1、['数列的递推公式'， '正切（型）函数的周期性'， '累加法求数列通项'， '正切函数的诱导公式']正确率40.0%数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$${{a}_{1}{=}{\sqrt {2}}}$$，$$a_{n+1}=a_{n}+\sqrt{2} \operatorname{t a n} \left( \frac{\pi} {4}+\frac{n \pi} {2} \right)$$，则$$a_{2 0 2 1}=$$（）
A
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${{0}}$$
C.$${{−}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{2}}$$
2、['累加法求数列通项'， '等比数列前n项和的应用'， '数列中的数学文化问题']正确率40.0%$${{1}{7}{7}{2}}$$年德国的天文学家$${{J}{.}{E}}$$.波得总结并发表了求太阳的行星距离的法则.记地球距离太阳的平均距离为$${{1}{0}{，}}$$可以算得当时已知的六大行星距离太阳的平均距离如下表：
| 星名 | 水星 | 金星 | 地球 | 火星 | 木星 | 土星 |
| 与太阳的距离 | $${{4}}$$ | $${{7}}$$ | $${{1}{0}}$$ | $${{1}{6}}$$ | $${{5}{2}}$$ | $${{1}{0}{0}}$$ |
除水星外，其余各星与太阳的距离都满足波得定则(某一数列规律)，当时德国天文学家提丢斯根据此定则推算，火星和木星之间距离太阳$${{2}{8}}$$处还有一颗大行星$${，{{1}{8}{0}{1}}}$$年，意大利天文学家皮亚齐果然在这个距离上发现了谷神星，此后，天文学家们又在这个距离附近发现许多小行星.请你根据这个定则，从水星开始由近到远算，第$${{1}{0}}$$个行星与太阳的平均距离大约是（）B
A.$${{3}{8}{8}}$$
B.$${{7}{7}{2}}$$
C.$${{1}{5}{4}{0}}$$
D.$${{3}{0}{7}{6}}$$
3、['数列的递推公式'， '数列的函数特征'， '累加法求数列通项'， '导数与最值'， '利用导数讨论函数单调性']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1}=2 8. \， \， \， \frac{a_{n+1}-a_{n}} {n}=2$$，则$$\frac{a_{n}} {n}$$的最小值为（）
C
A.$$\frac{2 9} {3}$$
B.$${{4}{\sqrt {7}}{−}{1}}$$
C.$$\frac{4 8} {5}$$
D.$$\frac{2 7} {4}$$
4、['数列的递推公式'， '累加法求数列通项']正确率40.0%数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$$a_{1}=2， \ a_{n+1}=a_{n}+\operatorname{l o g}_{2} \frac{n+1} {n}$$，则$${{a}_{8}{=}{(}{)}}$$
C
A.$${{3}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{6}}$$
5、['等差数列的通项公式'， '累加法求数列通项']正确率40.0%已知$${{S}{n}}$$是等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和，$${{a}_{1}{=}{1}{，}{{S}_{5}}{=}{{2}{5}}}$$，设$${{T}_{n}}$$为数列$$\{(-1 )^{n+1} a_{n} \}$$的前$${{n}}$$项和，则$$T_{2 0 1 5}=( \eta)$$
A
A.$${{2}{0}{1}{5}}$$
B.$${{−}{{2}{0}{1}{5}}}$$
C.$${{2}{0}{1}{4}}$$
D.$${{−}{{2}{0}{1}{4}}}$$
6、['累加法求数列通项'， '数列的通项公式']正确率60.0%数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$$a_{1}=2， \， \， a_{n+1}=a_{n}+2 n ( n \in N_{+} )$$，则$$a_{1 0 0}=( \eta)$$
A
A.$${{9}{9}{0}{2}}$$
B.$${{9}{9}{0}{4}}$$
C.$${{9}{9}{0}{6}}$$
D.$${{9}{9}{0}{0}}$$
7、['等差数列的通项公式'， '数列的前n项和'， '累加法求数列通项']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}{，}{{a}_{1}}{=}{−}{1}{，}{{a}_{2}}{=}{2}{，}{{a}_{3}}{=}{7}}$$，且$$S_{n+1}=3 S_{n}-3 S_{n-1}+S_{n-2}+2 ( n \geqslant3 )$$，则$${{a}_{n}{=}}$$（）
B
A.$${{3}{n}{−}{4}}$$
B.$${{n}^{2}{−}{2}}$$
C.$${{2}{{n}^{2}}{−}{3}{n}}$$
D.$$\frac2 3 n^{3}-\frac5 3 n$$
9、['数列的递推公式'， '累加法求数列通项']正确率40.0%在数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，已知$${{a}_{1}{=}{1}}$$，且对于任意的$${{m}{，}{n}{∈}{N}{∗}}$$，都有$$a_{m+n}=a_{m}+a_{n}+m n$$，则数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的通项公式为$${{(}{)}}$$
D
A.$${{a}_{n}{=}{n}}$$
B.$${{a}_{n}{=}{n}{+}{1}}$$
C.$$a_{n}=\frac{n ( n-1 )} {2}$$
D.$$a_{n}=\frac{n ( n+1 )} {2}$$
10、['数列的递推公式'， '累加法求数列通项'， '等比数列前n项和的应用'， '数列与不等式的综合问题']正确率40.0%已知正项数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1}=\sqrt{2}， \， \， \， a_{n+1}^{2}=a_{n}^{2}+2^{n}， \， \， \， n \in{\bf N}^{*}， \， \， \， T_{n}$$为$${{a}_{n}}$$的前$${{n}}$$项的积，则使得$$T_{n} > 2^{1 8}$$的$${{n}}$$的最小值为（）
C
A.$${{8}}$$
B.$${{9}}$$
C.$${{1}{0}}$$
D.$${{1}{1}}$$
1. 解析：
首先分析递推关系 $$a_{n+1}=a_{n}+\sqrt{2} \tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{n \pi}{2}\right)$$。注意到 $$\tan\left(\frac{\pi}{4}+\theta\right) = \frac{1+\tan\theta}{1-\tan\theta}$$，但对于周期性分析，可以计算前几项：
$$a_1 = \sqrt{2}$$
$$a_2 = a_1 + \sqrt{2} \tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\right) = \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot (-1) = 0$$
$$a_3 = a_2 + \sqrt{2} \tan\left(\frac{\pi}{4}+\pi\right) = 0 + \sqrt{2} \cdot 1 = \sqrt{2}$$
$$a_4 = a_3 + \sqrt{2} \tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{3\pi}{2}\right) = \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot (-1) = 0$$
可见数列周期为 2，奇数项为 $$\sqrt{2}$$，偶数项为 0。因此 $$a_{2021} = a_1 = \sqrt{2}$$，选 A。
2. 解析：
观察行星距离规律，除水星外，其余距离可表示为 $$d_n = 4 + 3 \times 2^{n-2}$$（$$n \geq 2$$）：
$$d_2 = 4 + 3 \times 2^0 = 7$$（金星）
$$d_3 = 4 + 3 \times 2^1 = 10$$（地球）
$$d_4 = 4 + 3 \times 2^2 = 16$$（火星）
$$d_5 = 4 + 3 \times 2^3 = 28$$（谷神星）
$$d_6 = 4 + 3 \times 2^4 = 52$$（木星）
$$d_7 = 4 + 3 \times 2^5 = 100$$（土星）
推广到第 10 个行星（$$n=10$$）：
$$d_{10} = 4 + 3 \times 2^8 = 4 + 768 = 772$$，选 B。
3. 解析：
由递推式 $$\frac{a_{n+1}-a_n}{n} = 2$$ 得 $$a_{n+1} - a_n = 2n$$，累加得：
$$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2k = 28 + n(n-1)$$
因此 $$\frac{a_n}{n} = \frac{28 + n(n-1)}{n} = n - 1 + \frac{28}{n}$$
求最小值，对 $$f(n) = n - 1 + \frac{28}{n}$$ 求导或枚举整数点：
$$f(5) = 5 - 1 + \frac{28}{5} = 4 + 5.6 = 9.6$$
$$f(6) = 6 - 1 + \frac{28}{6} \approx 5 + 4.666 = 9.666$$
$$f(4) = 4 - 1 + \frac{28}{4} = 3 + 7 = 10$$
$$f(7) = 7 - 1 + 4 = 10$$
最小值为 $$f(5) = \frac{48}{5}$$，选 C。
4. 解析：
递推式 $$a_{n+1} = a_n + \log_2 \frac{n+1}{n}$$ 可展开为：
$$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} \log_2 \frac{k+1}{k} = 2 + \log_2 \left(\prod_{k=1}^{n-1} \frac{k+1}{k}\right) = 2 + \log_2 n$$
因此 $$a_8 = 2 + \log_2 8 = 2 + 3 = 5$$，选 C。
5. 解析：
由 $$S_5 = 25$$ 和 $$a_1 = 1$$ 得等差数列公差 $$d$$：
$$S_5 = \frac{5}{2}(2 \times 1 + 4d) = 25 \Rightarrow d = 2$$
通项 $$a_n = 1 + (n-1) \times 2 = 2n - 1$$
$$T_n = \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} a_k$$，对于偶数 $$n=2015$$（奇数项）：
$$T_{2015} = (a_1 - a_2) + (a_3 - a_4) + \cdots + (a_{2015})$$
每对 $$(a_{2k-1} - a_{2k}) = -2$$，共 1007 对，剩余 $$a_{2015} = 4029$$
但更简单的方法是直接计算：
$$T_{2015} = \sum_{k=1}^{2015} (-1)^{k+1}(2k - 1) = 2015$$（通过配对或观察规律），选 A。
6. 解析：
递推式 $$a_{n+1} = a_n + 2n$$ 累加得：
$$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2k = 2 + n(n-1)$$
因此 $$a_{100} = 2 + 100 \times 99 = 9902$$，选 A。
7. 解析：
递推式 $$S_{n+1} = 3S_n - 3S_{n-1} + S_{n-2} + 2$$ 可转化为差分方程：
$$a_{n+1} = 2a_n - a_{n-1} + 2$$
特征方程 $$r^2 - 2r + 1 = 0$$ 有重根 $$r=1$$，特解为二次函数。
设 $$a_n = An^2 + Bn + C$$，代入初始条件解得 $$a_n = n^2 - 2$$，选 B。
9. 解析：
递推关系 $$a_{m+n} = a_m + a_n + mn$$ 类似线性递推，设 $$a_n = \frac{n(n+1)}{2}$$ 验证：
$$a_{m+n} = \frac{(m+n)(m+n+1)}{2} = \frac{m(m+1)}{2} + \frac{n(n+1)}{2} + mn$$
符合递推式，且 $$a_1 = 1$$ 满足初始条件，选 D。
10. 解析：
递推式 $$a_{n+1}^2 = a_n^2 + 2^n$$ 累加得：
$$a_n^2 = a_1^2 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^k = 2 + (2^n - 2) = 2^n$$
因此 $$a_n = 2^{n/2}$$，乘积 $$T_n = 2^{\sum_{k=1}^n \frac{k}{2}} = 2^{\frac{n(n+1)}{4}}$$
解不等式 $$2^{\frac{n(n+1)}{4}} > 2^{18} \Rightarrow \frac{n(n+1)}{4} > 18 \Rightarrow n \geq 9$$，选 B。
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