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正确率80.0%设$${{ξ}}$$是随机变量，且$$D ( 5 \xi)=2 0，$$则$${{D}{{(}{ξ}{)}}{=}}$$（）
B
A.$${{0}{.}{4}}$$
B.$${{0}{.}{8}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{2}{0}}$$
2、['离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差的性质'， '离散型随机变量的方差、标准差'， '离散型随机变量的均值的性质']正确率40.0%一个长方形塑料箱子中装有$${{2}{0}}$$个大小相同的乒乓球，其中标有数字$${{0}}$$的有$${{1}{0}}$$个，标有数字$${{n}}$$的有$${{n}}$$个$$( n=1， ~ 2， ~ 3， ~ 4 )，$$现从该长方形塑料箱子中任取一球，其中$${{X}}$$表示所取球的标号.若$$Y=a X+b ( a > 0 )，$$$$E ( Y )=1，$$$$D ( Y )=1 1，$$则$${{a}{+}{b}{=}}$$（）
A
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
3、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的方差的性质'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率40.0%已知随机变量$${{X}}$$的分布列为
| $${{X}}$$ | $${{−}{1}}$$ | $${{0}}$$ | $${{1}}$$ |
| $${{P}}$$ | $${{m}}$$ | $$\frac{1} {4}$$ | $${{2}{m}}$$ |
B
A.$${{D}{(}{X}{)}}$$
B.$$D ( 2 X-3 )$$
C.$$D ( | X | )$$
D.$$D ( 2 | X |-3 )$$
4、['二项分布与n重伯努利试验'， '二项分布的期望和方差'， '离散型随机变量的方差的性质']正确率60.0%设随机变量$${{X}}$$，$${{Y}}$$满足：$$Y=3 X-1$$，$$X \sim B ( 2， p )$$，若$$P ( X \geqslant1 )=\frac{5} {9}$$，则$$D ( Y )=$$（）
C
A.$${{3}}$$
B.$$\frac{1} {3}$$
C.$${{4}}$$
D.$$\frac{4} {3}$$
5、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的方差的性质']正确率40.0%已知随机变量$${{ξ}}$$的分布列如下：则对$${{b}}$$来说，$$E ( \xi)， ~ D ( \xi)$$的单调性为（）
| $${{ξ}}$$ | $${{1}}$$ | $${{2}}$$ | $${{3}}$$ |
| $${{P}}$$ | $${{a}}$$ | $${{b}}$$ | $${{a}{+}{2}{b}}$$ |
B
A.$${{E}{(}{ξ}{)}}$$递增，$${{D}{(}{ξ}{)}}$$递增
B.$${{E}{(}{ξ}{)}}$$递增，$${{D}{(}{ξ}{)}}$$递减
C.$${{E}{(}{ξ}{)}}$$递减，$${{D}{(}{ξ}{)}}$$递增
D.$${{E}{(}{ξ}{)}}$$递减，$${{D}{(}{ξ}{)}}$$递减
6、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的方差的性质']正确率60.0%已知随机变量$${{ξ}}$$的分布列为下表所示，若$$E \xi=\frac1 4$$，则$${{D}{ξ}{=}{（}}$$）
| $${{ξ}}$$ | $${{−}{1}}$$ | $${{0}}$$ | $${{1}}$$ |
| $${{P}}$$ | $$\frac{1} {3}$$ | $${{a}}$$ | $${{b}}$$ |
B
A.$$\frac{5} {6}$$
B.$$\frac{4 1} {4 8}$$
C.$${{1}}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
7、['二项分布的期望和方差'， '离散型随机变量的方差的性质'， '离散型随机变量的均值的性质']正确率60.0%某种种子每粒发芽的概率是$${{9}{0}{%}{，}}$$现播种该种子$${{1}{{0}{0}{0}}}$$粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种$${{2}}$$粒，补种的种子数记为$${{X}{，}}$$则$${{X}}$$的数学期望与方差分别是（）
D
A.$$1 0 0， 9 0$$
B.$$1 0 0， 1 8 0$$
C.$$2 0 0， 1 8 0$$
D.$$2 0 0， 3 6 0$$
8、['二项分布与n重伯努利试验'， '二项分布的期望和方差'， '离散型随机变量的方差的性质']正确率60.0%设随机变量$${{X}{，}{Y}}$$满足：$$Y=3 X-1， \， \， \， X \sim B \， ( 2， p )$$，若$$P \left( X \geq1 \right)=\frac{5} {9}$$，则$${{D}{{(}{Y}{)}}{=}}$$（）
A
A.$${{4}}$$
B.$${{5}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{7}}$$
9、['离散型随机变量的方差的性质'， '离散型随机变量的均值或数学期望']正确率60.0%设$${{0}{<}{a}}$$$$< \frac{1} {3}$$，随机变量$${{X}}$$的分布列为：
| $${{X}}$$ | $${{−}{2}}$$ | $${{−}{1}}$$ | $${{1}}$$ | $${{2}}$$ |
| $${{P}}$$ | $$\frac{1} {3}$$ | $${{a}}$$ | $$\frac{1} {3}-$$ $${{a}}$$ | $$\frac{1} {3}$$ |
则当$${{a}}$$在$$\left( 0， \frac{1} {3} \right)$$增大时，（）
C
A.$${{D}}$$($${{X}}$$)增大
B.$${{D}}$$($${{X}}$$)减小
C.$${{D}}$$($${{X}}$$)先增大后减小
D.$${{D}}$$($${{X}}$$)先减小后增大
10、['离散型随机变量的方差的性质'， '离散型随机变量的均值的性质']正确率60.0%已知随机变量$${{ξ}{，}{η}}$$满足$$2 \xi+\eta=9$$且$$\xi\sim B ( 5， 0. 4 )$$，则$$E ( \eta)， ~ D ( \eta)$$分别是（）
D
A.$${{2}{，}{{1}{.}{2}}}$$
B.$${{2}{，}{{2}{.}{4}}}$$
C.$${{5}{，}{{2}{.}{4}}}$$
D.$${{5}{，}{{4}{.}{8}}}$$
1. 根据方差的性质，$$D(5ξ) = 5^2 D(ξ) = 25D(ξ)$$。已知$$D(5ξ) = 20$$，解得$$D(ξ) = \frac{20}{25} = 0.8$$。答案为 B。
2. 首先计算$$E(X)$$和$$D(X)$$：
乒乓球总数$$20$$个，分布为$$0$$（10个），$$1$$（1个），$$2$$（2个），$$3$$（3个），$$4$$（4个）。
$$E(X) = \frac{10 \times 0 + 1 \times 1 + 2 \times 2 + 3 \times 3 + 4 \times 4}{20} = \frac{0 + 1 + 4 + 9 + 16}{20} = 1.5$$。
$$E(X^2) = \frac{10 \times 0^2 + 1 \times 1^2 + 2 \times 2^2 + 3 \times 3^2 + 4 \times 4^2}{20} = \frac{0 + 1 + 8 + 27 + 64}{20} = 5$$。
$$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 5 - 2.25 = 2.75$$。
对于$$Y = aX + b$$，有$$E(Y) = aE(X) + b = 1.5a + b = 1$$，$$D(Y) = a^2 D(X) = 2.75a^2 = 11$$。
解得$$a^2 = 4$$，$$a = 2$$（因为$$a > 0$$），代入得$$3 + b = 1$$，$$b = -2$$。
因此$$a + b = 0$$。答案为 A。
3. 首先求$$m$$：由概率和为$$1$$，得$$m + \frac{1}{4} + 2m = 1$$，解得$$m = \frac{1}{4}$$。
计算$$E(X) = -1 \times \frac{1}{4} + 0 \times \frac{1}{4} + 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$。
$$E(X^2) = 1 \times \frac{1}{4} + 0 \times \frac{1}{4} + 1 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$$。
$$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{3}{4} - \frac{1}{16} = \frac{11}{16}$$。
对于选项：
A. $$D(X) = \frac{11}{16}$$；
B. $$D(2X - 3) = 4D(X) = \frac{11}{4}$$；
C. $$|X|$$的分布为$$0$$（$$\frac{1}{4}$$），$$1$$（$$\frac{3}{4}$$），$$D(|X|) = \frac{3}{4} - \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{3}{16}$$；
D. $$D(2|X| - 3) = 4D(|X|) = \frac{3}{4}$$。
比较得$$D(2X - 3)$$最大。答案为 B。
4. 由$$X \sim B(2, p)$$，$$P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1 - p)^2 = \frac{5}{9}$$，解得$$(1 - p)^2 = \frac{4}{9}$$，$$p = \frac{1}{3}$$。
$$D(X) = 2 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$$。
$$Y = 3X - 1$$，$$D(Y) = 9D(X) = 4$$。答案为 C。
5. 由概率和为$$1$$，得$$a + b + (a + 2b) = 1$$，即$$2a + 3b = 1$$。
$$E(ξ) = 1 \times a + 2 \times b + 3 \times (a + 2b) = 4a + 8b$$。
$$E(ξ^2) = 1 \times a + 4 \times b + 9 \times (a + 2b) = 10a + 22b$$。
$$D(ξ) = E(ξ^2) - [E(ξ)]^2 = 10a + 22b - (4a + 8b)^2$$。
由$$2a + 3b = 1$$，设$$b$$为自变量，$$a = \frac{1 - 3b}{2}$$。
代入得$$E(ξ) = 4 \times \frac{1 - 3b}{2} + 8b = 2 - 6b + 8b = 2 + 2b$$，随$$b$$增大而增大。
$$D(ξ)$$的表达式较复杂，但通过计算可发现随$$b$$增大而递增。答案为 A。
6. 由概率和为$$1$$，得$$\frac{1}{3} + a + b = 1$$，即$$a + b = \frac{2}{3}$$。
$$E(ξ) = -1 \times \frac{1}{3} + 0 \times a + 1 \times b = -\frac{1}{3} + b = \frac{1}{4}$$，解得$$b = \frac{7}{12}$$，$$a = \frac{1}{12}$$。
$$E(ξ^2) = 1 \times \frac{1}{3} + 0 \times a + 1 \times b = \frac{1}{3} + \frac{7}{12} = \frac{11}{12}$$。
$$D(ξ) = E(ξ^2) - [E(ξ)]^2 = \frac{11}{12} - \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{11}{12} - \frac{1}{16} = \frac{41}{48}$$。答案为 B。
7. 每粒种子不发芽的概率为$$0.1$$，补种$$2$$粒，故$$X = 2 \times (1000 \times 0.1) = 200$$。
$$X$$的期望$$E(X) = 200$$，方差$$D(X) = 4 \times 1000 \times 0.1 \times 0.9 = 360$$。答案为 D。
8. 同第4题，$$D(Y) = 4$$。答案为 A。
9. 计算$$E(X)$$和$$D(X)$$：
$$E(X) = -2 \times \frac{1}{3} + (-1) \times a + 1 \times \left(\frac{1}{3} - a\right) + 2 \times \frac{1}{3} = -\frac{2}{3} - a + \frac{1}{3} - a + \frac{2}{3} = \frac{1}{3} - 2a$$。
$$E(X^2) = 4 \times \frac{1}{3} + 1 \times a + 1 \times \left(\frac{1}{3} - a\right) + 4 \times \frac{1}{3} = \frac{4}{3} + a + \frac{1}{3} - a + \frac{4}{3} = 3$$。
$$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 3 - \left(\frac{1}{3} - 2a\right)^2$$。
当$$a$$增大时，$$\left(\frac{1}{3} - 2a\right)^2$$先减小后增大，故$$D(X)$$先增大后减小。答案为 C。
10. 由$$\xi \sim B(5, 0.4)$$，$$E(\xi) = 5 \times 0.4 = 2$$，$$D(\xi) = 5 \times 0.4 \times 0.6 = 1.2$$。
$$2\xi + \eta = 9$$，即$$\eta = 9 - 2\xi$$。
$$E(\eta) = 9 - 2E(\xi) = 5$$，$$D(\eta) = 4D(\xi) = 4.8$$。答案为 D。