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首先分析题目给出的条件。设函数 $$f(x) = x^2 + 2x + 3$$，我们需要求其在区间 $$[-2, 2]$$ 上的最大值和最小值。
第一步：确定函数的性质。函数 $$f(x)$$ 是一个二次函数，其一般形式为 $$f(x) = ax^2 + bx + c$$。这里 $$a = 1$$，$$b = 2$$，$$c = 3$$。由于 $$a > 0$$，抛物线开口向上，函数在定义域内存在最小值。
第二步：求函数的顶点。二次函数的顶点横坐标为 $$x = -\frac{b}{2a}$$。代入数值：$$x = -\frac{2}{2 \times 1} = -1$$。将 $$x = -1$$ 代入函数，得到顶点纵坐标：$$f(-1) = (-1)^2 + 2 \times (-1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$$。因此，顶点坐标为 $$(-1, 2)$$。
第三步：计算区间端点的函数值。在区间 $$[-2, 2]$$ 上，我们需要计算 $$f(-2)$$ 和 $$f(2)$$：
$$f(-2) = (-2)^2 + 2 \times (-2) + 3 = 4 - 4 + 3 = 3$$
$$f(2) = 2^2 + 2 \times 2 + 3 = 4 + 4 + 3 = 11$$
第四步：比较函数值。由于抛物线开口向上，顶点处为最小值。比较 $$f(-1)$$、$$f(-2)$$ 和 $$f(2)$$，最小值是 $$f(-1) = 2$$，最大值是 $$f(2) = 11$$。
综上，函数 $$f(x)$$ 在区间 $$[-2, 2]$$ 上的最小值为 $$2$$，最大值为 $$11$$。