二项分布的期望和方差-7.4 二项分布与超几何分布知识点课后基础自测题解析-黑龙江省等高三数学选择必修,平均正确率60.0%

1、['二项分布的期望和方差']

正确率80.0%已知随机变量$$X \sim B ( 2 0， \ p )，$$且$$E \left( X \right)=6，$$则$${{D}{{(}{X}{)}}{=}}$$（）

A.$${{1}{.}{8}}$$

B.$${{6}}$$

C.$${{2}{.}{1}}$$

D.$${{4}{.}{2}}$$

2、['二项分布的期望和方差']

正确率60.0%已知随机变量$${{X}}$$～$$B ( n， \ p )，$$且$$E ( X )=9， \， \， \， D ( X )=\frac{9} {4}，$$则$${{n}{=}}$$（）

A.$${{3}}$$

B.$${{6}}$$

C.$${{9}}$$

D.$${{1}{2}}$$

3、['二项分布与n重伯努利试验'， '二项分布的期望和方差']

正确率60.0%现有一条零件生产线，每个零件达到优等品的概率均为$${{p}{，}}$$某检验员从该生产线上随机抽检$${{5}{0}}$$个零件，设其中优等品零件的个数为$${{X}}$$.若$$D ( X )=8，$$$$P ( X=2 0 ) < ~ P ( X=3 0 )，$$则$${{p}{=}}$$（）

A.$${{0}{.}{1}{6}}$$

B.$${{0}{.}{2}}$$

C.$${{0}{.}{8}}$$

D.$${{0}{.}{8}{4}}$$

4、['二项分布的期望和方差'， '离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差的性质'， '离散型随机变量的方差、标准差'， '离散型随机变量的均值的性质']

正确率40.0%一台仪器每启动一次都随机地出现一个$${{3}}$$位的二进制数$$A=\boxed{a_{1}} ~ ~ \boxed{a_{2}} ~ ~ \boxed{a_{3}}$$，其中$${{A}}$$的各位数字中，$$a_{k} \left( k=1， 2， 3 \right)$$出现$${{0}}$$的概率为$$\frac{1} {3}，$$出现$${{1}}$$的概率为$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$.若启动一次出现的数字为$${{1}{0}{0}{，}}$$则称这次试验成功.若成功一次得$${{2}}$$分，失败一次得$${{−}{1}}$$分，则$${{8}{1}}$$次这样的重复试验的总得分$${{X}}$$的数学期望和方差分别为（）

A.$$- 6 3， ~ \frac{5 0} {9}$$

B.$${{−}{{6}{3}}{，}{{5}{0}}}$$

C.$$6， ~ \frac{5 0} {9}$$

D.$${{6}{，}{{5}{0}}}$$

5、['二项分布的期望和方差'， '二项分布与正态曲线'， '正态曲线的性质']

正确率60.0%一块试验田中某种作物$${{1}}$$株生长的果实个数$$x \sim N ( 9 0， ~ \sigma^{2} )，$$且$$P ( x < ~ 7 0 )=0. 2，$$从该试验田中随机抽取$${{1}{0}}$$株作物，果实个数在$$[ 9 0， ~ 1 1 0 ]$$内的株数记作随机变量$${{X}{，}}$$且$${{X}}$$服从二项分布，则$${{X}}$$的方差为（）

A.$${{3}}$$

B.$${{2}{.}{1}}$$

C.$${{0}{.}{3}}$$

D.$${{0}{.}{2}{1}}$$

6、['二项分布的期望和方差']

正确率60.0%已知$$X \sim B ( n， p )$$且$$E ( \ 3 x+2 )=9. 2， \ D ( 3 x+2 )=1 2. 9 6$$，则$${{(}{)}}$$

A.$$n=4， ~ p=0. 6$$

B.$$n=6， ~ p=0. 4$$

C.$$n=8， ~ p=0. 3$$

D.$$n=2 4， \; \; p=0. 1$$

7、['二项分布与n重伯努利试验'， '二项分布的期望和方差']

正确率60.0%已知随机变量$${{X}}$$服从二项分布$$B \left( n， \ p \right)$$，若$$E ~ ( \mathrm{\ensuremath{X}} ) ~=5 0， ~ ~ D ~ ( \mathrm{\ensuremath{X}} ) ~=3 0$$，则$${{n}{，}{p}}$$分别等于（）

A.$$n=1 0 0， \， \， p=\frac{3} {5}$$

B.$$n=1 0 0， \， \， p=\frac{2} {5}$$

C.$$n=1 2 5， \， \， \， p=\frac{2} {5}$$

D.$$n=1 2 5， \， \， \， p=\frac{3} {5}$$

8、['二项分布与n重伯努利试验'， '二项分布的期望和方差'， '相互独立事件的概率']

正确率60.0%假设东莞市市民使用移动支付的概率都为$${{p}}$$，且每位市民使用支付方式都是相互独立的，已知$${{X}}$$是其中$${{1}{0}}$$位市民使用移动支付的人数，且$${{E}{X}{=}{6}}$$，则$${{p}}$$的值为（）

A.$${{0}{.}{4}}$$

B.$${{0}{.}{5}}$$

C.$${{0}{.}{6}}$$

D.$${{0}{.}{8}}$$

9、['二项分布的期望和方差'， '离散型随机变量的均值或数学期望'， '相互独立事件的概率']

正确率60.0%某日$${{A}{，}{B}}$$两个沿海城市受台风袭击的概率相同，已知$${{A}}$$市或$${{B}}$$市至少有一个受台风袭击的概率为$${{0}{.}{3}{6}}$$，若用$${{X}}$$表示这一天受台风袭击的城市个数，则$$E ( X )=$$（）

A.$${{0}{.}{1}}$$

B.$${{0}{.}{2}}$$

C.$${{0}{.}{3}}$$

D.$${{0}{.}{4}}$$

10、['二项分布的期望和方差'， '离散型随机变量的方差的性质'， '离散型随机变量的均值的性质']

正确率60.0%已知随机变量$$X+Y=8$$，若$$X \sim B ( 1 0， 0. 6 )$$，则$$E ( Y )， ~ D ( Y )$$分别是（）

A.$${{6}}$$和$${{2}{.}{4}}$$

B.$${{6}}$$和$${{5}{.}{6}}$$

C.$${{2}}$$和$${{5}{.}{6}}$$

D.$${{2}}$$和$${{2}{.}{4}}$$

1. 已知随机变量$$X \sim B(20, p)$$，且$$E(X)=6$$，求$$D(X)$$。

解析：对于二项分布$$X \sim B(n, p)$$，期望$$E(X) = np$$，方差$$D(X) = np(1-p)$$。由题意得： $$np = 20p = 6 \Rightarrow p = 0.3$$ 因此方差为： $$D(X) = 20 \times 0.3 \times 0.7 = 4.2$$ 答案：D。

2. 已知随机变量$$X \sim B(n, p)$$，且$$E(X)=9$$，$$D(X)=\frac{9}{4}$$，求$$n$$。

解析：根据二项分布的性质： $$E(X) = np = 9$$ $$D(X) = np(1-p) = \frac{9}{4}$$ 将$$np = 9$$代入方差公式： $$9(1-p) = \frac{9}{4} \Rightarrow 1-p = \frac{1}{4} \Rightarrow p = \frac{3}{4}$$ 再代入期望公式： $$n \times \frac{3}{4} = 9 \Rightarrow n = 12$$ 答案：D。

3. 已知$$X \sim B(50, p)$$，$$D(X)=8$$，且$$P(X=20) < P(X=30)$$，求$$p$$。

解析：首先计算方差： $$D(X) = 50p(1-p) = 8$$ 解得： $$50p(1-p) = 8 \Rightarrow p(1-p) = 0.16$$ 解得$$p = 0.2$$或$$p = 0.8$$。由于$$P(X=20) < P(X=30)$$，说明概率峰值偏向较大的$$X$$，因此$$p > 0.5$$，故$$p = 0.8$$。答案：C。

4. 计算81次试验的总得分$$X$$的数学期望和方差。

解析：每次试验成功的概率为： $$P(100) = P(a_1=1) \times P(a_2=0) \times P(a_3=0) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{27}$$ 设$$Y$$为单次试验的得分，则： $$Y = \begin{cases} 2, & \text{成功} \\ -1, & \text{失败} \end{cases}$$ 单次期望： $$E(Y) = 2 \times \frac{2}{27} + (-1) \times \frac{25}{27} = \frac{4}{27} - \frac{25}{27} = -\frac{21}{27} = -\frac{7}{9}$$ 单次方差： $$E(Y^2) = 4 \times \frac{2}{27} + 1 \times \frac{25}{27} = \frac{33}{27} = \frac{11}{9}$$ $$D(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2 = \frac{11}{9} - \left(-\frac{7}{9}\right)^2 = \frac{11}{9} - \frac{49}{81} = \frac{50}{81}$$ 总得分$$X = 81Y$$，因此： $$E(X) = 81 \times E(Y) = 81 \times \left(-\frac{7}{9}\right) = -63$$ $$D(X) = 81 \times D(Y) = 81 \times \frac{50}{81} = 50$$ 答案：B。

5. 计算$$X$$的方差。

解析：$$x \sim N(90, \sigma^2)$$，且$$P(x < 70) = 0.2$$。由正态分布对称性： $$P(90 \leq x \leq 110) = P(70 \leq x \leq 110) / 2 = (1 - 2 \times 0.2) / 2 = 0.3$$ 因此$$X \sim B(10, 0.3)$$，方差为： $$D(X) = 10 \times 0.3 \times 0.7 = 2.1$$ 答案：B。

6. 已知$$X \sim B(n, p)$$且$$E(3X+2)=9.2$$，$$D(3X+2)=12.96$$，求$$n$$和$$p$$。

解析：由期望线性性质： $$E(3X+2) = 3E(X) + 2 = 9.2 \Rightarrow E(X) = \frac{7.2}{3} = 2.4$$ 由方差线性性质： $$D(3X+2) = 9D(X) = 12.96 \Rightarrow D(X) = 1.44$$ 对于二项分布： $$E(X) = np = 2.4$$ $$D(X) = np(1-p) = 1.44$$ 解得： $$1-p = \frac{1.44}{2.4} = 0.6 \Rightarrow p = 0.4$$ $$n = \frac{2.4}{0.4} = 6$$ 答案：B。

7. 已知$$X \sim B(n, p)$$，$$E(X)=50$$，$$D(X)=30$$，求$$n$$和$$p$$。

解析：由二项分布性质： $$E(X) = np = 50$$ $$D(X) = np(1-p) = 30$$ 解得： $$1-p = \frac{30}{50} = 0.6 \Rightarrow p = 0.4$$ $$n = \frac{50}{0.4} = 125$$ 答案：C。

8. 已知$$X \sim B(10, p)$$且$$E(X)=6$$，求$$p$$。

解析：由期望公式： $$E(X) = 10p = 6 \Rightarrow p = 0.6$$ 答案：C。

9. 计算$$E(X)$$。

解析：设$$P(A) = P(B) = p$$，且$$P(A \cup B) = 0.36$$。由概率公式： $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 2p - p^2 = 0.36$$ 解得： $$p^2 - 2p + 0.36 = 0 \Rightarrow p = 0.2$$ $$X$$的可能取值为0, 1, 2，其分布为： $$P(X=0) = (1-p)^2 = 0.64$$ $$P(X=1) = 2p(1-p) = 0.32$$ $$P(X=2) = p^2 = 0.04$$ 期望： $$E(X) = 0 \times 0.64 + 1 \times 0.32 + 2 \times 0.04 = 0.4$$ 答案：D。

10. 已知$$X+Y=8$$且$$X \sim B(10, 0.6)$$，求$$E(Y)$$和$$D(Y)$$。

解析：由线性关系： $$Y = 8 - X$$ 因此： $$E(Y) = 8 - E(X) = 8 - 10 \times 0.6 = 2$$ $$D(Y) = D(X) = 10 \times 0.6 \times 0.4 = 2.4$$ 答案：D。

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