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正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1}=1， \， \， a_{n+1}=\frac{a_{n}} {4 a_{n}+1}，$$则满足$$a_{n} > \frac{1} {2 9}$$的$${{n}}$$的最大值为（）
B
A.$${{6}}$$
B.$${{7}}$$
C.$${{8}}$$
D.$${{9}}$$
3、['数列的递推公式'， '数列与不等式的综合问题'， '不等式的性质']正确率60.0%嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$：$$b_{1}=1+\frac{1} {\alpha_{1}}$$，$$b_{2}=1+\frac{1} {\alpha_{1}+\frac{1} {\alpha_{2}}}$$，$$b_{3}=1+\frac{1} {\alpha_{1}+\frac{1} {\alpha_{2}+\frac{1} {\alpha_{3}}}}$$，$${{…}}$$，依此类推，其中$${{α}_{k}{∈}{{N}^{∗}}{(}{k}{=}{1}{，}{2}{，}{⋯}{)}}$$．则（）
D
A.$${{b}_{1}{<}{{b}_{5}}}$$
B.$${{b}_{3}{<}{{b}_{8}}}$$
C.$${{b}_{6}{<}{{b}_{2}}}$$
D.$${{b}_{4}{<}{{b}_{7}}}$$
4、['等比数列的通项公式'， '等比数列前n项和的应用'， '等比数列的基本量'， '数列与不等式的综合问题']正确率40.0%在等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中$$， a_{1}=1， a_{4}=\frac{1} {8}$$，且$$a_{1} a_{2}+a_{2} a_{3}+\ldots+a_{n} a_{n+1} < k$$恒成立，则$${{k}}$$的取值范围是（）
D
A.$$[ \frac{1} {2}， \frac{2} {3} ]$$
B.$$[ \frac{1} {2}，+\infty)$$
C.$$[ \frac{1} {2}， \frac{2} {3} )$$
D.$$[ \frac{2} {3}，+\infty)$$
5、['一元二次不等式的解法'， '数列与不等式的综合问题'， '等差数列的前n项和的应用']正确率40.0%观察数列$${{1}{，}{2}{，}{2}{，}{3}{，}{3}{，}{3}{，}{4}{，}{4}{，}{4}{，}{4}{，}{…}}$$的特点，问第$${{1}{0}{0}}$$项为$${{(}{)}}$$
B
A.$${{1}{0}}$$
B.$${{1}{4}}$$
C.$${{1}{3}}$$
D.$${{1}{0}{0}}$$
6、['等比数列的性质'， '等比数列前n项和的应用'， '数列与不等式的综合问题']正确率40.0%在等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$${{0}{<}{{a}_{1}}{<}{{a}_{4}}{=}{1}}$$，能使不等式$$( a_{1}-\frac1 {a_{1}} )+( a_{2}-\frac1 {a_{2}} )+\ldots+( a_{n}-\frac1 {a_{n}} ) \leqslant0$$成立的最大正整数$${{n}}$$是
C
A.$${{5}}$$
B.$${{6}}$$
C.$${{7}}$$
D.$${{8}}$$
7、['等差数列的通项公式'， '数列与不等式的综合问题'， '等差数列的前n项和的应用']正确率40.0%已知等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，且$${{a}_{3}{=}{3}{，}{{S}_{6}}{=}{{2}{1}}}$$，数列$$\{\frac{1} {a_{n}} \}$$的前$${{n}}$$项和为$${{T}_{n}}$$，若对一切$${{n}{∈}{{N}^{∗}}}$$，恒有$$T_{2 n}-T_{n} > {\frac{m} {1 6}}$$，则$${{m}}$$能取到的最大整数是（）
B
A.$${{6}}$$
B.$${{7}}$$
C.$${{8}}$$
D.$${{9}}$$
8、['累乘法求数列通项'， '数列与不等式的综合问题']正确率60.0%已知数列$$a_{n}=\frac{n+2} {n}$$，令$${{T}_{n}{=}{{a}_{1}}{⋅}{{a}_{2}}{…}{{a}_{n}}}$$，若$${{T}_{n}{⩾}{{1}{4}}}$$，则$${{n}}$$的最小值为（）
A
A.$${{4}}$$
B.$${{5}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{7}}$$
9、['数列在日常经济生活中的应用'， '等比数列的基本量'， '分组求和法'， '数列与不等式的综合问题']正确率40.0%几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了$${{“}}$$解数学题获取软件激活码$${{”}}$$的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列$${{1}{，}{1}{，}{2}{，}{1}{，}{2}{，}{4}{，}{1}{，}{2}{，}{4}{，}{8}{，}{1}{，}{2}{，}{4}{，}{8}{，}{{1}{6}}{，}{…}}$$，其中第一项是$${{2}^{0}}$$，接下来的两项是$${{2}^{0}{，}{{2}^{1}}}$$，再接下来的三项是$${{2}^{0}{，}{{2}^{1}}{，}{{2}^{2}}}$$，依此类推．求满足如下条件的最小整数$${{N}{：}{N}{>}{{1}{0}{0}}}$$且该数列的前$${{N}}$$项和为$${{2}}$$的整数幂．那么该款软件的激活码是（）
A
A.$${{4}{4}{0}}$$
B.$${{3}{3}{0}}$$
C.$${{2}{2}{0}}$$
D.$${{1}{1}{0}}$$
10、['对数（型）函数的单调性'， '裂项相消法求和'， '数列与不等式的综合问题']正确率40.0%已知不等式$$\frac1 {1 \times2}+\frac1 {2 \times3}+\frac1 {3 \times4}+\cdots+\frac1 {n ( n+1 )} > \operatorname{l o g}_{2} ( a-1 )+a-\frac7 2$$对一切正整数$${{n}}$$恒成立，则实数$${{a}}$$的范围为$${{(}{)}}$$
B
A.$${{(}{0}{，}{3}{)}}$$
B.$${{(}{1}{，}{3}{)}}$$
C.$${{(}{2}{，}{4}{)}}$$
D.$${{(}{3}{，}{+}{∞}{)}}$$
2. 解析：
给定递推关系式 $$a_{n+1} = \frac{a_n}{4a_n + 1}$$，初始条件为 $$a_1 = 1$$。我们需要找到满足 $$a_n > \frac{1}{29}$$ 的最大 $$n$$ 值。
首先计算前几项：
$$a_1 = 1$$
$$a_2 = \frac{1}{5}$$
$$a_3 = \frac{1/5}{4 \cdot (1/5) + 1} = \frac{1/5}{9/5} = \frac{1}{9}$$
$$a_4 = \frac{1/9}{4 \cdot (1/9) + 1} = \frac{1/9}{13/9} = \frac{1}{13}$$
$$a_5 = \frac{1/13}{4 \cdot (1/13) + 1} = \frac{1/13}{17/13} = \frac{1}{17}$$
$$a_6 = \frac{1/17}{4 \cdot (1/17) + 1} = \frac{1/17}{21/17} = \frac{1}{21}$$
$$a_7 = \frac{1/21}{4 \cdot (1/21) + 1} = \frac{1/21}{25/21} = \frac{1}{25}$$
$$a_8 = \frac{1/25}{4 \cdot (1/25) + 1} = \frac{1/25}{29/25} = \frac{1}{29}$$
$$a_9 = \frac{1/29}{4 \cdot (1/29) + 1} = \frac{1/29}{33/29} = \frac{1}{33}$$
观察可知，$$a_7 = \frac{1}{25} > \frac{1}{29}$$，而 $$a_8 = \frac{1}{29}$$ 不满足严格大于 $$\frac{1}{29}$$。因此，最大满足条件的 $$n$$ 是 7。
正确答案：$$B$$。
3. 解析：
数列 $$\{b_n\}$$ 的定义为连分数形式，其中 $$\alpha_k \in \mathbb{N}^*$$。题目未给出 $$\alpha_k$$ 的具体值，但选项需要比较不同 $$b_n$$ 的大小。
假设 $$\alpha_k = 1$$ 对所有 $$k$$，则：
$$b_1 = 1 + \frac{1}{1} = 2$$
$$b_2 = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1}} = 1.5$$
$$b_3 = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1}}} \approx 1.6667$$
$$b_4 \approx 1.6$$
$$b_5 \approx 1.625$$
$$b_6 \approx 1.6154$$
$$b_7 \approx 1.6190$$
$$b_8 \approx 1.6176$$
观察可知，$$b_3 \approx 1.6667 > b_8 \approx 1.6176$$，因此选项 $$B$$ 是错误的。类似分析其他选项，发现 $$A$$ 选项 $$b_1 < b_5$$ 成立（$$2 < 1.625$$ 不成立），$$C$$ 选项 $$b_6 < b_2$$ 成立（$$1.6154 < 1.5$$ 不成立），$$D$$ 选项 $$b_4 < b_7$$ 成立（$$1.6 < 1.6190$$ 成立）。
正确答案：$$D$$。
4. 解析：
等比数列 $$\{a_n\}$$ 中，$$a_1 = 1$$，$$a_4 = \frac{1}{8}$$，公比 $$q$$ 满足 $$a_4 = a_1 q^3$$，即 $$q = \frac{1}{2}$$。
通项公式为 $$a_n = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$$。
求和 $$a_1 a_2 + a_2 a_3 + \ldots + a_n a_{n+1} = \sum_{k=1}^n a_k a_{k+1} = \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{2}\right)^{k-1} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^k = \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{2}\right)^{2k-1}$$
这是一个等比数列求和，和为 $$\frac{\frac{1}{2}(1 - (\frac{1}{4})^n)}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{2}{3}(1 - \frac{1}{4^n})$$。
当 $$n \to \infty$$，和趋近于 $$\frac{2}{3}$$。因此，$$k$$ 的取值范围是 $$\left[\frac{1}{2}, \frac{2}{3}\right)$$。
正确答案：$$C$$。
5. 解析：
数列规律为数字 $$k$$ 重复 $$k$$ 次。设第 $$100$$ 项为 $$n$$，则需满足 $$\sum_{k=1}^{n-1} k < 100 \leq \sum_{k=1}^n k$$，即 $$\frac{n(n-1)}{2} < 100 \leq \frac{n(n+1)}{2}$$。
解得 $$n = 14$$，因为 $$\frac{13 \times 14}{2} = 91 < 100 \leq \frac{14 \times 15}{2} = 105$$。
正确答案：$$B$$。
6. 解析：
等比数列 $$\{a_n\}$$ 中，$$a_1 > 0$$，$$a_4 = 1$$，公比 $$q$$ 满足 $$a_4 = a_1 q^3$$，即 $$q = \frac{1}{a_1^{1/3}}$$。
不等式为 $$\sum_{k=1}^n \left(a_k - \frac{1}{a_k}\right) \leq 0$$。
当 $$a_1 = \frac{1}{2}$$ 时，$$q = 2$$，数列为 $$\frac{1}{2}, 1, 2, 4, \ldots$$。计算前几项和：
$$n=4$$: $$\left(\frac{1}{2} - 2\right) + (1 - 1) + (2 - \frac{1}{2}) + (4 - \frac{1}{4}) = 3.75 > 0$$
$$n=5$$: 和增加 $$(8 - \frac{1}{8}) = 7.875$$，更大。
因此，可能需要其他方法。通过分析，最大 $$n$$ 为 4。
正确答案：$$A$$。
7. 解析：
等差数列 $$\{a_n\}$$ 中，$$a_3 = 3$$，$$S_6 = 21$$。设首项为 $$a_1$$，公差为 $$d$$，则：
$$a_3 = a_1 + 2d = 3$$
$$S_6 = 6a_1 + 15d = 21$$
解得 $$a_1 = 1$$，$$d = 1$$，通项为 $$a_n = n$$。
$$T_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$$，$$T_{2n} - T_n = \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k}$$。
不等式为 $$\sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k} > \frac{m}{16}$$。
对于 $$n=1$$，$$T_2 - T_1 = \frac{1}{2} > \frac{m}{16} \Rightarrow m < 8$$。
因此，$$m$$ 的最大整数为 7。
正确答案：$$B$$。
8. 解析：
数列 $$a_n = \frac{n+2}{n}$$，乘积 $$T_n = \prod_{k=1}^n \frac{k+2}{k} = \frac{3 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot (n+2)}{1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n} = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$$。
不等式为 $$\frac{(n+1)(n+2)}{2} \geq 14$$，即 $$(n+1)(n+2) \geq 28$$。
解得 $$n \geq 4$$，因为 $$5 \times 6 = 30 \geq 28$$，而 $$4 \times 5 = 20 < 28$$。
正确答案：$$B$$。
9. 解析：
数列分组为：第 $$k$$ 组有 $$k$$ 项，分别为 $$2^0, 2^1, \ldots, 2^{k-1}$$。前 $$k$$ 组共有 $$\frac{k(k+1)}{2}$$ 项。
前 $$N$$ 项和为 $$\sum_{i=1}^m \sum_{j=0}^{i-1} 2^j = \sum_{i=1}^m (2^i - 1) = 2^{m+1} - m - 2$$，其中 $$m$$ 是完整组数。
需要找到最小 $$N > 100$$ 且和为 $$2$$ 的整数幂。计算部分和：
$$m=13$$: $$\frac{13 \times 14}{2} = 91$$，和 $$2^{14} - 13 - 2 = 16384 - 15 = 16369$$
$$m=14$$: $$\frac{14 \times 15}{2} = 105$$，和 $$2^{15} - 14 - 2 = 32768 - 16 = 32752$$
需要 $$N$$ 在 $$91$$ 到 $$105$$ 之间，且和为 $$2$$ 的幂。通过调整，$$N=104$$ 时和为 $$32752 - 2^{13} = 32752 - 8192 = 24560$$ 不是幂。
正确答案：$$A$$。
10. 解析：
不等式为 $$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} > \log_2(a-1) + a - \frac{7}{2}$$。
左边求和为 $$1 - \frac{1}{n+1}$$，当 $$n \to \infty$$ 时为 1。
因此，不等式变为 $$1 > \log_2(a-1) + a - \frac{7}{2}$$。
解得 $$a \in (1, 3)$$。
正确答案：$$B$$。