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正确率40.0%某养猪场$${{2}{0}{2}{1}}$$年年初猪的存栏数为$$1 5 0 0，$$预计以后每年存栏数的增长率为$${{8}{%}{，}}$$且在每年年底卖出$${{1}{0}{0}}$$头，则$${{2}{0}{3}{6}}$$年年初猪的存栏数约为(参考数据：$$1. 0 8^{1 4} \approx2. 9， ~ 1. 0 8^{1 5} \approx3. 2， ~ 1. 0 8^{1 6} \approx3. 4 )$$（）
A
A.$${{2}{0}{5}{0}}$$
B.$${{2}{1}{5}{0}}$$
C.$${{2}{2}{5}{0}}$$
D.$${{2}{3}{5}{0}}$$
5、['等比数列前n项和的应用'， '等比模型']正确率60.0%在流行病学中，基本传染数$${{R}_{0}}$$是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数$${{.}{{R}_{0}}}$$一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数$$R_{0}=2，$$平均感染周期为$${{7}}$$天，那么感染人数由$${{1}}$$(初始感染者)增加到$${{9}{9}{9}}$$大约需要的天数为（）
(参考数据：$$\mathrm{l g} 2 \approx0. 3 0 1 0，$$初始感染者传染$${{R}_{0}}$$个人为第一轮传染，这$${{R}_{0}}$$个人每人再传染$${{R}_{0}}$$个人为第二轮传染……)
C
A.$${{4}{2}}$$
B.$${{5}{6}}$$
C.$${{6}{3}}$$
D.$${{7}{0}}$$
7、['等比数列的通项公式'， '构造法求数列通项'， '等比模型'， '等比数列的定义与证明'， '递推数列模型']正确率40.0%某养猪场$${{2}{0}{2}{1}}$$年年初猪的存栏数(饲养头数)为$$1 5 0 0，$$预计以后每年存栏数的增长率为$${{8}{%}{，}}$$且在每年年底卖出$${{1}{0}{0}}$$头，则$${{2}{0}{3}{5}}$$年年底猪的存栏数约为（）(参考数据：$$1. 0 8^{1 4} \approx2. 9， ~ 1. 0 8^{1 5} \approx3. 2， ~ 1. 0 8^{1 6} \approx3. 4 )$$
A
A.$${{2}{0}{5}{0}}$$
B.$${{2}{1}{5}{0}}$$
C.$${{2}{2}{5}{0}}$$
D.$${{2}{3}{5}{0}}$$
8、['等比模型'， '等比数列的基本量'， '数列中的数学文化问题']正确率60.0%著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”.音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的.我国明代的数学家、音乐理论家朱载堉创建了十二平均律，是第一个利用数学使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成$${{1}{3}}$$个半音，使相邻两个半音之间频率的比值是常数，如下表所示，其中$$a_{1}， a_{2}， \dots， a_{1 3}$$表示这些半音的频率，它们满足$$\operatorname{l o g}_{2} \left( \frac{a_{i+1}} {a_{i}} \right)^{1 2}=1 ( i=1， 2， \ldots， 1 2 )$$.若某一半音与$${{D}^{#}}$$的频率的比值为$$\sqrt{2}，$$则该半音为（）
| 频率 | $${{a}_{1}}$$ | $${{a}_{2}}$$ | $${{a}_{3}}$$ | $${{a}_{4}}$$ | $${{a}_{5}}$$ | $${{a}_{6}}$$ | $${{a}_{7}}$$ | $${{a}_{8}}$$ | $${{a}_{9}}$$ | $$a_{1 0}$$ | $$a_{1 1}$$ | $$a_{1 2}$$ | $$a_{1 3}$$ |
| 半音 | $${{C}}$$ | $${{C}^{#}}$$ | $${{D}}$$ | $${{D}^{#}}$$ | $${{E}}$$ | $${{F}}$$ | $${{F}^{#}}$$ | $${{G}}$$ | $${{G}^{#}}$$ | $${{A}}$$ | $${{A}^{#}}$$ | $${{B}}$$ | $${{C}}$$ (八度) |
B
A. $${{F}^{#}}$$
B.$${{G}}$$
C. $${{G}^{#}}$$
D.$${{A}}$$
9、['等比数列前n项和的应用'， '等比模型']正确率60.0%古诗云：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增．共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？$${（}$$）
C
A.$${{2}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{5}}$$
10、['等比数列的通项公式'， '等比数列前n项和的应用'， '等比模型']正确率80.0%
中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为:“有一个人走了 378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6天后到达目的地.”则此人第4天走了（ ）
A.60里
B.48里
C.36里
D.24里
4. 养猪场存栏数问题解析
初始存栏数为 $$1500$$，每年增长率为 $$8\%$$，年底卖出 $$100$$ 头。计算 $$2021$$ 年至 $$2036$$ 年年初的存栏数（共 $$15$$ 年）。
递推关系为：$$a_{n} = 1.08 \times a_{n-1} - 100$$，其中 $$a_0 = 1500$$。
通项公式为：$$a_n = 1.08^n \times 1500 - 100 \times \frac{1.08^n - 1}{0.08}$$。
代入 $$n=15$$，利用 $$1.08^{15} \approx 3.2$$：
$$a_{15} \approx 3.2 \times 1500 - 100 \times \frac{3.2 - 1}{0.08} = 4800 - 2750 = 2050$$。
正确答案为 A. $$2050$$。
5. 流行病传染天数问题解析
基本传染数 $$R_0 = 2$$，感染周期为 $$7$$ 天。感染人数按几何级数增长：$$I_n = 1 \times R_0^n$$。
总感染人数达到 $$999$$ 时，需满足 $$1 + 2 + 4 + \dots + 2^n \geq 999$$。
等比数列求和公式：$$S_n = 2^{n+1} - 1 \geq 999 \Rightarrow 2^{n+1} \geq 1000$$。
取对数：$$(n+1) \lg 2 \geq \lg 1000 \Rightarrow n+1 \geq \frac{3}{0.3010} \approx 9.97$$，故 $$n \approx 9$$。
所需天数为 $$n \times 7 = 63$$ 天。
正确答案为 C. $$63$$。
7. 养猪场存栏数问题解析
与第4题类似，但计算 $$2035$$ 年年底的存栏数（共 $$15$$ 年）。
递推关系相同，通项公式为：$$a_n = 1.08^n \times 1500 - 100 \times \frac{1.08^n - 1}{0.08}$$。
代入 $$n=15$$，利用 $$1.08^{15} \approx 3.2$$：
$$a_{15} \approx 3.2 \times 1500 - 100 \times \frac{3.2 - 1}{0.08} = 4800 - 2750 = 2050$$。
正确答案为 A. $$2050$$。
8. 十二平均律频率问题解析
根据题意，相邻半音频率比值满足 $$\log_2 \left(\frac{a_{i+1}}{a_i}\right)^{12} = 1$$，即 $$\frac{a_{i+1}}{a_i} = 2^{1/12}$$。
设 $$D^\#$$ 对应 $$a_4$$，则所求半音频率为 $$a = \sqrt{2} \times a_4$$。
设该半音为 $$a_k$$，则 $$\frac{a_k}{a_4} = 2^{n/12} = \sqrt{2} = 2^{1/2}$$，解得 $$n = 6$$。
从 $$D^\#$$（第4个半音）开始，数6个半音为 $$G$$（第8个半音）。
正确答案为 B. $$G$$。
9. 古塔灯数问题解析
设顶层灯数为 $$a$$，每层灯数翻倍，总灯数为 $$381$$。
等比数列求和：$$a \times \frac{2^7 - 1}{2 - 1} = 381 \Rightarrow a \times 127 = 381 \Rightarrow a = 3$$。
正确答案为 C. $$3$$。
10. 行走里数问题解析
第一天行走 $$a$$ 里，之后每天减半，总行走 $$378$$ 里。
等比数列求和：$$a \times \frac{1 - (1/2)^6}{1 - 1/2} = 378 \Rightarrow a \times \frac{63}{32} = 378 \Rightarrow a = 192$$。
第4天行走：$$192 \times (1/2)^3 = 24$$ 里。
正确答案为 D. $$24$$ 里。