6 4} \!=$$

A.$${{−}{4}}$$

B.$${{−}{5}}$$

C.$${{−}{6}}$$

D.$${{−}{7}}$$

5、['数列的递推公式'， '累加法求数列通项'， '等差数列的前n项和的应用']

正确率60.0%数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的首项$$a_{1}=1， \， \， a_{n+1}=a_{n}+2 n$$，则$$a_{5}=( \eta)$$

A.$$\frac{4 5} {2}$$

B.$${{2}{0}}$$

C.$${{2}{1}}$$

D.$${{3}{1}}$$

6、['数列的递推公式'， '累加法求数列通项'， '等差数列的基本量'， '数列的通项公式']

正确率40.0%数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1}=1， a_{n}=a_{n-1}+3 n-2 \， ( n \geqslant2 )$$，则$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的通项公式为（）

A.$$a_{n}=3 n^{2}$$

B.$$a_{n}=3 n^{2}+n$$

C.$$a_{n}=\frac{3 n^{2}-n} {2}$$

D.$$a_{n}=\frac{3 n^{2}+n} {2}$$

8、['数列的递推公式'， '累加法求数列通项'， '等比数列的基本量']

正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$${{a}_{1}{=}{1}}$$，且$$a_{n+1}=a_{n}+\frac{1} {2^{n}}$$，则$$a_{1 0}$$等于（）

A.$$\frac{1} {2^{9}}$$

B.$$1-\frac{1} {2^{9}}$$

C.$$2-\frac{1} {2^{1 0}}$$

D.$$2-\frac{1} {2^{9}}$$

9、['数列的递推公式'， '累加法求数列通项']

正确率60.0%在数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，已知$${{a}_{1}{=}{3}}$$，当$${{n}{⩾}{2}}$$时，$$\frac{1} {a_{n}}-\frac{1} {a_{n-1}}=\frac{1} {5}， a_{1 6}=( ~ ~ )$$

A.$$\frac{2} {5}$$

B.$$\frac{3} {1 0}$$

C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$

D.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$

10、['累加法求数列通项'， '公式法求和'， '裂项相消法求和'， '等差数列的基本量']

正确率40.0%数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$${{a}_{1}{=}{1}}$$，对任意$${{n}{∈}{{N}^{∗}}}$$，有$$a_{n+1}=1+n+a_{n}$$，令$$b_{i}=\frac{1} {a_{i}} ( i \in{\bf N}^{*} )$$，则$$b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{2 \; 0 1 8}=$$（）

A.$$\frac{2 \， 0 1 7} {1 \， 0 0 9}$$

B.$$\frac{2 \， 0 1 7} {2 \， 0 1 8}$$

C.$$\frac{2 \， 0 1 8} {2 \， 0 1 9}$$

D.$$\frac{4 \; 0 3 6} {2 \; 0 1 9}$$

1. 解析：

给定递推关系 $$a_{n+1}=a_{n}+\sqrt{2} \tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{n \pi}{2}\right)$$，初始条件 $$a_1 = \sqrt{2}$$。注意到 $$\tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{n \pi}{2}\right)$$ 的周期性：当 $$n$$ 为奇数时为 $$-1$$，偶数时为 $$1$$。因此递推关系可简化为：

$$a_{n+1} = a_n + \sqrt{2} \cdot (-1)^n$$。逐项计算可得：

$$a_2 = a_1 + \sqrt{2} \cdot (-1)^1 = \sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$$

$$a_3 = a_2 + \sqrt{2} \cdot (-1)^2 = 0 + \sqrt{2} = \sqrt{2}$$

$$a_4 = a_3 + \sqrt{2} \cdot (-1)^3 = \sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$$

可见数列周期为 2，奇数项为 $$\sqrt{2}$$，偶数项为 0。因此 $$a_{2021} = a_1 = \sqrt{2}$$，答案为 A。

2. 解析：

向量平行条件 $$\boldsymbol{c}_n \parallel \boldsymbol{b}_n$$ 等价于 $$\frac{S_n}{n^2} = \frac{S_{n+1}}{(n+1)^2}$$。设 $$\frac{S_n}{n^2} = k$$，则 $$S_n = k n^2$$。由 $$a_n = S_n - S_{n-1}$$ 得：

$$a_n = k n^2 - k (n-1)^2 = k (2n - 1)$$，为等差数列。因此选项 A 正确。

3. 解析：

递推关系为 $$a_{n+1} = a_n + \log_2\left(\frac{n}{n+1}\right)$$，即 $$a_{n+1} = a_n + \log_2 n - \log_2 (n+1)$$。逐项展开可得：

$$a_{64} = a_1 + \sum_{k=1}^{63} (\log_2 k - \log_2 (k+1)) = 1 + \log_2 1 - \log_2 64 = 1 - 6 = -5$$，答案为 B。

5. 解析：

递推关系为 $$a_{n+1} = a_n + 2n$$，初始条件 $$a_1 = 1$$。逐项计算：

$$a_2 = a_1 + 2 \times 1 = 3$$

$$a_3 = a_2 + 2 \times 2 = 7$$

$$a_4 = a_3 + 2 \times 3 = 13$$

$$a_5 = a_4 + 2 \times 4 = 21$$，答案为 C。

6. 解析：

递推关系为 $$a_n = a_{n-1} + 3n - 2$$，初始条件 $$a_1 = 1$$。累加求和：

$$a_n = a_1 + \sum_{k=2}^n (3k - 2) = 1 + \frac{3(n^2 + n - 2)}{2} - 2(n-1)$$

化简得 $$a_n = \frac{3n^2 - n}{2}$$，答案为 C。

8. 解析：

递推关系为 $$a_{n+1} = a_n + \frac{1}{2^n}$$，初始条件 $$a_1 = 1$$。逐项展开：

$$a_{10} = a_1 + \sum_{k=1}^9 \frac{1}{2^k} = 1 + \left(1 - \frac{1}{2^9}\right) = 2 - \frac{1}{2^9}$$，答案为 D。

9. 解析：

递推关系为 $$\frac{1}{a_n} - \frac{1}{a_{n-1}} = \frac{1}{5}$$，初始条件 $$a_1 = 3$$。因此 $$\frac{1}{a_n}$$ 是等差数列：

$$\frac{1}{a_n} = \frac{1}{a_1} + (n-1) \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{3} + \frac{n-1}{5}$$

代入 $$n=16$$ 得 $$\frac{1}{a_{16}} = \frac{1}{3} + 3 = \frac{10}{3}$$，故 $$a_{16} = \frac{3}{10}$$，答案为 B。

10. 解析：

递推关系为 $$a_{n+1} = 1 + n + a_n$$，初始条件 $$a_1 = 1$$。逐项展开：

$$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (1 + k) = 1 + (n-1) + \frac{(n-1)n}{2} = \frac{n^2 + n}{2}$$

因此 $$b_i = \frac{1}{a_i} = \frac{2}{i^2 + i}$$，裂项得 $$b_i = 2\left(\frac{1}{i} - \frac{1}{i+1}\right)$$。

求和得 $$b_1 + b_2 + \cdots + b_{2018} = 2\left(1 - \frac{1}{2019}\right) = \frac{4036}{2019}$$，答案为 D。

_{题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱}