离散型随机变量的均值或数学期望-离散型随机变量的数字特征知识点课后进阶单选题自测题答案-新疆维吾尔自治区等高三数学选择必修,平均正确率55.99999999999999%

1、['离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差']

正确率60.0%已知随机变量$${{X}}$$满足$${{E}{(}{2}{X}{−}{1}{)}{=}{3}{，}{D}{(}{2}{X}{−}{1}{)}{=}{4}{，}}$$则（）

A.$$E ( X )=2， \， \， \， D ( X )={\frac{5} {4}}$$

B.$$E ( X )=1， \， \， \， D ( X )={\frac{5} {4}}$$

C.$$E ( X )=\frac{3} {2}， \， \， \， D ( X )=1$$

D.$${{E}{(}{X}{)}{=}{2}{，}{D}{(}{X}{)}{=}{1}}$$

2、['离散型随机变量的均值或数学期望']

正确率60.0%有一个质地均匀的正四面体木块，其四个面上分别写有数字$${{1}{，}{1}{，}{2}{，}{3}{，}}$$现随机将木块抛掷一次，记朝下一面出现的数字为随机变量$${{ξ}{，}}$$则$${{ξ}}$$的均值为（）

A.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$

B.$$\frac{7} {4}$$

C.$${{2}}$$

D.$$\frac{7} {3}$$

3、['离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差']

正确率60.0%学号分别为$${{1}{，}{2}{，}{3}}$$的三位小学生在课余时间一起玩“掷骰子爬楼梯”游戏，规则如下：投掷一颗骰子，将每次出现的点数除以$${{3}{，}}$$若学号与之同余(同除以$${{3}}$$余数相同)，则该小学生可以上$${{2}}$$阶楼梯，另外两位只能上$${{1}}$$阶楼梯.假定他们都是从平地$${{(}{0}}$$阶楼梯)开始向上爬，且楼梯阶数足够多.若经过$${{2}}$$次投掷骰子后，学号为$${{1}}$$的小学生站在第$${{X}}$$阶楼梯上，则$${{X}}$$的方差为（）

A.$$\frac{8} {2}$$

B.$$\frac{6 8} {9}$$

C.$$\begin{array} {l l} {\frac{4} {9}} \\ \end{array}$$

D.$$\frac{4} {3}$$

4、['离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差']

正确率40.0%一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球$${{1}}$$个、黑球$${{2}}$$个，现随机等可能地取出小球.当有放回地依次取出$${{2}}$$个小球时，记取出的红球个数为$${{ξ}_{1}}$$；当无放回地依次取出两个小球时，记取出的红球个数为$${{ξ}_{2}{，}}$$则（）

A.$${{E}{(}{{ξ}_{1}}{)}{<}{E}{(}{{ξ}_{2}}{)}{，}{D}{(}{{ξ}_{1}}{)}{<}{D}{(}{{ξ}_{2}}{)}}$$

B.$${{E}{(}{{ξ}_{1}}{)}{=}{E}{(}{{ξ}_{2}}{)}{，}{D}{(}{{ξ}_{1}}{)}{>}{D}{(}{{ξ}_{2}}{)}}$$

C.$${{E}{(}{{ξ}_{1}}{)}{=}{E}{(}{{ξ}_{2}}{)}{，}{D}{(}{{ξ}_{1}}{)}{<}{D}{(}{{ξ}_{2}}{)}}$$

D.$${{E}{(}{{ξ}_{1}}{)}{>}{E}{(}{{ξ}_{2}}{)}{，}{D}{(}{{ξ}_{1}}{)}{>}{D}{(}{{ξ}_{2}}{)}}$$

5、['离散型随机变量的均值或数学期望']

正确率40.0%$${{[}{{2}{0}{1}{9}}{⋅}}$$宿州模拟]设$${{0}{<}{p}{<}{1}{，}}$$随机变量$${{X}{，}{Y}}$$的分布列为

$${{X}}$$	$${{1}}$$	$${{2}}$$	$${{3}}$$
$${{P}}$$	$${{p}^{2}}$$	$${{1}{−}{p}}$$	$${{p}{−}{{p}^{2}}}$$
$${{Y}}$$	$${{1}}$$	$${{2}}$$	$${{3}}$$
$${{P}}$$	$${{p}^{3}}$$	$${{1}{−}{{p}^{2}}}$$	$${{p}^{2}{−}{{p}^{3}}}$$

当$${{X}}$$的数学期望取得最大值时$${，{Y}}$$的数学期望为（）

A.$${{2}}$$

B.$$\frac{3 3} {1 6}$$

C.$$\frac{5 5} {2 7}$$

D.$$\frac{6 5} {3 2}$$

6、['超几何分布'， '离散型随机变量的均值或数学期望']

正确率40.0%某班级有男生$${{3}{2}}$$人，女生$${{2}{0}}$$人，现选举$${{4}}$$名学生分别担任班长、副班长、团支部书记和体育委员.男生当选的人数记为$${{X}{，}}$$则$${{X}}$$的数学期望为（）

A.$$\frac{1 6} {1 3}$$

B.$$\frac{2 0} {1 3}$$

C.$$\frac{3 2} {1 3}$$

D.$$\frac{4 0} {1 3}$$

8、['二项分布的期望和方差'， '离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差']

正确率40.0%已知随机变量$${{X}{+}{Y}{=}{{1}{0}}}$$，若$${{X}{∼}{B}{(}{{1}{0}}{，}{{0}{.}{6}}{)}}$$，则$${{E}{(}{Y}{)}{，}{D}{(}{Y}{)}}$$分别是（）

A.$${{6}}$$和$${{2}{.}{4}}$$

B.$${{4}}$$和$${{5}{.}{6}}$$

C.$${{4}}$$和$${{2}{.}{4}}$$

D.$${{6}}$$和$${{5}{.}{6}}$$

9、['离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差']

正确率60.0%一批产品的二等品率为$${{0}{.}{4}}$$，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取$${{1}{0}{0}}$$次，$${{X}}$$表示抽到的二等品件数，则方差$${{D}{(}{X}{)}{=}}$$

A.$${{4}{0}}$$

B.$${{6}{0}}$$

C.$${{2}{4}}$$

D.$${{5}{0}}$$

10、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差']

正确率60.0%已知$${{a}{，}{b}{∈}{R}}$$，随机变量$${{ξ}}$$满足$${{P}{(}{ξ}{=}{x}{)}{=}{a}{x}{+}{b}}$$，其中$${{x}{=}{−}{1}{，}{0}{，}{1}}$$，若$$E ( \xi)=\frac{1} {3}$$，则$${{[}{E}{(}{ξ}{)}{]}^{2}{+}{D}{(}{ξ}{)}{=}}$$（）

A.$$\frac{1} {3}$$

B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$

C.$${{1}}$$

D.$$\frac{4} {3}$$

1. 解析：

根据期望和方差的性质，$$E(2X - 1) = 2E(X) - 1 = 3$$，解得$$E(X) = 2$$。

$$D(2X - 1) = 4D(X) = 4$$，解得$$D(X) = 1$$。

正确答案为D。

2. 解析：

随机变量$$ξ$$的取值为1,1,2,3，概率均为$$\frac{1}{4}$$。

均值$$E(ξ) = \frac{1 + 1 + 2 + 3}{4} = \frac{7}{4}$$。

正确答案为B。

3. 解析：

每次掷骰子，学号为1的学生有$$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$的概率上2阶，$$\frac{2}{3}$$的概率上1阶。

单次期望$$E = \frac{1}{3} \times 2 + \frac{2}{3} \times 1 = \frac{4}{3}$$，方差$$D = \frac{1}{3}(2 - \frac{4}{3})^2 + \frac{2}{3}(1 - \frac{4}{3})^2 = \frac{2}{9}$$。

两次独立实验总方差为$$2 \times \frac{2}{9} = \frac{4}{9}$$。

正确答案为C。

4. 解析：

有放回时，$$ξ_1 \sim B(2, \frac{1}{3})$$，$$E(ξ_1) = \frac{2}{3}$$，$$D(ξ_1) = \frac{4}{9}$$。

无放回时，$$ξ_2$$的分布为：$$P(ξ_2=0) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$$，$$P(ξ_2=1) = \frac{2}{3}$$，$$P(ξ_2=2) = 0$$。

$$E(ξ_2) = \frac{2}{3}$$，$$D(ξ_2) = \frac{2}{9}$$。

故$$E(ξ_1) = E(ξ_2)$$，$$D(ξ_1) > D(ξ_2)$$。

正确答案为B。

5. 解析：

$$E(X) = p^2 + 2(1 - p) + 3(p - p^2) = -2p^2 + 3p + 2$$。

求导得极值点$$p = \frac{3}{4}$$。

此时$$E(Y) = p^3 + 2(1 - p^2) + 3(p^2 - p^3) = -2p^3 + p^2 + 2$$，代入$$p = \frac{3}{4}$$得$$E(Y) = \frac{33}{16}$$。

正确答案为B。

6. 解析：

每个职位男生当选概率为$$\frac{32}{52} = \frac{8}{13}$$。

$$X$$为4个独立事件的期望和，$$E(X) = 4 \times \frac{8}{13} = \frac{32}{13}$$。

正确答案为C。

8. 解析：

$$X \sim B(10, 0.6)$$，$$E(X) = 6$$，$$D(X) = 2.4$$。

$$Y = 10 - X$$，故$$E(Y) = 4$$，$$D(Y) = D(X) = 2.4$$。

正确答案为C。

9. 解析：

$$X \sim B(100, 0.4)$$，$$D(X) = 100 \times 0.4 \times 0.6 = 24$$。

正确答案为C。

10. 解析：

由概率归一性，$$a(-1) + b + a(0) + b + a(1) + b = 1$$，即$$3b = 1$$，$$b = \frac{1}{3}$$。

由期望$$E(ξ) = (-1)(-a + b) + 0(b) + 1(a + b) = \frac{1}{3}$$，解得$$a = \frac{1}{6}$$。

方差$$D(ξ) = E(ξ^2) - [E(ξ)]^2 = \frac{1}{3} - \frac{1}{9} = \frac{2}{9}$$。

$$[E(ξ)]^2 + D(ξ) = \frac{1}{9} + \frac{2}{9} = \frac{1}{3}$$。

正确答案为A。

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