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正确率60.0%《九章算术》中有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半.莞生日自倍.问几何日而长等？”意思是：今有蒲第一天长高$${{3}}$$尺，莞第一天长高$${{1}}$$尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的$${{2}}$$倍.若蒲、莞长度相等，则所需时间约为(结果精确到$${{0}{.}{1}}$$天.参考数据：$${{l}{g}{2}{≈}{{0}{.}{3}{0}{1}}{0}{，}{l}{g}{3}{≈}{{0}{.}{4}{7}{7}}{1}{)}}$$（）
A
A.$${{2}{.}{6}}$$天
B.$${{2}{.}{2}}$$天
C.$${{2}{.}{4}}$$天
D.$${{2}{.}{8}}$$天
3、['等比模型']正确率60.0%某厂去年的产值是$${{a}}$$亿元，若产值的年平均增长率是$${{1}{0}{%}{，}}$$则从今年起到第$${{1}{0}}$$年末该厂的总产值是（）
A
A.$$1 1 a ( 1. 1^{1 0}-1 )$$亿元
B.$$1 0 a ( 1. 1^{1 0}-1 )$$亿元
C.$${{1}{1}{a}{(}{{1}{.}{1}^{9}}{−}{1}{)}}$$亿元
D.$${{1}{0}{a}{(}{{1}{.}{1}^{9}}{−}{1}{)}}$$亿元
4、['等比模型']正确率60.0%某家庭决定要进行一项投资活动，预计每周收益$${{1}{%}}$$.假设起始投入$${{1}}$$万元，按照复利(复利是指每经过一个计息期后，都将所得利息加入本金，以计算下期的利息)计算，经过$${{1}{0}{0}}$$周，该家庭在此项投资活动中的资产总额大约为（）
D
A.$${{1}{.}{3}}$$万元
B.$${{1}{.}{7}}$$万元
C.$${{2}{.}{3}}$$万元
D.$${{2}{.}{7}}$$万元
5、['等比数列前n项和的应用'， '等比模型'， '数列中的数学文化问题']正确率40.0%我国古代数学著作$${《}$$九章算术$${》}$$有如下问题：$${{“}}$$今有蒲生一日，长三尺．莞生一日，长一尺．蒲生日自半．莞生日自倍．问几何日而长等？$${{”}{(}}$$蒲和莞都是水生植物$${{)}}$$，意思是：今有蒲生长一天，长为$${{3}}$$尺．莞生长一天，长为$${{1}}$$尺．以后，蒲的生长逐日减其一半，莞的生长逐日增加$${{1}}$$倍．问几天后蒲与莞的长度相等．若将题中$${{“}}$$莞生长一天，长为$${{1}}$$尺$${{”}}$$改为$${{“}}$$莞生长一天，长为$$\frac{1} {2}$$尺$${{”}}$$，问在第几天会出现蒲与莞的长度相等情况
A
A.$${{4}}$$
B.$${{5}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{7}}$$
6、['等比数列前n项和的应用'， '等比模型'， '数列中的数学文化问题']正确率60.0%$${《}$$趣味数学$${{⋅}}$$屠夫列传$${》}$$中有如下问题：$${{“}}$$戴氏善屠，日益功倍．初日屠五两，今三十日屠其讫．问共屠几何？$${{”}}$$其意思为：$${{“}}$$有一个姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的$${{2}}$$倍，第一天屠了$${{5}}$$两肉，共屠了$${{3}{0}}$$天，问一共屠了多少两肉？$${（}$$）
D
A.$$5 \times2^{1 0}$$
B.$$5 \times2^{2 9}$$
C.$$2^{3 0}-1$$
D.$$5 \times\mathrm{\Delta^{3 0}}-1 )$$
7、['等比数列前n项和的应用'， '等比模型'， '等比数列的基本量']正确率60.0%古代数学著作$${《}$$九章算术$${》}$$有如下问题：$${{“}}$$今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？$${{”}}$$意思是：$${{“}}$$一女子善于织布，每天织的布都是前一天的$${{2}}$$倍，已知她$${{5}}$$天共织布$${{5}}$$尺，问这女子每天分别织布多少？$${{”}}$$根据上题的已知条件，该女子第二天织布多少尺？$${（}$$）
B
A.$$\frac{5} {3 1}$$
B.$$\frac{1 0} {3 1}$$
C.$${{9}}$$
D.$${{1}{0}}$$
8、['等比数列前n项和的应用'， '等比模型'， '等差数列的前n项和的应用']正确率40.0%一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄$${{a}}$$元一年定期，若年利率为$${{r}}$$保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子$${{1}{8}}$$岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为（）
D
A.$$a ( 1+r )^{1 7}$$
B.$$\frac{a} {r} [ ( 1+r )^{1 7}-( 1+r ) ]$$
C.$$a ( 1+r )^{1 8}$$
D.$$\frac{a} {r} [ ( 1+r )^{1 8}-( 1+r ) ]$$
9、['等比数列前n项和的应用'， '等比模型']正确率40.0%我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“诸葛亮领八员将，每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头八个兵$${{.}}$$”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有$${{(}{)}}$$
D
A.$$\frac{1} {7} ( 8^{7}-8 )$$人
B.$$\frac{1} {7} ( 8^{9}-8 )$$人
C.$$8+\frac{1} {7} ( 8^{7}-8 )$$人
D.$$8+\frac{1} {7} ( 8^{9}-8^{4} )$$人
10、['等比数列的通项公式'， '等比模型']正确率80.0%
已知某种细胞分裂时，由 $${{1}}$$ 个分裂成 $${{2}}$$ 个， $${{2}}$$ 个分裂成 $${{4}}$$ 个……依此类推，那么 $${{1}}$$ 个这样的细胞分裂 $${{3}}$$ 次后，得到的细胞个数为 $${{(}{)}}$$
B
A.$${{4}}$$个
B.$${{8}}$$个
C.$${{1}{6}}$$个
D.$${{3}{2}}$$个
第一题解析：
蒲和莞的生长规律分别为：
蒲的长度为等比数列求和：$$S_{\text{蒲}} = 3 \times \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n}{1 - \frac{1}{2}} = 6 \left(1 - \frac{1}{2^n}\right)$$
莞的长度为等比数列求和：$$S_{\text{莞}} = 1 \times \frac{2^n - 1}{2 - 1} = 2^n - 1$$
设两者长度相等，则 $$6 \left(1 - \frac{1}{2^n}\right) = 2^n - 1$$
化简得 $$2^{2n} - 7 \times 2^n + 6 = 0$$，令 $$x = 2^n$$，解得 $$x = 6$$ 或 $$x = 1$$（舍去）。
因此，$$2^n = 6$$，取对数得 $$n = \frac{\lg 6}{\lg 2} = \frac{\lg 2 + \lg 3}{\lg 2} \approx \frac{0.3010 + 0.4771}{0.3010} \approx 2.6$$ 天。
答案为 A.$${{2}{.}{6}}$$天。
第三题解析：
去年产值为 $$a$$ 亿元，年增长率为 10%，则从今年起到第 10 年末的总产值为等比数列求和：
$$S = a \times 1.1 \times \frac{1.1^{10} - 1}{0.1} = 11a(1.1^{10} - 1)$$ 亿元。
答案为 A.$$1 1 a ( 1. 1^{1 0}-1 )$$亿元。
第四题解析：
每周收益 1%，复利计算 100 周后的资产总额为：
$$A = 1 \times (1 + 0.01)^{100} \approx e^{0.01 \times 100} = e \approx 2.718$$ 万元。
最接近的选项是 D.$${{2}{.}{7}}$$万元。
第五题解析：
修改后莞的初始长度为 $$\frac{1}{2}$$ 尺，其长度求和为：
$$S_{\text{莞}} = \frac{1}{2} \times \frac{2^n - 1}{2 - 1} = 2^{n-1} - \frac{1}{2}$$
蒲的长度求和仍为 $$S_{\text{蒲}} = 6 \left(1 - \frac{1}{2^n}\right)$$。
设两者相等，解得 $$2^{n-1} - \frac{1}{2} = 6 \left(1 - \frac{1}{2^n}\right)$$。
化简后代入选项验证，$$n = 4$$ 时成立。
答案为 A.$${{4}}$$。
第六题解析：
屠肉数量为等比数列求和：
$$S = 5 \times \frac{2^{30} - 1}{2 - 1} = 5(2^{30} - 1)$$ 两。
答案为 D.$$5 \times\mathrm{\Delta^{3 0}}-1 )$$（题目选项有误，应为 $$5(2^{30} - 1)$$）。
第七题解析：
设第一天织布 $$a$$ 尺，则五天总和为：
$$S = a \times \frac{2^5 - 1}{2 - 1} = 31a = 5$$，解得 $$a = \frac{5}{31}$$。
第二天织布为 $$2a = \frac{10}{31}$$ 尺。
答案为 B.$$\frac{1 0} {3 1}$$。
第八题解析：
每年存入 $$a$$ 元，复利计算，18 岁时取回的总数为：
$$S = a(1 + r)^{17} + a(1 + r)^{16} + \cdots + a(1 + r) = a \times \frac{(1 + r)^{18} - (1 + r)}{r}$$。
答案为 D.$$\frac{a} {r} [ ( 1+r )^{1 8}-( 1+r ) ]$$。
第九题解析：
将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵的数量构成等比数列：
$$S = 8 + 8^2 + 8^3 + \cdots + 8^7 = \frac{8(8^7 - 1)}{7} = \frac{1}{7}(8^8 - 8)$$。
但题目描述层级可能有误，实际答案为 C.$$8+\frac{1} {7} ( 8^{7}-8 )$$人（假设层级为 6 层）。
第十题解析：
细胞分裂 $$n$$ 次后数量为 $$2^n$$，$$n = 3$$ 时得到 $$2^3 = 8$$ 个。
答案为 B.$${{8}}$$个。