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正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{n}=( n+1 ) \cdot\operatorname{s i n} \frac{( n+1 ) \pi} {2} ( n \geqslant2， n \in{\bf N} )， S_{n}$$是数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和，则$$S_{2 0 2 5}=$$（）
C
A.$${{5}{1}{0}}$$
B.$${{5}{0}{8}}$$
C.$${{1}{0}{1}{3}}$$
D.$${{1}{0}{1}{1}}$$
2、['并项求和法'， '数列的通项公式']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=x^{2} \mathrm{c o s} \pi x，$$数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{n}=f ( n )+f ( n+1 ) ( n \in{\bf N}^{*} )，$$设$${{S}_{n}}$$为$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和，则$$S_{2 n}=$$（）
D
A.$${{2}{n}{+}{1}}$$
B.$${{2}{n}}$$
C.$$- 2 n-1$$
D.$${{−}{2}{n}}$$
3、['公式法求和'， '裂项相消法求和'， '并项求和法']正确率40.0%下列说法正确的是（）
D
A.对于$${{n}{∈}{{N}^{∗}}{，}}$$都有$$\frac1 {( 2 n-1 ) ( 2 n+1 )}=2 ( \frac1 {2 n-1}-\frac1 {2 n+1} )$$
B.数列｛$$\frac1 {n ( n+2 )}$$｝的前$${{n}}$$项和等于$$1-\frac{1} {n+2}$$
C.$$1+m+m^{2}+\ldots+m^{2 0}=\frac{1-m^{2 0}} {1-m}$$
D.若在数列｛$${{a}_{n}}$$｝中$$a_{n}=(-1 )^{n} ( 3 n-1 )，$$则其前$${{3}{0}}$$项和为$${{4}{5}}$$
4、['数列的前n项和'， '并项求和法']正确率19.999999999999996%在数列｛$${{a}_{n}}$$｝中$$a_{1}=-1， \， \， a_{n} \cdot a_{n+1}=-2，$$则｛$${{a}_{n}}$$｝的前$${{2}{0}{0}}$$项和$$S_{2 0 0=}$$（）
D
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{−}{{1}{0}{0}}}$$
D.$${{1}{0}{0}}$$
5、['数列的递推公式'， '并项求和法']正确率40.0%设$${{S}_{n}}$$为数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和，若$$a_{n}+a_{n+1}=2 n-1，$$且存在$${{k}{∈}{{N}^{∗}}{，}}$$使得$$S_{k}=S_{k+1}=1 9 0，$$则$${{a}_{1}}$$的取值集合为（）
A
A.$${{\{}{{−}{{2}{0}}{，}{{1}{9}}}{\}}}$$
B.$${{\{}{{−}{{2}{0}}{，}{{2}{0}}}{\}}}$$
C.$${{\{}{{−}{{2}{9}}{，}{{1}{0}}}{\}}}$$
D.$${{\{}{{1}{0}}{\}}}$$
6、['并项求和法']正确率60.0%数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的通项公式是$$a_{n}=(-1 )^{n} ( 2 n-1 )，$$则该数列的前$${{1}{0}{0}}$$项和为（）
D
A.$${{−}{{2}{0}{0}}}$$
B.$${{−}{{1}{0}{0}}}$$
C.$${{2}{0}{0}}$$
D.$${{1}{0}{0}}$$
7、['数列的前n项和'， '并项求和法']正确率60.0%若数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的通项公式是$$a_{n}=\left(-1 \right)^{n} ( 3 n-1 )$$，前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，则$$S_{1 1}$$等于（）
D
A.$${{−}{{1}{8}{7}}}$$
B.$${{−}{2}}$$
C.$${{−}{{3}{2}}}$$
D.$${{−}{{1}{7}}}$$
8、['数列的前n项和'， '数列的递推公式'， '数列的函数特征'， '函数的周期性'， '并项求和法']正确率60.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足：$$a_{n+1}=a_{n}-a_{n-1} \left( n \geq2 \right)， \; S_{n}$$为数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和，则$$S_{2 1 7}=\alpha$$）
C
A.$$2 1 7 a_{2}-a_{1}$$
B.$$2 1 7 a_{1}-a_{2}$$
C.$${{a}_{1}}$$
D.$${{a}_{2}}$$
9、['数列的递推公式'， '数列的函数特征'， '归纳推理'， '并项求和法']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的首项为$${{2}}$$，且数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{n+1}=\frac{a_{n}+1} {a_{n}-1}$$，数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，则$$S_{2 0 1 6}$$为（）
C
A.$${{5}{0}{3}{7}}$$
B.$${{5}{0}{3}{8}}$$
C.$${{5}{0}{4}{0}}$$
D.$${{5}{0}{4}{2}}$$
10、['数列的前n项和'， '并项求和法'， '数列的通项公式']正确率40.0%若数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的通项公式是$$a_{n}=(-1 )^{n} ( 3 n-2 )$$，则$$a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{2 0 1 8}=( \mathbf{\tau} )$$
B
A.$${{1}{0}{0}{9}}$$
B.$${{3}{0}{2}{7}}$$
C.$${{5}{2}{1}{7}}$$
D.$${{6}{1}{0}{6}}$$
1. 解析：首先分析数列的通项公式 $$a_{n} = (n+1) \cdot \sin \frac{(n+1)\pi}{2}$$。注意到 $$\sin \frac{(n+1)\pi}{2}$$ 的周期性：
- 当 $$n+1$$ 为奇数时，$$\sin \frac{(n+1)\pi}{2} = \pm 1$$；
- 当 $$n+1$$ 为偶数时，$$\sin \frac{(n+1)\pi}{2} = 0$$。
因此，数列的非零项出现在 $$n$$ 为奇数时，即 $$a_{2k-1} = 2k \cdot (-1)^{k+1}$$。计算前 2025 项和 $$S_{2025}$$，其中非零项为前 1013 个奇数项：
$$S_{2025} = \sum_{k=1}^{1013} 2k \cdot (-1)^{k+1} = 2 \sum_{k=1}^{1013} (-1)^{k+1} k$$
分组求和：
$$\sum_{k=1}^{1013} (-1)^{k+1} k = (1-2) + (3-4) + \cdots + (1011-1012) + 1013 = -506 + 1013 = 507$$
因此，$$S_{2025} = 2 \times 507 = 1014$$，但选项中没有 1014，检查发现题目可能有误或选项不全。最接近的选项是 D（1011），但实际计算结果为 1014。
2. 解析：函数 $$f(x) = x^2 \cos \pi x$$，数列 $$a_n = f(n) + f(n+1)$$。注意到 $$\cos \pi n = (-1)^n$$，因此：
$$a_n = n^2 (-1)^n + (n+1)^2 (-1)^{n+1} = (-1)^n (n^2 - (n+1)^2) = (-1)^n (-2n-1)$$
前 $$2n$$ 项和为：
$$S_{2n} = \sum_{k=1}^{2n} (-1)^k (-2k-1) = \sum_{k=1}^{2n} (2k+1)(-1)^{k+1}$$
分组求和：
$$S_{2n} = (3 - 5) + (7 - 9) + \cdots + [(4n-1) - (4n+1)] = -2n$$
因此，答案为 D（$$-2n$$）。
3. 解析：逐项分析：
- A 选项：$$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right)$$，题目中系数错误，故 A 错误。
- B 选项：数列 $$\frac{1}{n(n+2)}$$ 的前 $$n$$ 项和为 $$\frac{1}{2} \left(1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}\right)$$，不等于 $$1 - \frac{1}{n+2}$$，故 B 错误。
- C 选项：等比数列求和公式为 $$\frac{1 - m^{21}}{1 - m}$$，题目中指数错误，故 C 错误。
- D 选项：数列 $$a_n = (-1)^n (3n - 1)$$ 的前 30 项和分组为 15 对，每对和为 $$(3(2k-1)-1) - (3(2k)-1) = -3$$，总和为 $$15 \times (-3) = -45$$，但题目给出 45，符号相反，故 D 错误。
无正确选项，但题目可能要求选择最接近的，需重新检查。
4. 解析：数列满足 $$a_1 = -1$$ 且 $$a_n \cdot a_{n+1} = -2$$。递推关系：
$$a_{n+1} = -\frac{2}{a_n}$$，因此数列为周期为 2 的数列：
$$a_1 = -1, a_2 = 2, a_3 = -1, a_4 = 2, \ldots$$
前 200 项和为 100 个 $$(-1 + 2) = 1$$，总和为 $$100 \times 1 = 100$$，答案为 D。
5. 解析：数列满足 $$a_n + a_{n+1} = 2n - 1$$，且存在 $$k$$ 使得 $$S_k = S_{k+1} = 190$$。由 $$S_{k+1} = S_k + a_{k+1}$$ 得 $$a_{k+1} = 0$$。代入递推关系：
$$a_k + a_{k+1} = 2k - 1 \Rightarrow a_k = 2k - 1$$
因此，$$S_k = \sum_{i=1}^k a_i = 190$$。假设 $$k$$ 为偶数，分组求和：
$$S_k = (a_1 + a_2) + (a_3 + a_4) + \cdots + (a_{k-1} + a_k) = (1) + (5) + \cdots + (2k-3)$$
这是一个等差数列，公差为 4，项数为 $$\frac{k}{2}$$，首项为 1，和为 $$\frac{k}{2} \left(2 \times 1 + \left(\frac{k}{2} - 1\right) \times 4\right) = \frac{k}{2} (2 + 2k - 4) = \frac{k}{2} (2k - 2) = k(k - 1) = 190$$
解得 $$k = 20$$，代入 $$a_k = 2k - 1 = 39$$，验证 $$S_{20} = 20 \times 19 = 380 \neq 190$$，矛盾。重新推导：
若 $$k$$ 为奇数，设 $$k = 2m + 1$$，则 $$S_k = S_{2m} + a_{2m+1} = m(2m - 1) + (4m + 1) = 2m^2 + 3m + 1 = 190$$，解得 $$m = 9$$，$$k = 19$$。验证 $$S_{19} = 190$$，且 $$a_{20} = 0$$。由递推关系 $$a_1 + a_2 = 1$$，$$a_2 + a_3 = 3$$，解得 $$a_1$$ 的可能值为 $$-20$$ 或 $$19$$，答案为 A（$$\{-20, 19\}$$）。
6. 解析：数列 $$a_n = (-1)^n (2n - 1)$$ 的前 100 项和为：
$$S_{100} = (-1 + 3) + (-5 + 7) + \cdots + (-197 + 199) = 2 \times 50 = 100$$，答案为 D。
7. 解析：数列 $$a_n = (-1)^n (3n - 1)$$ 的前 11 项和为：
$$S_{11} = (-2 + 5) + (-8 + 11) + \cdots + (-32) = 3 \times 5 - 32 = -17$$，答案为 D。
8. 解析：数列满足 $$a_{n+1} = a_n - a_{n-1}$$，特征方程为 $$r^2 - r + 1 = 0$$，解为复数根，周期为 6。计算前几项：
$$a_1, a_2, a_3 = a_2 - a_1, a_4 = -a_1, a_5 = -a_2, a_6 = -a_3, a_7 = a_1, \ldots$$
因此，$$S_{217} = 36 \times (a_1 + a_2 + \cdots + a_6) + a_1 = 36 \times 0 + a_1 = a_1$$，答案为 C。
9. 解析：数列满足 $$a_{n+1} = \frac{a_n + 1}{a_n - 1}$$，首项 $$a_1 = 2$$。计算前几项：
$$a_2 = 3, a_3 = 2, a_4 = 3, \ldots$$，周期为 2。前 2016 项和为 1008 个 $$(2 + 3) = 5040$$，答案为 C。
10. 解析：数列 $$a_n = (-1)^n (3n - 2)$$ 的前 2018 项和为：
$$S_{2018} = (-1 + 4) + (-7 + 10) + \cdots + (-6055 + 6058) = 3 \times 1009 = 3027$$，答案为 B。