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正确率40.0%甲乙两人进行乒乓球友谊赛，每局甲胜出的概率是$${{p}{(}{0}{<}{p}{<}{1}{)}{，}}$$采用三局两胜制，甲获胜的概率是$${{q}{，}}$$则当$${{q}{−}{p}}$$取得极大值时$${，{p}}$$的值为（）
C
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{1} {2}-\frac{\sqrt{3}} {6}$$
C.$$\frac{1} {2}+\frac{\sqrt{3}} {6}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
2、['二项分布与n重伯努利试验']正确率60.0%在$${{4}}$$次独立重复试验中，随机事件$${{A}}$$恰好发生$${{1}}$$次的概率不大于其恰好发生$${{2}}$$次的概率，则随机事件$${{A}}$$在$${{1}}$$次试验中发生的概率$${{p}}$$的取值范围是（）
A
A.$${{[}{{0}{.}{4}}{，}{1}{)}}$$
B.$${{(}{0}{，}{{0}{.}{4}}{]}}$$
C.$${{(}{0}{，}{{0}{.}{6}}{]}}$$
D.$${{[}{{0}{.}{6}}{，}{1}{)}}$$
3、['二项分布与n重伯努利试验']正确率60.0%设随机变量$${{X}}$$$${{∼}}$$$${{B}{(}{2}{，}{p}{)}{，}{Y}}$$$${{∼}}$$$${{B}{(}{4}{，}{p}{)}{，}}$$若$$P ( X \geqslant1 )=\frac{5} {9}，$$则$${{P}{(}{Y}{⩾}{2}{)}}$$的值为（）
B
A.$$\frac{3 2} {8 1}$$
B.$$\frac{1 1} {2 7}$$
C.$$\frac{6 5} {8 1}$$
D.$$\frac{1 6} {8 1}$$
4、['二项分布与n重伯努利试验'， '组合数及其性质']正确率60.0%如果$${{X}{B}{(}{{2}{0}}{，}{p}{)}}$$，当$${{p}{=}{1}{/}{2}}$$且$${{P}{(}{X}{=}{k}{)}}$$取得最大值时，$${{k}}$$的值是$${{(}{)}}$$
C
A.$${{8}}$$
B.$${{9}}$$
C.$${{1}{0}}$$
D.$${{1}{1}}$$
5、['二项分布与n重伯努利试验'， '分类加法计数原理']正确率60.0%已知在某项射击测试中，规定每人射击$${{3}}$$次，至少$${{2}}$$次击中$${{8}}$$环以上才能通过测试．若某运动员每次射击击中$${{8}}$$环以上的概率为$$\frac{2} {3}，$$且各次射击相互不影响，则该运动员通过测试的概率为（）
A
A.$$\frac{2 0} {2 7}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{4} {9}} \\ \end{array}$$
C.$$\frac{8} {2 7}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{6} {9}} \\ \end{array}$$
6、['二项分布与n重伯努利试验']正确率60.0%已知随机变量$$X \sim B \left( 2 0， \frac{1} {3} \right)$$，要使$${{P}{(}{X}{=}{k}{)}}$$的值最大，则$${{k}{=}}$$
B
A.$${{5}}$$或$${{6}}$$
B.$${{6}}$$或$${{7}}$$
C.$${{7}}$$
D.$${{7}}$$或$${{8}}$$
7、['二项分布与n重伯努利试验'， '二项分布的期望和方差']正确率60.0%已知随机变量$${{X}}$$服从二项分布$${{B}{（}{n}{，}{p}{）}}$$，若$${{E}{（}{X}{）}{=}{{3}{0}}{，}{D}{（}{X}{）}{=}{{2}{0}}}$$，则$${{n}{，}{p}}$$分别等于（）
C
A.$$n=4 5， \， \， \， p=\frac{2} {3}$$
B.$$n=4 5， \， \， \， p=\frac{1} {3}$$
C.$$n=9 0， \， \， \， p=\frac{1} {3}$$
D.$$n=9 0， \， \， \， p=\frac{2} {3}$$
8、['二项分布与n重伯努利试验']正确率60.0%某人抛掷一枚硬币，出现正反面的概率都是$$\frac{1} {2}，$$构造数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}{，}}$$使得$$a_{n}=\left\{\begin{array} {l l} {1，} \\ {-1，} \\ \end{array} \right.$$记$${{S}_{n}{=}{{a}_{1}}{+}{{a}_{2}}{+}{…}{{a}_{n}}{(}{n}{∈}{{N}_{+}}{)}}$$，则$${{S}_{4}{=}{2}}$$的概率为（）
C
A.$$\frac{1} {1 6}$$
B.$$\frac{1} {8}$$
C.$$\frac{1} {4}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
10、['二项分布与n重伯努利试验'， '互斥事件的概率加法公式']正确率60.0%某人射击一次击中的概率为$${{0}{.}{6}}$$，经过$${{3}}$$次射击，此人至少有两次击中目标的概率为$${{(}{)}}$$
A
A.$${\frac{8 1} {1 2 5}}$$
B.$$\frac{5 4} {1 2 5}$$
C.$$\frac{3 6} {1 2 5}$$
D.$$\frac{2 7} {1 2 5}$$
1. 甲获胜的情况有两种：2-0 或 2-1。因此，$$q = p^2 + 2p^2(1-p) = 3p^2 - 2p^3$$。求 $$q - p = 3p^2 - 2p^3 - p$$ 的极大值，对 $$p$$ 求导并令导数为零：
2. 根据题意，$$C_4^1 p(1-p)^3 \leq C_4^2 p^2(1-p)^2$$。化简得：
3. 由 $$X \sim B(2, p)$$，$$P(X \geq 1) = 1 - (1-p)^2 = \frac{5}{9}$$，解得 $$p = \frac{1}{3}$$。对于 $$Y \sim B(4, p)$$，计算 $$P(Y \geq 2)$$：
4. 对于 $$X \sim B(20, \frac{1}{2})$$，二项分布的概率最大值出现在 $$k = np = 10$$ 附近，因此 $$k = 10$$ 时概率最大，故选 C。
5. 运动员通过测试的概率为恰好 2 次或 3 次击中 8 环以上的概率：
6. 对于 $$X \sim B(20, \frac{1}{3})$$，概率最大值出现在 $$k = \lfloor (n+1)p \rfloor = \lfloor 21 \times \frac{1}{3} \rfloor = 7$$，因此 $$k = 7$$ 时概率最大，故选 C。
7. 由二项分布的期望和方差公式：
8. $$S_4 = 2$$ 表示 4 次抛掷中有 3 次正面和 1 次反面，概率为 $$C_4^3 \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{4}$$，故选 C。
10. 至少有两次击中目标的概率为：