公式法求和-4.4 ⋆数学归纳法知识点回顾进阶选择题自测题答案-吉林省等高二数学选择必修,平均正确率57.99999999999999%

1、['公式法求和'， '等比模型']

正确率60.0%某家庭打算为子女储备“教育基金”，计划从$${{2}{0}{2}{1}}$$年开始，每年年初存入一笔专用存款，使这笔存款到$${{2}{0}{2}{7}}$$年年底连本带息共有$${{4}{0}}$$万元.如果每年的存款金额相同，依年利息$${{2}{%}}$$并按复利计算(复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息)，那么每年年初应该存入约(参考数据：$$1. 0 2^{7} \approx1. 1 4 9， ~ 1. 0 2^{8} \approx1. 1 7 2 )$$（）

A.$${{5}{.}{3}}$$万元

B.$${{4}{.}{1}}$$万元

C.$${{7}{.}{8}}$$万元

D.$${{6}}$$万元

2、['等比数列前n项和的应用'， '公式法求和'， '数列的通项公式']

正确率40.0%设数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1}+2 a_{2}+4 a_{3}+\ldots+2^{n-1} a_{n}=\frac n 4，$$则数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和$${{S}_{n}{=}}$$（）

A.$$\frac1 2 \times\left( 1-\frac{1} {2^{n-1}} \right)$$

B.$$1-\frac{1} {2^{n-1}}$$

C.$$\frac{1} {2} \times\left( 1-\frac{1} {2^{n}} \right)$$

D.$$1-\frac{1} {2^{n}}$$

3、['公式法求和'， '等差数列的基本量'， '等差数列的前n项和的应用'， '等差数列的性质']

正确率80.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是等差数列，记数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}{，}}$$若$$a_{1 3}=7，$$则$$S_{2 5}=$$（）

A.$${{3}{5}{0}}$$

B.$${{7}{0}{0}}$$

C.$$\frac{1 7 5} {2}$$

D.$${{1}{7}{5}}$$

4、['等比数列前n项和的应用'， '公式法求和']

正确率80.0%数列$$1， 5， 5^{2}， 5^{3}， 5^{4}， \cdots$$的前$${{1}{0}}$$项和为（）

A.$$\frac{1} {5} \times( 5^{1 0}-1 )$$

B.$$\frac{1} {4} \times( 5^{1 0}-1 )$$

C.$$\frac{1} {4} \times( 5^{9}-1 )$$

D.$$\frac{1} {4} \times( 5^{1 1}-1 )$$

5、['公式法求和']

正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的通项公式为$$a_{n}=\operatorname{l o g}_{2} \frac{n+1} {n}$$，其前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，则满足$${{S}_{n}{>}{5}}$$的$${{n}}$$的最小值为$${{(}{)}}$$

A.$${{3}{0}}$$

B.$${{3}{1}}$$

C.$${{3}{2}}$$

D.$${{3}{3}}$$

6、['公式法求和'， '等差数列的性质'， '等差数列的前n项和的应用']

正确率40.0%已知等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，且$$a_{2}+a_{4}=1 6$$，则$${{S}_{5}{=}{（}}$$）

A.$${{−}{{3}{1}}}$$

B.$${{2}{0}}$$

C.$${{3}{1}}$$

D.$${{4}{0}}$$

7、['数列的递推公式'， '公式法求和']

正确率80.0%公元$${{1}{2}{0}{2}}$$年列昂那多$${{⋅}}$$斐波那契$${{(}}$$意大利著名数学家$${{)}}$$以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$：$${{1}}$$，$${{1}}$$，$${{2}}$$，$${{3}}$$，$${{5}}$$，$${{8}}$$，$${{1}{3}}$$，$${{2}{1}}$$，$${{3}{4}}$$，$${{5}{5}}$$，……，即$${{a}_{1}{=}{1}}$$，$${{a}_{2}{=}{1}}$$，$$a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2} ( n \in N^{*}， n > 2 )$$，此数列在现代物理、化学等学科都有着十分广泛的应用．若将此数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的各项除以$${{2}}$$后的余数构成一个新数列$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$，设数列$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项的和为$${{T}_{n}}$$；若数列$${{\{}{{c}_{n}}{\}}}$$满足：$$c_{n}=a_{n+1}^{2}-a_{n} a_{n+2}$$，设数列$${{\{}{{c}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项的和为$${{S}_{n}}$$，则$$T_{2 0 2 0}+S_{2 0 2 0}=( \boldsymbol{\eta} )$$

A.$${{1}{3}{4}{8}}$$

B.$${{1}{3}{4}{7}}$$

C.$${{6}{7}{4}}$$

D.$${{6}{7}{3}}$$

8、['公式法求和']

正确率80.0%已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=2，$$a_{n+1}=\frac{n+2} {n} S_{n} ( n \in N^{*} )$$，则S_n=（　　）

A.2^n-1+1

B.n•2ⁿ

C.3ⁿ-1

D.2n•3^n-1

9、['等差数列的通项公式'， '公式法求和'， '等差模型'， '等差数列的前n项和的应用']

正确率40.0%《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈$${{(}{1}}$$匹$${{=}{{4}{0}}}$$尺，一丈$${{=}{{1}{0}}}$$尺$${{)}}$$，问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织$${{5}}$$尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按$${{3}{1}}$$天算，记该女子一个月中的第$${{n}}$$天所织布的尺数为$${{a}_{n}}$$，则$$\frac{a_{1}+a_{3}+\ldots+a_{2 9}+a_{3 1}} {a_{2}+a_{4}+\cdots+a_{2 8}+a_{3 0}}$$的值为$${{(}{)}}$$

A.$$\frac{1 6} {5}$$

B.$$\frac{1 6} {1 5}$$

C.$$\frac{1 6} {2 9}$$

D.$$\frac{1 6} {3 1}$$

10、['数列的递推公式'， '数列的函数特征'， '公式法求和']

正确率40.0%设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，$$a_{n}=\frac{S_{n}} n+2 ( n-1 )$$（n∈N^*），则$$n S_{n}-2 n^{2}$$的最小值为（　　）

A.-2

B.-1

C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$

D.3

1. 解析：

这是一个复利储蓄问题。从2021年初到2027年底共7年，每年年初存入相同金额$$P$$，年利率2%。

利用年金终值公式：$$F = P \times \frac{(1 + r)^n - 1}{r} \times (1 + r)$$

其中$$F = 40$$万元，$$r = 0.02$$，$$n = 7$$。

代入得：$$40 = P \times \frac{1.02^7 - 1}{0.02} \times 1.02$$

计算得：$$P \approx 5.3$$万元，故选A。

2. 解析：

由题意得：$$\sum_{k=1}^n 2^{k-1}a_k = \frac{n}{4}$$

当$$n \geq 2$$时：$$\sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1}a_k = \frac{n-1}{4}$$

两式相减得：$$2^{n-1}a_n = \frac{1}{4}$$，即$$a_n = \frac{1}{2^{n+1}}$$

验证$$n=1$$时也成立。所以$$S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{2^{k+1}} = \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{2^n})$$，故选C。

3. 解析：

等差数列性质：$$S_{25} = 25 \times a_{13} = 25 \times 7 = 175$$，故选D。

4. 解析：

数列为等比数列，首项$$a_1=1$$，公比$$q=5$$，前10项和为：

$$S_{10} = \frac{5^{10} - 1}{5 - 1} = \frac{1}{4}(5^{10} - 1)$$，故选B。

5. 解析：

$$a_n = \log_2(n+1) - \log_2n$$，所以$$S_n = \log_2(n+1)$$

解不等式$$\log_2(n+1) > 5$$得$$n > 31$$，最小整数为32，故选C。

6. 解析：

设等差数列首项为$$a_1$$，公差为$$d$$，由$$a_2 + a_4 = 2a_3 = 16$$得$$a_3 = 8$$

$$S_5 = 5a_3 = 40$$，故选D。

7. 解析：

数列$${b_n}$$为斐波那契数列各项除以2的余数，周期为3：1,1,0,1,1,0,...

$$T_{2020} = 673 \times (1+1+0) + (1+1) = 1348$$

数列$${c_n}$$满足$$c_n = (-1)^n$$，所以$$S_{2020} = 0$$

因此$$T_{2020} + S_{2020} = 1348$$，故选A。

8. 解析：

由递推关系得：$$\frac{S_{n+1}}{n+2} = \frac{S_n}{n} + 2$$

设$$T_n = \frac{S_n}{n}$$，则$$T_{n+1} - T_n = 2$$，等差数列，$$T_n = 2n$$

所以$$S_n = n \times 2n = 2n^2$$，但选项不符。重新推导：

由$$a_{n+1} = \frac{n+2}{n}S_n$$和$$S_{n+1} = S_n + a_{n+1}$$得：

$$S_{n+1} = (1 + \frac{n+2}{n})S_n$$，解得$$S_n = n \cdot 2^n$$，故选B。

9. 解析：

等差数列问题，$$a_n = 5 + (n-1)d$$，总和$$S_{31} = 390$$尺

由$$31 \times 5 + \frac{31 \times 30}{2}d = 390$$得$$d = \frac{16}{31}$$

分子为16项奇数项和：$$16 \times 5 + \frac{16 \times 15}{2} \times 2d = 80 + 240d$$

分母为15项偶数项和：$$15 \times (5 + d) + \frac{15 \times 14}{2} \times 2d = 75 + 225d$$

比值为$$\frac{80 + 240 \times \frac{16}{31}}{75 + 225 \times \frac{16}{31}} = \frac{16}{15}$$，故选B。

10. 解析：

由$$a_n = \frac{S_n}{n} + 2(n-1)$$和$$S_n - S_{n-1} = a_n$$得：

$$S_n = nS_{n-1} + 2n(n-1)$$，设$$T_n = \frac{S_n}{n}$$，得：

$$T_n - T_{n-1} = 2 - \frac{2}{n}$$，累加得$$T_n = 2n - 2H_n + C$$

由初始条件得$$C=2$$，所以$$S_n = 2n^2 - 2nH_n + 2n$$

$$nS_n - 2n^2 = -2n^2H_n + 2n^2$$，最小值为-1（当n=1时），故选B。

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