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正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$2 a_{1}+2^{2} a_{2}+\ldots+2^{n} a_{n}=n，$$数列$$\left\{\frac1 {\operatorname{l o g}_{2} a_{n} \operatorname{l o g}_{2} a_{n+1}} \right\}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}{，}}$$则$$S_{1} \cdot S_{2} \cdot S_{3} \cdot\ldots\cdot S_{1 0}=$$（）
B
A.$$\frac{1} {1 0}$$
B.$$\frac{1} {1 1}$$
C.$$\frac{2} {1 1}$$
D.$$\frac{1} {5}$$
3、['等差数列的通项公式'， '裂项相消法求和'， '等差数列的前n项和的应用']正确率60.0%已知等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{5}}$$项和为$$1 5， ~ a_{5}=5$$，则数列$$\{\frac{1} {a_{n} a_{n+1}} \}$$的前$${{1}{0}{0}}$$项和为（）
D
A.$$\frac{9 9} {1 0 0}$$
B.$${\frac{1 0 1} {1 0 0}}$$
C.$$\frac{9 9} {1 0 1}$$
D.$$\frac{1 0 0} {1 0 1}$$
4、['数列的递推公式'， '裂项相消法求和']正确率40.0%设数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足：$$a_{n+1}=a_{n}+\frac{1} {n ( n+1 )}， \， \， a_{2 0}=1$$，则$${{a}_{1}{=}{（}}$$）
A
A.$$\frac{1} {2 0}$$
B.$$\frac{1} {2 1}$$
C.$$\frac2 {2 1}$$
D.$$\frac{1} {1 0}$$
6、['等差数列的通项公式'， '裂项相消法求和']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$${{a}_{1}{=}{1}}$$，前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，且点$$P \left( \begin{matrix} {a_{n}，} & {a_{n+1}} \\ \end{matrix} \right)$$在直线$$y=x+1$$上，则$$\frac1 {S_{1}}+\frac1 {S_{2}}+\frac1 {S_{3}}+\ldots+\frac1 {S_{n}}=~ 0$$）
A
A.$$\frac{2 n} {n+1}$$
B.$$\frac2 {n ( n+1 )}$$
C.$$\frac{n ( n+1 )} {2}$$
D.$$\frac{n} {2 ( n+1 )}$$
7、['等差数列的通项公式'， '裂项相消法求和'， '等比中项']正确率60.0%若公差不为零的等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的首项为$${{1}}$$，且$$a_{2}， ~ a_{5}， ~ a_{1 4}$$成等比数列，则对一切正整数$$n \mathbf{，} \ \frac{1} {a_{1} a_{2}}+\frac{1} {a_{2} a_{3}}+\ldots+\frac{1} {a_{n} a_{n+1}}$$的值可能为 （）
C
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{3} {5}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{4} {9}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{5} {1 2}$$
8、['等差数列的定义与证明'， '裂项相消法求和'， '等比数列的定义与证明'， '分组求和法']正确率19.999999999999996%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，且满足$$4^{a_{n+1}}-2^{a_{n+1}+\lambda a_{n}}-4^{\lambda a_{n}+\mu}=0， \， \， a_{1}=1$$，则下列结论错误的是（）
B
A.若$$\lambda=1， ~ \mu=\frac{1} {2}$$，则$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是等差数列
B.若$$\lambda=1， ~ \mu=\frac{1} {2}$$，则数列$$\left\{\frac{1} {S_{n}} \right\}$$的前$${{n}}$$项和为$$\frac{n} {n+1}$$
C.若$$\lambda=2， ~ \mu=\frac{1} {2}$$，则$$\{a_{n}+1 \}$$是等比数列
D.若$$\lambda=2， ~ \mu=\frac{1} {2}$$，则$$S_{n}=2^{n+1}-n-2$$
9、['裂项相消法求和'， '等差数列的前n项和的应用']正确率40.0%设$${{S}_{n}}$$为等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$前$${{n}}$$项和$${\bf a_{1} \!=\! 1}， \frac{{\bf S}_{2 0 1 7}} {2 0 1 7} \!-\! \frac{{\bf S}_{2 0 1 5}} {2 0 1 5} \!=\! {\bf1}.$$则数列$$\{\frac{1} {\mathbf{S_{n}}} \}$$前$${{2}{0}{1}{7}}$$项和为$${{(}{ { }}{)}}$$
A
A.$$\frac{2 0 1 7} {1 0 0 9}$$
B.$$\frac{2 0 1 7} {2 0 1 8}$$
C.$$\frac{1} {2 0 1 7}$$
D.$$\frac{1} {2 0 1 8}$$
10、['裂项相消法求和'， '数列中的新定义问题'， '利用基本不等式求最值'， '数列与函数的综合问题']正确率40.0%设$${{[}{x}{]}}$$为不超过$${{x}}$$的最大整数，$${{a}_{n}}$$为$$[ \boldsymbol{x} [ \boldsymbol{x} ] ] ~ ( \boldsymbol{x} \in[ 0， \ \boldsymbol{n} ) ~ )$$可能取到所有值的个数，$${{S}_{n}}$$是数列$$\{\frac{1} {a_{n}+2 n} \}$$前$${{n}}$$项的和，则下列结论正确个数的有（）
$$( \mathbf{1} ) \ a_{3}=4$$；
$$None$$是数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中的项；
$$( 3 ) ~ S_{1 0}=\frac{5} {6}$$；
$${（{4}{）}}$$当$${{n}{=}{7}}$$时，$$\frac{a_{n}+2 1} {n}$$取最小值.
C
A.$${{1}}$$个
B.$${{2}}$$个
C.$${{3}}$$个
D.$${{4}}$$
### 题目1解析 **问题描述**：已知数列 $$\{a_n\}$$ 满足 $$2 a_{1}+2^{2} a_{2}+\ldots+2^{n} a_{n}=n$$，数列 $$\left\{\frac{1}{\log_{2} a_{n} \log_{2} a_{n+1}} \right\}$$ 的前 $$n$$ 项和为 $$S_n$$，求 $$S_{1} \cdot S_{2} \cdot \ldots \cdot S_{10}$$ 的值。 **解析步骤**： 1. **求通项公式**： - 设 $$T_n = 2 a_1 + 2^2 a_2 + \ldots + 2^n a_n = n$$。 - 当 $$n \geq 2$$ 时，$$T_{n-1} = n-1$$，因此 $$2^n a_n = T_n - T_{n-1} = 1$$，即 $$a_n = \frac{1}{2^n}$$。 - 验证 $$n=1$$ 时，$$2a_1 = 1 \Rightarrow a_1 = \frac{1}{2}$$，符合通项公式。 2. **求对数表达式**： - $$\log_2 a_n = \log_2 \left(\frac{1}{2^n}\right) = -n$$。 - 因此，$$\frac{1}{\log_2 a_n \log_2 a_{n+1}} = \frac{1}{(-n)(-(n+1))} = \frac{1}{n(n+1)}$$。 3. **求前 $$n$$ 项和 $$S_n$$**： - $$S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right) = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$$。 4. **求乘积**： - $$S_1 \cdot S_2 \cdot \ldots \cdot S_{10} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \ldots \cdot \frac{10}{11} = \frac{1}{11}$$。 **最终答案**：$$\boxed{B}$$ --- ### 题目3解析 **问题描述**：已知等差数列 $$\{a_n\}$$ 的前 $$5$$ 项和为 $$15$$，$$a_5 = 5$$，求数列 $$\left\{\frac{1}{a_n a_{n+1}}\right\}$$ 的前 $$100$$ 项和。 **解析步骤**： 1. **求通项公式**： - 设首项为 $$a_1$$，公差为 $$d$$。 - 前 $$5$$ 项和 $$S_5 = \frac{5}{2}(2a_1 + 4d) = 15 \Rightarrow a_1 + 2d = 3$$。 - 第 $$5$$ 项 $$a_5 = a_1 + 4d = 5$$。 - 解得 $$d = 1$$，$$a_1 = 1$$，因此通项为 $$a_n = n$$。 2. **求数列和**： - $$\frac{1}{a_n a_{n+1}} = \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$$。 - 前 $$100$$ 项和为 $$\sum_{k=1}^{100} \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right) = 1 - \frac{1}{101} = \frac{100}{101}$$。 **最终答案**：$$\boxed{D}$$ --- ### 题目4解析 **问题描述**：设数列 $$\{a_n\}$$ 满足 $$a_{n+1} = a_n + \frac{1}{n(n+1)}$$，且 $$a_{20} = 1$$，求 $$a_1$$ 的值。 **解析步骤**： 1. **递推关系**： - $$a_{n+1} - a_n = \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$$。 - 累加得 $$a_{20} - a_1 = \sum_{k=1}^{19} \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right) = 1 - \frac{1}{20}$$。 - 代入 $$a_{20} = 1$$，得 $$1 - a_1 = \frac{19}{20} \Rightarrow a_1 = \frac{1}{20}$$。 **最终答案**：$$\boxed{A}$$ --- ### 题目6解析 **问题描述**：已知数列 $$\{a_n\}$$ 中，$$a_1 = 1$$，点 $$P(a_n, a_{n+1})$$ 在直线 $$y = x + 1$$ 上，求 $$\frac{1}{S_1} + \frac{1}{S_2} + \ldots + \frac{1}{S_n}$$ 的值。 **解析步骤**： 1. **求通项公式**： - 由题意，$$a_{n+1} = a_n + 1$$，故 $$\{a_n\}$$ 是等差数列，通项为 $$a_n = n$$。 - 前 $$n$$ 项和 $$S_n = \frac{n(n+1)}{2}$$。 2. **求倒数和的表达式**： - $$\frac{1}{S_n} = \frac{2}{n(n+1)} = 2\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)$$。 - 前 $$n$$ 项和为 $$2\left(1 - \frac{1}{n+1}\right) = \frac{2n}{n+1}$$。 **最终答案**：$$\boxed{A}$$ --- ### 题目7解析 **问题描述**：公差不为零的等差数列 $$\{a_n\}$$ 的首项为 $$1$$，且 $$a_2, a_5, a_{14}$$ 成等比数列，求 $$\frac{1}{a_1 a_2} + \frac{1}{a_2 a_3} + \ldots + \frac{1}{a_n a_{n+1}}$$ 的值。 **解析步骤**： 1. **求通项公式**： - 设公差为 $$d$$，则 $$a_n = 1 + (n-1)d$$。 - 由等比性质，$$a_5^2 = a_2 a_{14}$$，即 $$(1 + 4d)^2 = (1 + d)(1 + 13d)$$。 - 解得 $$d = 2$$，因此 $$a_n = 2n - 1$$。 2. **求数列和**： - $$\frac{1}{a_n a_{n+1}} = \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right)$$。 - 前 $$n$$ 项和为 $$\frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{2n+1}\right) = \frac{n}{2n+1}$$。 - 当 $$n=1$$ 时，和为 $$\frac{1}{3}$$，对应选项 $$B$$。 **最终答案**：$$\boxed{B}$$ --- ### 题目8解析 **问题描述**：已知数列 $$\{a_n\}$$ 满足 $$4^{a_{n+1}} - 2^{a_{n+1} + \lambda a_n - 4^{\lambda a_n + \mu} = 0$$，且 $$a_1 = 1$$，判断选项的正误。 **解析步骤**： 1. **选项A**： - 当 $$\lambda = 1$$，$$\mu = \frac{1}{2}$$ 时，递推关系为 $$4^{a_{n+1}} - 2^{a_{n+1}} + a_n - 4^{a_n + \frac{1}{2}} = 0$$。 - 化简得 $$2^{2a_{n+1}} - 2^{a_{n+1}} + a_n - 2^{2a_n + 1} = 0$$。 - 假设 $$a_n$$ 为等差数列，验证 $$a_n = n$$ 是否满足，代入后不成立，故选项A错误。 2. **选项B**： - 若 $$\{a_n\}$$ 是等差数列，且 $$a_n = n$$，则 $$S_n = \frac{n(n+1)}{2}$$。 - $$\frac{1}{S_n} = \frac{2}{n(n+1)}$$，前 $$n$$ 项和为 $$2\left(1 - \frac{1}{n+1}\right) = \frac{2n}{n+1}$$，与选项不符，故选项B错误。 3. **选项C**： - 当 $$\lambda = 2$$，$$\mu = \frac{1}{2}$$ 时，递推关系为 $$4^{a_{n+1}} - 2^{a_{n+1}} + 2a_n - 4^{2a_n + \frac{1}{2}} = 0$$。 - 化简得 $$2^{2a_{n+1}} - 2^{a_{n+1}} + 2a_n - 2^{4a_n + 1} = 0$$。 - 假设 $$a_n + 1$$ 是等比数列，验证 $$a_n = 2^{n-1}$$ 是否满足，代入后成立，故选项C正确。 4. **选项D**： - 若 $$a_n = 2^{n-1}$$，则 $$S_n = 2^n - 1$$，与选项D的表达式不符，故选项D错误。 **最终答案**：$$\boxed{C}$$ --- ### 题目9解析 **问题描述**：设 $$S_n$$ 为等差数列 $$\{a_n\}$$ 的前 $$n$$ 项和，且 $$a_1 = 1$$，$$\frac{S_{2017}}{2017} - \frac{S_{2015}}{2015} = 1$$，求数列 $$\left\{\frac{1}{S_n}\right\}$$ 的前 $$2017$$ 项和。 **解析步骤**： 1. **求公差**： - 设公差为 $$d$$，则 $$S_n = n + \frac{n(n-1)}{2}d$$。 - $$\frac{S_n}{n} = 1 + \frac{(n-1)}{2}d$$。 - 由题意，$$\left(1 + 1008d\right) - \left(1 + 1007d\right) = 1 \Rightarrow d = 1$$。 - 因此 $$S_n = \frac{n(n+1)}{2}$$。 2. **求数列和**： - $$\frac{1}{S_n} = \frac{2}{n(n+1)}$$。 - 前 $$2017$$ 项和为 $$2\left(1 - \frac{1}{2018}\right) = \frac{4034}{2018} = \frac{2017}{1009}$$。 **最终答案**：$$\boxed{A}$$ --- ### 题目10解析 **问题描述**：设 $$[x]$$ 为不超过 $$x$$ 的最大整数，$$a_n$$ 为 $$[x[x]]$$（$$x \in [0, n)$$）可能取值的个数，$$S_n$$ 是数列 $$\left\{\frac{1}{a_n + 2n}\right\}$$ 的前 $$n$$ 项和，判断四个结论的正误。 **解析步骤**： 1. **结论1**： - 当 $$n=3$$ 时，$$x \in [0, 3)$$，$$[x]$$ 取值 $$0, 1, 2$$。 - $$[x[x]]$$ 的可能值为 $$0, 1, 3$$（共 $$3$$ 个），但实际计算应为 $$4$$ 个（包括 $$2$$），故结论1错误。 2. **结论2**： - 题目描述不完整，无法判断。 3. **结论3**： - 计算 $$S_{10}$$ 需要具体表达式，但题目未给出明确关系，无法验证。 4. **结论4**： - 当 $$n=7$$ 时，$$\frac{a_n + 21}{n}$$ 的最小值需要具体计算，题目未提供足够信息。 **最终答案**：由于题目描述不完整，无法确定正确选项。 题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱