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正确率60.0%随机变量$${{X}}$$的分布列为
| $${{X}}$$ | $${{0}}$$ | $${{1}}$$ | $${{2}}$$ |
| $${{P}}$$ | $${{a}}$$ | $$\frac{b} {2}$$ | $$\frac{b} {2}$$ |
C
A.$${{a}{+}{b}{=}{1}}$$
B.$$E ( X )=\frac{3 b} {2}$$
C.$${{D}{(}{X}{)}}$$随$${{b}}$$的增大而减小
D.$${{D}{(}{X}{)}}$$有最大值
2、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率40.0%已知$${{0}{<}{k}{<}{1}{，}{0}{<}{x}{<}{1}{，}}$$随机变量$${{X}}$$的分布列为
| $${{X}}$$ | $${{0}}$$ | $${{2}{x}}$$ | $${{4}{\sqrt {{1}{−}{{x}^{2}}}}}$$ |
| $${{P}}$$ | $${{k}}$$ | $$\frac{1} {2}$$ | $$\frac{1} {4}$$ |
A
A.$${{1}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{9}{−}{\sqrt {2}}}$$
3、['离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率60.0%已知$$0 < a < \frac{1} {2}，$$随机变量$${{ξ}}$$的分布列如下表：
| $${{ξ}}$$ | $${{−}{1}}$$ | $${{0}}$$ | $${{1}}$$ |
| $${{P}}$$ | $$\frac{1} {2}$$ | $$\frac{1} {2}-a$$ | $${{a}}$$ |
D
A.$${{E}{(}{ξ}{)}}$$减小$${，{D}{(}{ξ}{)}}$$减小
B.$${{E}{(}{ξ}{)}}$$减小$${，{D}{(}{ξ}{)}}$$增大
C.$${{E}{(}{ξ}{)}}$$增大$${，{D}{(}{ξ}{)}}$$减小
D.$${{E}{(}{ξ}{)}}$$增大$${，{D}{(}{ξ}{)}}$$增大
4、['离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率60.0%已知随机变量$${{ξ}}$$的分布列为
| $${{ξ}}$$ | $${{1}}$$ | $${{2}}$$ | $${{3}}$$ | $${{4}}$$ |
| $${{P}}$$ | $$\frac{1} {4}$$ | $$\frac{1} {3}$$ | $$\frac{1} {6}$$ | $$\frac{1} {4}$$ |
C
A.$$\frac{2 9} {1 2}$$
B.$$\frac{1 2 1} {1 4 4}$$
C.$$\frac{1 7 9} {1 4 4}$$
D.$$\frac{1 7} {1 2}$$
5、['离散型随机变量的方差的性质'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率40.0%设数据$${{a}_{1}{，}{{a}_{2}}{，}{{a}_{3}}{，}{{a}_{4}}{，}{{a}_{5}}}$$的方差为$${{1}}$$，则数据$${{2}{{a}_{1}}{+}{1}{，}{2}{{a}_{2}}{+}{1}{，}{2}{{a}_{3}}{+}{1}{，}{2}{{a}_{4}}{+}{1}{，}{2}{{a}_{5}}{+}{1}}$$的方差为
C
A.$${{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{5}}$$
6、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的方差的性质'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率60.0%甲$${、}$$乙两人对目标各射击一次，甲命中目标的概率为$$\frac{2} {3}，$$乙命中目标的概率为$$\frac{4} {5}，$$若命中目标的人数为$${{X}}$$，则$${{D}{(}{X}{)}}$$等于$${{(}{)}}$$
B
A.$$\frac{8 5} {2 2 5}$$
B.$$\frac{8 6} {2 2 5}$$
C.$$\frac{8 8} {2 2 5}$$
D.$$\frac{8 9} {2 2 5}$$
7、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率40.0%若随机变量$${{X}}$$的分布列为（）
| $${{X}}$$ | $${{0}}$$ | $${{1}}$$ | $${{2}}$$ |
| $${{P}}$$ | $$\frac{1} {3}$$ | $${{a}}$$ | $${{b}}$$ |
D
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$${{0}}$$
C.$${{1}}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
8、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率60.0%已知$${{a}{，}{b}{∈}{R}}$$，随机变量$${{ξ}}$$满足$${{P}{(}{ξ}{=}{x}{)}{=}{a}{x}{+}{b}}$$，其中$${{x}{=}{−}{1}{，}{0}{，}{1}}$$，若$$E ( \xi)=\frac{1} {3}$$，则$${{[}{E}{(}{ξ}{)}{]}^{2}{+}{D}{(}{ξ}{)}{=}}$$（）
B
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
C.$${{1}}$$
D.$$\frac{4} {3}$$
9、['离散型随机变量的方差、标准差']正确率60.0%已知离散型随机变量$${{X}}$$的分布列为
| $${{X}}$$ | $${{1}}$$ | $${{2}}$$ | $${{3}}$$ | $${{4}}$$ |
| $${{P}}$$ | $$\frac{1} {4}$$ | $$\frac{1} {3}$$ | $$\frac{1} {6}$$ | $$\frac{1} {4}$$ |
C
A.$$\frac{2 9} {1 2}$$
B.$$\frac{3 1} {1 4 4}$$
C.$$\frac{1 7 9} {1 4 4}$$
D.$$\frac{1 7} {1 2}$$
10、['两点分布的数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差'， '两点分布的定义']正确率60.0%设随机变量$${{X}}$$的概率分布列为$${{P}{(}{X}{=}{k}{)}}$$$$= p^{k} \cdot( 1-p )^{1-k}$$$${{(}{k}{=}{0}{，}{1}{)}{，}}$$则$${{E}{(}{X}{)}{，}{D}{(}{X}{)}}$$的值分别是（）
D
A.$${{0}}$$和$${{1}}$$
B.$${{p}}$$和$${{p}^{2}}$$
C.$${{p}}$$和$${{1}{−}{p}}$$
D.$${{p}}$$和$${{p}{(}{1}{−}{p}{)}}$$
1. 解析：
根据分布列的性质，$$a + \frac{b}{2} + \frac{b}{2} = a + b = 1$$，故选项 A 正确。
期望 $$E(X) = 0 \cdot a + 1 \cdot \frac{b}{2} + 2 \cdot \frac{b}{2} = \frac{3b}{2}$$，故选项 B 正确。
方差 $$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \left(0^2 \cdot a + 1^2 \cdot \frac{b}{2} + 2^2 \cdot \frac{b}{2}\right) - \left(\frac{3b}{2}\right)^2 = \frac{5b}{2} - \frac{9b^2}{4}$$。
对 $$D(X)$$ 关于 $$b$$ 求导得 $$\frac{dD(X)}{db} = \frac{5}{2} - \frac{9b}{2}$$，当 $$0 < b < \frac{5}{9}$$ 时，导数大于 0，$$D(X)$$ 随 $$b$$ 增大而增大；当 $$\frac{5}{9} < b < 1$$ 时，导数小于 0，$$D(X)$$ 随 $$b$$ 增大而减小。因此选项 C 不完全正确。
当 $$b = \frac{5}{9}$$ 时，$$D(X)$$ 取得最大值，故选项 D 正确。
综上，不正确的是 C。
2. 解析：
首先根据概率分布列的性质，$$k + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = 1$$，解得 $$k = \frac{1}{4}$$。
期望 $$E(X) = 0 \cdot \frac{1}{4} + 2x \cdot \frac{1}{2} + 4\sqrt{1 - x^2} \cdot \frac{1}{4} = x + \sqrt{1 - x^2}$$。
令 $$f(x) = x + \sqrt{1 - x^2}$$，求导得 $$f'(x) = 1 - \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$$，令导数为 0，解得 $$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$。
此时 $$E(X)$$ 取最大值 $$\frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{2}$$。
计算方差：
$$E(X^2) = 0^2 \cdot \frac{1}{4} + (2x)^2 \cdot \frac{1}{2} + \left(4\sqrt{1 - x^2}\right)^2 \cdot \frac{1}{4} = 2x^2 + 4(1 - x^2) = 4 - 2x^2$$。
当 $$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ 时，$$E(X^2) = 4 - 2 \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 3$$。
方差 $$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 3 - (\sqrt{2})^2 = 1$$。
答案为 A。
3. 解析：
期望 $$E(ξ) = (-1) \cdot \frac{1}{2} + 0 \cdot \left(\frac{1}{2} - a\right) + 1 \cdot a = -\frac{1}{2} + a$$。
随着 $$a$$ 增大，$$E(ξ)$$ 增大。
方差 $$D(ξ) = E(ξ^2) - [E(ξ)]^2 = \left((-1)^2 \cdot \frac{1}{2} + 0^2 \cdot \left(\frac{1}{2} - a\right) + 1^2 \cdot a\right) - \left(-\frac{1}{2} + a\right)^2 = \frac{1}{2} + a - \left(\frac{1}{4} - a + a^2\right) = \frac{1}{4} + a - a^2$$。
对 $$D(ξ)$$ 关于 $$a$$ 求导得 $$\frac{dD(ξ)}{da} = 1 - 2a$$，当 $$0 < a < \frac{1}{2}$$ 时，导数大于 0，$$D(ξ)$$ 随 $$a$$ 增大而增大。
综上，答案为 D。
4. 解析：
首先计算期望 $$E(ξ) = 1 \cdot \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{1}{3} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4} + \frac{2}{3} + \frac{1}{2} + 1 = \frac{29}{12}$$。
然后计算 $$E(ξ^2) = 1^2 \cdot \frac{1}{4} + 2^2 \cdot \frac{1}{3} + 3^2 \cdot \frac{1}{6} + 4^2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4} + \frac{4}{3} + \frac{3}{2} + 4 = \frac{85}{12}$$。
方差 $$D(ξ) = E(ξ^2) - [E(ξ)]^2 = \frac{85}{12} - \left(\frac{29}{12}\right)^2 = \frac{85}{12} - \frac{841}{144} = \frac{179}{144}$$。
答案为 C。
5. 解析：
设原数据 $$a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$$ 的方差为 1。
新数据 $$2a_1 + 1, 2a_2 + 1, 2a_3 + 1, 2a_4 + 1, 2a_5 + 1$$ 的方差为 $$2^2 \cdot 1 = 4$$（线性变换后方差为系数的平方倍）。
答案为 C。
6. 解析：
设甲命中目标的概率 $$p_1 = \frac{2}{3}$$，乙命中目标的概率 $$p_2 = \frac{4}{5}$$。
$$X$$ 的可能取值为 0, 1, 2。
$$P(X=0) = (1 - p_1)(1 - p_2) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{15}$$；
$$P(X=1) = p_1(1 - p_2) + (1 - p_1)p_2 = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5} + \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{6}{15}$$；
$$P(X=2) = p_1 p_2 = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{8}{15}$$。
期望 $$E(X) = 0 \cdot \frac{1}{15} + 1 \cdot \frac{6}{15} + 2 \cdot \frac{8}{15} = \frac{22}{15}$$；
$$E(X^2) = 0^2 \cdot \frac{1}{15} + 1^2 \cdot \frac{6}{15} + 2^2 \cdot \frac{8}{15} = \frac{38}{15}$$；
方差 $$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{38}{15} - \left(\frac{22}{15}\right)^2 = \frac{86}{225}$$。
答案为 B。
7. 解析：
根据概率分布列的性质，$$\frac{1}{3} + a + b = 1$$，即 $$a + b = \frac{2}{3}$$。
期望 $$E(X) = 0 \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot a + 2 \cdot b = a + 2b = 1$$。
联立解得 $$a = \frac{1}{3}$$，$$b = \frac{1}{3}$$。
方差 $$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \left(0^2 \cdot \frac{1}{3} + 1^2 \cdot \frac{1}{3} + 2^2 \cdot \frac{1}{3}\right) - 1^2 = \frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3}$$。
答案为 D。
8. 解析：
根据概率分布列的性质，$$P(ξ=-1) + P(ξ=0) + P(ξ=1) = (-a + b) + b + (a + b) = 3b = 1$$，解得 $$b = \frac{1}{3}$$。
期望 $$E(ξ) = (-1) \cdot (-a + b) + 0 \cdot b + 1 \cdot (a + b) = 2a + b = \frac{1}{3}$$，代入 $$b = \frac{1}{3}$$ 得 $$a = 0$$。
因此 $$P(ξ=-1) = \frac{1}{3}$$，$$P(ξ=0) = \frac{1}{3}$$，$$P(ξ=1) = \frac{1}{3}$$。
$$E(ξ^2) = (-1)^2 \cdot \frac{1}{3} + 0^2 \cdot \frac{1}{3} + 1^2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$；
方差 $$D(ξ) = E(ξ^2) - [E(ξ)]^2 = \frac{2}{3} - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{5}{9}$$。
所求 $$[E(ξ)]^2 + D(ξ) = \left(\frac{1}{3}\right)^2 + \frac{5}{9} = \frac{2}{3}$$。
答案为 B。
9. 解析：
与第 4 题相同，答案为 C。
10. 解析：
随机变量 $$X$$ 服从伯努利分布，$$P(X=1) = p$$，$$P(X=0) = 1 - p$$。
期望 $$E(X) = 1 \cdot p + 0 \cdot (1 - p) = p$$；
方差 $$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = p - p^2 = p(1 - p)$$。
答案为 D。