离散型随机变量的方差、标准差-7.3 离散型随机变量的数字特征知识点回顾进阶自测题解析-江苏省等高三数学选择必修,平均正确率55.99999999999999%

1. 解析：

首先根据概率分布列的性质，有 $$a + 2b + a = 1$$，即 $$2a + 2b = 1$$，化简得 $$a + b = \frac{1}{2}$$。

计算期望 $$E(X)$$ 和 $$E(X^2)$$：

$$E(X) = 1 \cdot a + 2 \cdot 2b + 3 \cdot a = a + 4b + 3a = 4a + 4b = 4(a + b) = 2$$

$$E(X^2) = 1^2 \cdot a + 2^2 \cdot 2b + 3^2 \cdot a = a + 8b + 9a = 10a + 8b$$

方差 $$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 10a + 8b - 4$$

由 $$a + b = \frac{1}{2}$$，代入得 $$D(X) = 10a + 8\left(\frac{1}{2} - a\right) - 4 = 10a + 4 - 8a - 4 = 2a$$

题目要求 $$D(bX) = b^2 D(X) = b^2 \cdot 2a$$

由 $$a + b = \frac{1}{2}$$，用 $$a = \frac{1}{2} - b$$ 代入得：

$$D(bX) = 2b^2 \left(\frac{1}{2} - b\right) = b^2 - 2b^3$$

求极值，对 $$f(b) = b^2 - 2b^3$$ 求导：

$$f'(b) = 2b - 6b^2$$，令导数为零，解得 $$b = 0$$ 或 $$b = \frac{1}{3}$$

代入 $$b = \frac{1}{3}$$ 得最大值：

$$D(bX) = \left(\frac{1}{3}\right)^2 - 2 \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{9} - \frac{2}{27} = \frac{1}{27}$$

因此，正确答案为 D。

2. 解析：

根据概率分布列的性质，有 $$\frac{1}{2} + a + b = 1$$，即 $$a + b = \frac{1}{2}$$。

计算期望 $$E(X)$$ 和 $$E(X^2)$$：

$$E(X) = a \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot a + 2 \cdot b = \frac{a}{2} + a + 2b = \frac{3a}{2} + 2b$$

$$E(X^2) = a^2 \cdot \frac{1}{2} + 1^2 \cdot a + 2^2 \cdot b = \frac{a^2}{2} + a + 4b$$

方差 $$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$$

由 $$a + b = \frac{1}{2}$$，用 $$b = \frac{1}{2} - a$$ 代入，化简得：

$$D(X) = -a^2 + a + \frac{1}{4}$$

因为 $$a$$ 和 $$b$$ 均为概率值，故 $$0 \leq a \leq \frac{1}{2}$$ 且 $$0 \leq b \leq \frac{1}{2}$$，即 $$0 \leq a \leq \frac{1}{2}$$

求 $$D(X)$$ 的取值范围：

$$D(X) = -a^2 + a + \frac{1}{4}$$ 在 $$a \in \left[0, \frac{1}{2}\right]$$ 上的取值范围为 $$\left(\frac{1}{16}, 1\right)$$

因此，正确答案为 D。

3. 解析：

已知 $$Y = aX + b$$，且 $$D(X) = 2$$，$$D(Y) = 8$$。

方差的性质有 $$D(Y) = a^2 D(X)$$，即 $$8 = a^2 \cdot 2$$，解得 $$a^2 = 4$$，故 $$a = 2$$（因为 $$a$$ 为正数）。

题目中未给出 $$b$$ 的具体值，因此无法确定 $$b$$ 的取值。

因此，正确答案为 C。

4. 解析：

计算期望 $$E(\xi)$$：

$$E(\xi) = (-1) \cdot \frac{1}{2} + 0 \cdot \left(\frac{1}{2} - a\right) + 1 \cdot a = -\frac{1}{2} + a$$

随着 $$a$$ 增大，$$E(\xi)$$ 增大。

计算方差 $$D(\xi)$$：

$$E(\xi^2) = (-1)^2 \cdot \frac{1}{2} + 0^2 \cdot \left(\frac{1}{2} - a\right) + 1^2 \cdot a = \frac{1}{2} + a$$

$$D(\xi) = E(\xi^2) - [E(\xi)]^2 = \frac{1}{2} + a - \left(-\frac{1}{2} + a\right)^2 = \frac{1}{2} + a - \frac{1}{4} + a - a^2 = \frac{1}{4} + 2a - a^2$$

对 $$D(\xi)$$ 关于 $$a$$ 求导：

$$\frac{dD(\xi)}{da} = 2 - 2a$$，在 $$0 < a < \frac{1}{2}$$ 上导数为正，故 $$D(\xi)$$ 随 $$a$$ 增大而增大。

因此，正确答案为 D。

5. 解析：

计算期望 $$E(\xi)$$ 和 $$E(\xi^2)$$：

$$E(\xi) = 1 \cdot p + 2 \cdot (0.5 - p) + 3 \cdot (0.5 - p) + 4 \cdot p = p + 1 - 2p + 1.5 - 3p + 4p = 2.5$$

$$E(\xi^2) = 1^2 \cdot p + 2^2 \cdot (0.5 - p) + 3^2 \cdot (0.5 - p) + 4^2 \cdot p = p + 2 - 4p + 4.5 - 9p + 16p = 6.5 + 4p$$

方差 $$D(\xi) = E(\xi^2) - [E(\xi)]^2 = 6.5 + 4p - 6.25 = 0.25 + 4p$$

显然，$$D(\xi)$$ 随 $$p$$ 增大而增大。

因此，正确答案为 A。

6. 解析：

计算期望 $$E(\xi)$$ 和 $$E(\xi^2)$$：

$$E(\xi) = 1 \cdot \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{1}{3} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4} + \frac{2}{3} + \frac{1}{2} + 1 = \frac{29}{12}$$

$$E(\xi^2) = 1^2 \cdot \frac{1}{4} + 2^2 \cdot \frac{1}{3} + 3^2 \cdot \frac{1}{6} + 4^2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4} + \frac{4}{3} + \frac{3}{2} + 4 = \frac{79}{12}$$

方差 $$D(\xi) = E(\xi^2) - [E(\xi)]^2 = \frac{79}{12} - \left(\frac{29}{12}\right)^2 = \frac{79}{12} - \frac{841}{144} = \frac{179}{144}$$

因此，正确答案为 C。

7. 解析：

已知 $$X \sim B(2, p)$$，且 $$P(X \geq 1) = \frac{5}{9}$$。

计算 $$P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1 - p)^2 = \frac{5}{9}$$，解得 $$(1 - p)^2 = \frac{4}{9}$$，故 $$p = \frac{1}{3}$$。

二项分布的方差 $$D(X) = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$$

$$D(3X + 1) = 3^2 \cdot D(X) = 9 \cdot \frac{4}{9} = 4$$

因此，正确答案为 B。

8. 解析：

根据概率分布列的性质，有 $$p + 2p + 3p + \ldots + np = 1$$，即 $$p(1 + 2 + 3 + \ldots + n) = 1$$。

等差数列求和得 $$p \cdot \frac{n(n + 1)}{2} = 1$$，故 $$p = \frac{2}{n(n + 1)}$$。

计算期望 $$E(\xi)$$ 和 $$E(\xi^2)$$：

$$E(\xi) = \sum_{k=1}^n k \cdot kp = p \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{2}{n(n + 1)} \cdot \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} = \frac{2n + 1}{3}$$

$$E(\xi^2) = \sum_{k=1}^n k^2 \cdot kp = p \sum_{k=1}^n k^3 = \frac{2}{n(n + 1)} \cdot \left(\frac{n(n + 1)}{2}\right)^2 = \frac{n(n + 1)}{2}$$

方差 $$D(\xi) = E(\xi^2) - [E(\xi)]^2 = \frac{n(n + 1)}{2} - \left(\frac{2n + 1}{3}\right)^2$$

题目中未给出具体 $$n$$ 的值，但根据选项推断，当 $$n = 2$$ 时：

$$D(\xi) = 3 - \left(\frac{5}{3}\right)^2 = 3 - \frac{25}{9} = \frac{2}{9}$$

$$E\left(\frac{1}{\xi}\right) = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \cdot kp = p \cdot n = \frac{2}{n + 1}$$

当 $$n = 2$$ 时，$$E\left(\frac{1}{\xi}\right) = \frac{2}{3}$$

题目描述不完整，但根据选项推断，正确答案为 A。

9. 解析：

根据概率分布列的性质，有 $$\frac{1}{6} + a + b = 1$$，即 $$a + b = \frac{5}{6}$$。

计算期望 $$E(X) = 0 \cdot \frac{1}{6} + 1 \cdot a + 2 \cdot b = a + 2b = \frac{7}{6}$$

联立方程组：

$$\begin{cases} a + b = \frac{5}{6} \\ a + 2b = \frac{7}{6} \end{cases}$$

解得 $$b = \frac{1}{3}$$，$$a = \frac{1}{2}$$

计算 $$E(X^2) = 0^2 \cdot \frac{1}{6} + 1^2 \cdot \frac{1}{2} + 2^2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{2} + \frac{4}{3} = \frac{11}{6}$$

方差 $$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{11}{6} - \left(\frac{7}{6}\right)^2 = \frac{11}{6} - \frac{49}{36} = \frac{17}{36}$$

因此，正确答案为 B。

10. 解析：

已知 $$\xi \sim N(2, 2)$$，则 $$D(\xi) = 2$$。

方差的性质有 $$D\left(\frac{1}{2}\xi\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 D(\xi) = \frac{1}{4} \cdot 2 = \frac{1}{2}$$

因此，正确答案为 C。