二项分布与n重伯努利试验-7.4 二项分布与超几何分布知识点课后进阶自测题解析-四川省等高三数学选择必修,平均正确率52.0%

1、['二项分布与n重伯努利试验'， '数列的前n项和'， '相互独立事件的概率'， '数列的通项公式'， '等差数列的前n项和的应用']

正确率40.0%口袋中放有大小相等的$${{2}}$$个红球和$${{1}}$$个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{n}=\left\{\begin{aligned} {-1， \# n \times\mathbb{K} \n{\#} \neq\mathbb{K} \mathbb{K} \mathbb{K} \mathbb{K}，} \\ {1， \# \n{n} \mathbb{K} \n{\#} \mathbb{F} \mathbb{F}，} \\ \end{aligned} \right.$$如果$${{S}_{n}}$$为数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和，那么$${{S}_{7}{=}{3}}$$的概率为（）

A.$$\mathrm{C}_{7}^{5} \times\left( \frac{1} {3} \right)^{2} \times\left( \frac{2} {3} \right)^{5}$$

B.$$\mathrm{C}_{7}^{2} \times\left( \frac{2} {3} \right)^{2} \times\left( \frac{1} {3} \right)^{5}$$

C.$$\mathrm{C}_{7}^{4} \times\left( \frac{1} {3} \right)^{4} \times\left( \frac{2} {3} \right)^{3}$$

D.$$\mathrm{C}_{7}^{3} \times\left( \frac{1} {3} \right)^{3} \times\left( \frac{2} {3} \right)^{4}$$

2、['二项分布与n重伯努利试验'， '二项分布的期望和方差']

正确率60.0%现有一条零件生产线，每个零件达到优等品的概率均为$${{p}{，}}$$某检验员从该生产线上随机抽检$${{5}{0}}$$个零件，设其中优等品零件的个数为$${{X}}$$.若$$D ( X )=8，$$$$P ( X=2 0 ) < ~ P ( X=3 0 )，$$则$${{p}{=}}$$（）

A.$${{0}{.}{1}{6}}$$

B.$${{0}{.}{2}}$$

C.$${{0}{.}{8}}$$

D.$${{0}{.}{8}{4}}$$

3、['二项分布与n重伯努利试验'， '相互独立事件的概率']

正确率60.0%学校体育节的乒乓球决赛比赛正在进行中，小明必须再胜$${{2}}$$盘才最后获胜，小杰必须再胜$${{3}}$$盘才最后获胜，若两人每盘取胜的概率都是$$\frac{1} {2}，$$则小明连胜$${{2}}$$盘并最后获胜的概率是$${{(}{)}}$$

A.$$\frac{1} {4}$$

B.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {8}} \\ \end{array}$$

C.$$\frac{7} {1 6}$$

D.$$\frac{1 5} {3 2}$$

4、['二项分布与n重伯努利试验'， '二项分布的期望和方差']

正确率40.0%已知随机变量$${{ξ}{，}{η}}$$满足$$\xi+\eta=8，$$且$${{ξ}}$$服从二项分布$$\xi\sim B ~ ( 1 0， ~ 0. 6 ) ~ \，，$$则$${{E}{（}{η}{）}}$$和$${{D}{（}{η}{）}}$$的值分别是（）

A.$${{6}}$$和$${{2}{.}{4}}$$

B.$${{2}}$$和$${{2}{.}{4}}$$

C.$${{2}}$$和$${{5}{.}{6}}$$

D.$${{6}}$$和$${{5}{.}{6}}$$

5、['二项分布与n重伯努利试验'， '相互独立事件的概率']

正确率60.0%某射击爱好者射击一次命中目标的概率为$${{p}{，}}$$已知他连续射击三次，每次射击的结果相互独立，则他至少有一次命中目标的概率为$$\frac{3 7} {6 4}，$$则$${{p}}$$的值为（）

A.$$\frac{1} {4}$$

B.$$\frac{3} {4}$$

C.$$\frac{3 \sqrt{3}} {8}$$

D.$$\frac{\sqrt{3 7}} {8}$$

7、['二项分布与n重伯努利试验'， '互斥事件的概率加法公式']

正确率40.0%某校为了增强学生的记忆力和辨识力，组织了一场类似$${《}$$最强大脑$${》}$$的$${{P}{K}}$$赛，$${{A}{，}{B}}$$两队各由$${{4}}$$名选手组成，每局两队各派一名选手$${{P}{K}}$$，比赛四局．除第三局胜者得$${{2}}$$分外，其余各局胜者均得$${{1}}$$分，每局的负者得$${{0}}$$分，假设每局比赛$${{A}}$$队选手获胜的概率均为$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时$${{A}}$$队的得分高于$${{B}}$$队的得分的概率为$${{(}{)}}$$

A.$$\frac{1 6} {2 7}$$

B.$$\frac{5 2} {1 8}$$

C.$$\frac{2 0} {2 7}$$

D.$$\begin{array} {l l} {7} \\ {\frac{7} {9}} \\ \end{array}$$

8、['二项分布与n重伯努利试验']

正确率60.0%在某校篮球队的首轮选拔测试中，参加测试的$${{5}}$$名同学的投篮命中率分别为$$\frac{3} {5}， \ \frac{1} {2}， \ \frac{2} {3}， \ \frac{3} {4}， \ \frac{1} {3}，$$每人均有$${{1}{0}}$$次投篮机会，至少投中$${{6}}$$次才能晋级下一轮测试.假设每人每次投篮相互独立，则晋级下一轮的大约有（）

A.$${{2}}$$人

B.$${{3}}$$人

C.$${{4}}$$人

D.$${{5}}$$人

9、['二项分布与n重伯努利试验'， '相互独立事件的概率']

正确率60.0%投篮测试中，每人投$${{3}}$$次，至少投中$${{2}}$$次才算通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为$${{0}{.}{6}{，}}$$且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）

A.$$0. 6 4 8$$

B.$$0. 4 3 2$$

C.$${{0}{.}{3}{6}}$$

D.$$0. 3 1 2$$

10、['二项分布与n重伯努利试验']

正确率60.0%设随机变量$${{ξ}}$$～$$B ( 2， \ p )，$$若$$P ( \xi\geqslant1 )=\frac{5} {9}，$$则$${{p}}$$的值为（）

A.$$\frac{1} {4}$$

B.$$\frac{1} {3}$$

C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$

D.$$\frac{1 6} {2 7}$$

1. 解析：

首先，定义数列 $$\{a_n\}$$ 的取值规则为：$$a_n = -1$$ 表示摸到白球，$$a_n = 1$$ 表示摸到红球。由于有放回地摸球，每次摸到红球的概率为 $$\frac{2}{3}$$，摸到白球的概率为 $$\frac{1}{3}$$。

要求 $$S_7 = 3$$，即前7项的和为3。设其中有 $$k$$ 次摸到红球，则 $$7 - k$$ 次摸到白球，因此和为 $$k \cdot 1 + (7 - k) \cdot (-1) = 2k - 7 = 3$$，解得 $$k = 5$$。

所以需要恰好5次摸到红球，2次摸到白球，概率为 $$\mathrm{C}_7^5 \left(\frac{2}{3}\right)^5 \left(\frac{1}{3}\right)^2$$，对应选项 B。

2. 解析：

随机变量 $$X$$ 服从二项分布 $$B(50, p)$$，方差 $$D(X) = 50p(1 - p) = 8$$，解得 $$p(1 - p) = 0.16$$，即 $$p = 0.2$$ 或 $$p = 0.8$$。

由于 $$P(X = 20) < P(X = 30)$$，说明概率峰值偏向更大的 $$X$$，因此 $$p > 0.5$$，所以 $$p = 0.8$$，对应选项 C。

3. 解析：

小明需要连胜2盘获胜，概率为 $$\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$，对应选项 A。

4. 解析：

已知 $$\xi \sim B(10, 0.6)$$，则 $$E(\xi) = 6$$，$$D(\xi) = 2.4$$。

由 $$\eta = 8 - \xi$$，得 $$E(\eta) = 8 - E(\xi) = 2$$，$$D(\eta) = D(\xi) = 2.4$$，对应选项 B。

5. 解析：

至少命中一次的概率为 $$1 - (1 - p)^3 = \frac{37}{64}$$，解得 $$(1 - p)^3 = \frac{27}{64}$$，即 $$1 - p = \frac{3}{4}$$，所以 $$p = \frac{1}{4}$$，对应选项 A。

7. 解析：

A队得分高于B队的情况包括：A队赢3局或4局。由于第三局胜者得2分，需分类讨论：

1. A队赢第三局：总得分至少为4分（其余3局赢1局即可）。

2. A队不赢第三局：需赢其余3局。

计算概率为 $$\mathrm{C}_4^3 \left(\frac{2}{3}\right)^3 \left(\frac{1}{3}\right) + \left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{32}{81} + \frac{16}{81} = \frac{48}{81} = \frac{16}{27}$$，对应选项 A。

8. 解析：

每人晋级概率为投中6次及以上的概率，计算每位选手的晋级概率并求和：

1. $$\frac{3}{5}$$：$$\sum_{k=6}^{10} \mathrm{C}_{10}^k \left(\frac{3}{5}\right)^k \left(\frac{2}{5}\right)^{10 - k} \approx 0.633$$

2. $$\frac{1}{2}$$：$$\sum_{k=6}^{10} \mathrm{C}_{10}^k \left(\frac{1}{2}\right)^{10} \approx 0.377$$

3. $$\frac{2}{3}$$：$$\sum_{k=6}^{10} \mathrm{C}_{10}^k \left(\frac{2}{3}\right)^k \left(\frac{1}{3}\right)^{10 - k} \approx 0.787$$

4. $$\frac{3}{4}$$：$$\sum_{k=6}^{10} \mathrm{C}_{10}^k \left(\frac{3}{4}\right)^k \left(\frac{1}{4}\right)^{10 - k} \approx 0.922$$

5. $$\frac{1}{3}$$：$$\sum_{k=6}^{10} \mathrm{C}_{10}^k \left(\frac{1}{3}\right)^k \left(\frac{2}{3}\right)^{10 - k} \approx 0.073$$

总晋级人数期望为 $$0.633 + 0.377 + 0.787 + 0.922 + 0.073 \approx 2.8$$，大约为3人，对应选项 B。

9. 解析：

通过测试需投中2次或3次，概率为 $$\mathrm{C}_3^2 (0.6)^2 (0.4) + \mathrm{C}_3^3 (0.6)^3 = 0.432 + 0.216 = 0.648$$，对应选项 A。

10. 解析：

$$P(\xi \geq 1) = 1 - P(\xi = 0) = 1 - (1 - p)^2 = \frac{5}{9}$$，解得 $$(1 - p)^2 = \frac{4}{9}$$，即 $$1 - p = \frac{2}{3}$$，所以 $$p = \frac{1}{3}$$，对应选项 B。

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