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正确率40.0%已知数列｛$${{a}_{n}}$$｝的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}{，}}$$若$$S_{n}=2 a_{n}-2 n+1，$$则$$S_{1 0}=$$（）
C
A.$$2^{1 1}-2 3$$
B.$$2^{1 0}-1 9$$
C.$$3 \times2^{1 0}-2 3$$
D.$$3 \times2^{9}-1 9$$
2、['等差数列的通项公式'， '数列的递推公式'， '其他方法求数列通项']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1}=1， a_{n+1}=\frac{a_{n}} {a_{n}+1} ( n \in{\bf N}^{*} )$$，则$$a_{2 0 2 2}=$$（）
D
A.$$\frac{1} {2 0 1 9}$$
B.$$\frac{1} {2 0 2 0}$$
C.$$\frac{1} {2 0 2 1}$$
D.$$\frac1 {2 0 2 2}$$
3、['数列的递推公式'， '公式法求和'， '裂项相消法求和'， '其他方法求数列通项']正确率40.0%在数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，已知$${{a}_{1}{=}{1}}$$，且对于任意的$$m， \， \， n \in N *$$，都有$$a_{m+n}=a_{m}+a_{n}+m n$$，则$$\sum_{t=1}^{2 0 1 9} \frac{1} {a_{i}}=( \textsubscript{0} )$$
C
A.$$\frac{2 0 1 9} {2 0 2 0}$$
B.$$\frac{2 0 1 8} {2 0 1 9}$$
C.$$\frac{2 0 1 9} {1 0 1 0}$$
D.$$\frac{2 0 2 1} {1 0 1 0}$$
4、['数列的递推公式'， '数列的函数特征'， '等比数列的通项公式'， '其他方法求数列通项'， '等比数列的基本量']正确率40.0%数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，若$$S_{3}=1 3， a_{n+1}=2 S_{n}+1， n \in N^{*}$$，则符合$${{S}_{n}{>}{{a}_{5}}}$$的最小的$${{n}}$$值为（）
D
A.$${{8}}$$
B.$${{7}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{5}}$$
5、['数列的前n项和'， '数列的递推公式'， '其他方法求数列通项']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，若$$S_{n}=3^{n}+2 n+1$$，则$${{a}_{n}{=}{（}}$$）
D
A.$$a_{n}=\left\{\begin{array} {l l} {6， n=1} \\ {2 \times3^{n-1}， n \geq2} \\ \end{array} \right.$$
B.$$a_{n}=2 \times3^{n-1}$$
C.$$a_{n}=2 \times3^{n-1}+2$$
D.$$a_{n}=\left\{\begin{array} {l l} {6， n=1} \\ {2 \times3^{n-1}+2， n \geq2} \\ \end{array} \right.$$
6、['数列的前n项和'， '其他方法求数列通项']正确率60.0%设数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，若$$S_{n}=n^{2}-2 n+1$$，则$${{a}_{4}{=}}$$
B
A.$${{4}}$$
B.$${{5}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{7}}$$
7、['公式法求和'， '其他方法求数列通项'， '等差数列的基本量'， '数列的通项公式']正确率40.0%若数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是正项数列，且$$\sqrt{a_{1}}+\sqrt{a_{2}}+\cdots\sqrt{a_{n}} {=} n^{2} {+} 3 n， \; \; ( n \in N^{*} )$$则$$\frac{a_{1}} {2}+\frac{a_{2}} {3}+\cdots+\frac{a_{n}} {n+1}=( \theta)$$
A
A.$$2 n^{2} \!+\! 6 n$$
B.$$n^{2} \!+\! 3 n$$
C.$$4 ( n \!+\! 1 )^{2}$$
D.$$4 ( n \!+\! 1 )$$
8、['数列的递推公式'， '数列的函数特征'， '等比数列的通项公式'， '等比数列前n项和的应用'， '其他方法求数列通项'， '等比数列的基本量'， '数列与不等式的综合问题']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，数列$$\{\frac{1} {a_{n}} \}$$的前$${{n}}$$项和为$${{T}_{n}}$$，且$$a_{1}=1， \ a_{2}+a_{3}=1 2， \ S_{n}=\frac{1} {2} ( a_{n+1}-1 )$$，则使得$$| T_{n}-\frac{3} {2} | < \frac{1} {5 0 0}$$成立的$${{n}}$$的最小值为（）
D
A.$${{4}}$$
B.$${{5}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{7}}$$
9、['其他方法求数列通项'， '等比数列的定义与证明'， '等比数列的基本量']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和$$S_{n}=2^{n+1}-2$$，则$$a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots+a_{n}^{2}=~ ($$）
C
A.$$4 \ ( \mathbf{2}^{n}-\mathbf{1} )^{\mathbf{2}}$$
B.$$4 \ ( \mathbf{2}^{n-1}+\mathbf{1} )^{\mathbf{2}}$$
C.$$\frac{4 ( 4^{n}-1 )} {3}$$
D.$$\frac{4 ( 4^{n-1}+2 )} {3}$$
10、['其他方法求数列通项']正确率19.999999999999996%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足：$$a_{n}=\left\{\begin{array} {l l} {2} & {n \leqslant5} \\ {a_{1} a_{2} \cdots a_{n-1}-1，} & {n \geqslant6} \\ \end{array} \right.$$$${{(}{{n}{∈}{{N}^{∗}}}{)}}$$，若正整数$$k ( k \geqslant5 )$$使得$$a_{1}^{\; 2}+a_{2}^{\; 2}+\ldots+a_{k}^{\; 2}=a_{1} a_{2} \ldots a_{k}$$成立，则$${{k}{=}}$$（）
B
A.$${{1}{6}}$$
B.$${{1}{7}}$$
C.$${{1}{8}}$$
D.$${{1}{9}}$$
1. 解析：
已知 $$S_n = 2a_n - 2n + 1$$，当 $$n=1$$ 时，$$S_1 = a_1 = 2a_1 - 2 \times 1 + 1$$，解得 $$a_1 = 1$$。
当 $$n \geq 2$$ 时，$$a_n = S_n - S_{n-1} = 2a_n - 2n + 1 - (2a_{n-1} - 2(n-1) + 1)$$，化简得 $$a_n = 2a_{n-1} + 2$$。
设 $$a_n + 2 = 2(a_{n-1} + 2)$$，则 $$\{a_n + 2\}$$ 是等比数列，首项 $$a_1 + 2 = 3$$，公比 $$2$$，故 $$a_n + 2 = 3 \times 2^{n-1}$$，即 $$a_n = 3 \times 2^{n-1} - 2$$。
因此，$$S_n = 2a_n - 2n + 1 = 3 \times 2^n - 4n - 1$$，代入 $$n=10$$ 得 $$S_{10} = 3 \times 2^{10} - 40 - 1 = 3072 - 41 = 3031$$。
选项中 $$3 \times 2^{10} - 23 = 3072 - 23 = 3049$$ 不符，但 $$3 \times 2^9 - 19 = 1536 - 19 = 1517$$ 也不符，重新检查计算步骤。
实际上，$$S_n = 2a_n - 2n + 1 = 2(3 \times 2^{n-1} - 2) - 2n + 1 = 3 \times 2^n - 4 - 2n + 1 = 3 \times 2^n - 2n - 3$$。
代入 $$n=10$$ 得 $$S_{10} = 3 \times 2^{10} - 20 - 3 = 3072 - 23 = 3049$$，对应选项 C。
2. 解析：
已知 $$a_{n+1} = \frac{a_n}{a_n + 1}$$，取倒数得 $$\frac{1}{a_{n+1}} = 1 + \frac{1}{a_n}$$，即 $$\frac{1}{a_{n+1}} - \frac{1}{a_n} = 1$$。
因此，$$\left\{\frac{1}{a_n}\right\}$$ 是等差数列，首项 $$\frac{1}{a_1} = 1$$，公差 $$1$$，故 $$\frac{1}{a_n} = n$$，即 $$a_n = \frac{1}{n}$$。
所以 $$a_{2022} = \frac{1}{2022}$$，对应选项 D。
3. 解析：
已知 $$a_{m+n} = a_m + a_n + mn$$，令 $$m=1$$ 得 $$a_{n+1} = a_n + a_1 + n = a_n + n + 1$$。
递推得 $$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (k + 1) = 1 + \frac{n(n-1)}{2} + (n-1) = \frac{n^2 + n}{2}$$。
因此，$$\frac{1}{a_n} = \frac{2}{n(n+1)} = 2\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)$$，求和得 $$\sum_{t=1}^{2019} \frac{1}{a_t} = 2\left(1 - \frac{1}{2020}\right) = \frac{4038}{2020} = \frac{2019}{1010}$$，对应选项 C。
4. 解析：
已知 $$S_3 = 13$$ 且 $$a_{n+1} = 2S_n + 1$$，当 $$n=1$$ 时，$$a_2 = 2S_1 + 1 = 2a_1 + 1$$。
当 $$n=2$$ 时，$$a_3 = 2S_2 + 1 = 2(a_1 + a_2) + 1 = 2a_1 + 2(2a_1 + 1) + 1 = 6a_1 + 3$$。
由 $$S_3 = a_1 + a_2 + a_3 = a_1 + (2a_1 + 1) + (6a_1 + 3) = 9a_1 + 4 = 13$$，解得 $$a_1 = 1$$。
递推得 $$a_2 = 3$$，$$a_3 = 9$$，$$a_4 = 2S_3 + 1 = 27$$，$$a_5 = 2S_4 + 1 = 2(1 + 3 + 9 + 27) + 1 = 81$$。
求 $$S_n > a_5 = 81$$ 的最小 $$n$$，计算 $$S_5 = 1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121 > 81$$，但 $$S_4 = 40 < 81$$，故最小 $$n=5$$，对应选项 D。
5. 解析：
已知 $$S_n = 3^n + 2n + 1$$，当 $$n=1$$ 时，$$a_1 = S_1 = 6$$。
当 $$n \geq 2$$ 时，$$a_n = S_n - S_{n-1} = 3^n + 2n + 1 - (3^{n-1} + 2(n-1) + 1) = 2 \times 3^{n-1} + 2$$。
因此，$$a_n = \begin{cases} 6, & n=1 \\ 2 \times 3^{n-1} + 2, & n \geq 2 \end{cases}$$，对应选项 D。
6. 解析：
已知 $$S_n = n^2 - 2n + 1$$，则 $$a_4 = S_4 - S_3 = (16 - 8 + 1) - (9 - 6 + 1) = 9 - 4 = 5$$，对应选项 B。
7. 解析：
已知 $$\sqrt{a_1} + \sqrt{a_2} + \cdots + \sqrt{a_n} = n^2 + 3n$$，令 $$n=1$$ 得 $$\sqrt{a_1} = 4$$，即 $$a_1 = 16$$。
当 $$n \geq 2$$ 时，$$\sqrt{a_n} = (n^2 + 3n) - ((n-1)^2 + 3(n-1)) = 2n + 2$$，故 $$a_n = 4(n+1)^2$$。
因此，$$\frac{a_n}{n+1} = 4(n+1)$$，求和得 $$\sum_{k=1}^n \frac{a_k}{k+1} = 4 \sum_{k=1}^n (k+1) = 4 \times \frac{(n+2)(n)}{2} = 2n(n+2) = 2n^2 + 4n$$。
选项中无匹配，重新检查：$$\sqrt{a_n} = 2n + 2$$，故 $$a_n = 4(n+1)^2$$，$$\frac{a_n}{n+1} = 4(n+1)$$，求和为 $$4 \times \frac{n(n+3)}{2} = 2n^2 + 6n$$，对应选项 A。
8. 解析：
已知 $$S_n = \frac{1}{2}(a_{n+1} - 1)$$，当 $$n=1$$ 时，$$S_1 = a_1 = \frac{1}{2}(a_2 - 1)$$，解得 $$a_2 = 3$$。
当 $$n=2$$ 时，$$S_2 = a_1 + a_2 = 4 = \frac{1}{2}(a_3 - 1)$$，解得 $$a_3 = 9$$。
递推得 $$a_{n+1} = 2S_n + 1$$，类似题4，可得 $$a_n = 3^{n-1}$$，故 $$\frac{1}{a_n} = \frac{1}{3^{n-1}}$$。
求和 $$T_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{3^{k-1}} = \frac{1 - 3^{-n}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3}{2}(1 - 3^{-n})$$。
要求 $$|T_n - \frac{3}{2}| < \frac{1}{500}$$，即 $$3^{-n} < \frac{1}{750}$$，解得 $$n \geq 6$$，对应选项 C。
9. 解析：
已知 $$S_n = 2^{n+1} - 2$$，当 $$n=1$$ 时，$$a_1 = S_1 = 2$$。
当 $$n \geq 2$$ 时，$$a_n = S_n - S_{n-1} = 2^{n+1} - 2 - (2^n - 2) = 2^n$$。
因此，$$a_n^2 = 4^n$$（$$n \geq 1$$），求和得 $$\sum_{k=1}^n a_k^2 = \frac{4(4^n - 1)}{3}$$，对应选项 C。
10. 解析：
已知 $$a_n = \begin{cases} 2, & n \leq 5 \\ a_1 a_2 \cdots a_{n-1} - 1, & n \geq 6 \end{cases}$$，计算前几项：$$a_1 = a_2 = \cdots = a_5 = 2$$。
$$a_6 = a_1 a_2 \cdots a_5 - 1 = 2^5 - 1 = 31$$。
$$a_7 = a_1 a_2 \cdots a_6 - 1 = 2^5 \times 31 - 1 = 991$$。
设 $$P_k = a_1 a_2 \cdots a_k$$，则 $$P_k = P_{k-1} a_k = P_{k-1}(P_{k-1} - 1)$$，递推得 $$P_k$$ 增长极快。
验证 $$k=5$$ 时，$$P_5 = 32$$，$$a_1^2 + \cdots + a_5^2 = 20 \neq 32$$。
$$k=6$$ 时，$$P_6 = 2^5 \times 31 = 992$$，$$a_1^2 + \cdots + a_6^2 = 20 + 31^2 = 981 \neq 992$$。
继续计算 $$k=17$$ 时满足条件，对应选项 B。