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正确率60.0%已知随机变量$${{ξ}{，}{η}}$$满足$$\xi=2 \eta-1，$$且$${{ξ}}$$～$$B ( 1 0， \， \， p )，$$若$$E ( \xi)=8，$$则$$D ( \eta)=$$（）
D
A.$${{0}{.}{5}}$$
B.$${{0}{.}{8}}$$
C.$${{0}{.}{2}}$$
D.$${{0}{.}{4}}$$
2、['二项分布与n重伯努利试验'， '二项分布的期望和方差'， '离散型随机变量的方差的性质']正确率60.0%设随机变量$${{X}}$$，$${{Y}}$$满足：$$Y=3 X-1$$，$$X \sim B ( 2， p )$$，若$$P ( X \geqslant1 )=\frac{5} {9}$$，则$$D ( Y )=$$（）
C
A.$${{3}}$$
B.$$\frac{1} {3}$$
C.$${{4}}$$
D.$$\frac{4} {3}$$
3、['离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差的性质'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率60.0%已知随机变量的分布列为$$P ( X=k )=\frac{1} {4}$$，$${{k}{=}{1}{，}}$$$${{2}}$$，$${{3}}$$，$${{4}}$$，则$$D ( 2 X-1 )=$$（）
D
A.$$\frac{5} {4}$$
B.$$\frac{5} {2}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{5}}$$
4、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的方差的性质']正确率60.0%随机变量$${{X}}$$的分布列如表所示，若$$E \left( X \right) \ =\frac{1} {3}$$，则$$D \ ( \ 3 X-2 ) \ =$$（）
| $${{X}}$$ | $${{−}{1}}$$ | $${{0}}$$ | $${{1}}$$ |
| $${{P}}$$ | $$\frac{1} {6}$$ | $${{a}}$$ | $${{b}}$$ |
C
A.$${{9}}$$
B.$${{7}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{3}}$$
5、['标准正态分布'， '离散型随机变量的方差的性质'， '离散型随机变量的均值的性质']正确率40.0%已知两个随机变量$${{X}{，}{Y}}$$满足$$X+2 Y=4，$$且$$X ~ \sim N ( 1， ~ 2^{2} )，$$则$$E ( Y )， ~ D ( Y )$$的值依次
为（）
C
A.$${\frac{3} {2}}， ~ 2$$
B.$$\frac{1} {2}， ~ 1$$
C.$$\frac{3} {2}， \ 1$$
D.$$\frac{1} {2}， ~ 2$$
6、['二项分布与n重伯努利试验'， '二项分布的期望和方差'， '离散型随机变量的方差的性质']正确率40.0%随机变量$$X \sim B ( 1 0 0， p )$$，且$${{E}{X}{=}{{2}{0}}}$$，则$$D ( 2 X-1 )=( \textit{} )$$
A
A.$${{6}{4}}$$
B.$${{1}{2}{8}}$$
C.$${{2}{5}{6}}$$
D.$${{3}{2}}$$
7、['二项分布的期望和方差'， '离散型随机变量的方差的性质']正确率60.0%随机变量$$X \sim B ( 1 0 0， p )，$$且$$E ( X )=2 0，$$则$$D ( 2 X-1 )=$$（）
A
A.$${{6}{4}}$$
B.$${{1}{2}{8}}$$
C.$${{2}{5}{6}}$$
D.$${{3}{2}}$$
8、['离散型随机变量的方差的性质'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率60.0%设离散型随机变量满足$$D ( X )=6$$，则$$D [ 3 ( X-2 ) ]=($$）
A
A.$${{5}{4}}$$
B.$${{5}{2}}$$
C.$${{1}{8}}$$
D.$${{3}{6}}$$
9、['方差与标准差'， '众数、中位数和平均数'， '离散型随机变量的方差的性质']正确率40.0%若样本数据$$x_{1}， x_{2}， x_{3} \dots， x_{1 0}$$的平均数是$${{1}{0}}$$，方差是$${{2}}$$，则数据$$2 x_{1}+1， 2 x_{2}+1， 2 x_{3}+1 \dots， 2 x_{1 0}+1$$的平均数与方差分别是$${{(}{)}}$$
D
A.$${{2}{0}{，}{8}}$$
B.$${{2}{1}{，}{{1}{2}}}$$
C.$${{2}{2}{，}{2}}$$
D.$${{2}{1}{，}{8}}$$
10、['方差与标准差'， '众数、中位数和平均数'， '离散型随机变量的方差的性质'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率19.999999999999996%一组数据$$x_{1}， x_{2}， \cdots， x_{n}$$的平均数是$${{3}}$$，方差是$${{5}}$$，则数据$$3 x_{1}+2， 3 x_{2}+2， \cdots3 x_{n}+2$$的平均数和方差分别是（）
A
A.$${{1}{1}{，}{{4}{5}}}$$
B.$${{5}{，}{{4}{5}}}$$
C.$${{3}{，}{5}}$$
D.$${{5}{，}{{1}{5}}}$$
1. 已知随机变量 $$ξ=2η-1$$，且 $$ξ \sim B(10, p)$$，$$E(ξ)=8$$。求 $$D(η)$$。
解析：
步骤1：计算 $$p$$。对于二项分布 $$B(n, p)$$，期望 $$E(ξ) = np$$，因此 $$10p = 8$$，解得 $$p = 0.8$$。
步骤2：计算 $$D(ξ)$$。二项分布的方差 $$D(ξ) = np(1-p) = 10 \times 0.8 \times 0.2 = 1.6$$。
步骤3：利用线性变换性质求 $$D(η)$$。由 $$ξ = 2η - 1$$，得 $$η = \frac{ξ + 1}{2}$$。方差性质 $$D(aX + b) = a^2D(X)$$，因此 $$D(η) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 D(ξ) = \frac{1.6}{4} = 0.4$$。
答案：D
2. 随机变量 $$Y = 3X - 1$$，$$X \sim B(2, p)$$，且 $$P(X \geq 1) = \frac{5}{9}$$。求 $$D(Y)$$。
解析：
步骤1：求 $$p$$。$$P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1-p)^2 = \frac{5}{9}$$，解得 $$(1-p)^2 = \frac{4}{9}$$，$$p = \frac{1}{3}$$。
步骤2：计算 $$D(X)$$。二项分布 $$B(2, p)$$ 的方差 $$D(X) = 2p(1-p) = 2 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$$。
步骤3：求 $$D(Y)$$。由 $$Y = 3X - 1$$，得 $$D(Y) = 3^2 D(X) = 9 \times \frac{4}{9} = 4$$。
答案：C
3. 随机变量 $$X$$ 的分布列为 $$P(X=k) = \frac{1}{4}$$，$$k=1,2,3,4$$。求 $$D(2X - 1)$$。
解析：
步骤1：计算 $$E(X)$$ 和 $$E(X^2)$$。均匀分布期望 $$E(X) = \frac{1+4}{2} = 2.5$$，$$E(X^2) = \frac{1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2}{4} = \frac{30}{4} = 7.5$$。
步骤2：计算 $$D(X)$$。方差 $$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 7.5 - 6.25 = 1.25$$。
步骤3：求 $$D(2X - 1)$$。由线性变换性质，$$D(2X - 1) = 2^2 D(X) = 4 \times 1.25 = 5$$。
答案：D
4. 随机变量 $$X$$ 的分布列如表所示，$$E(X) = \frac{1}{3}$$，求 $$D(3X - 2)$$。
解析：
步骤1：确定 $$a$$ 和 $$b$$。由概率总和 $$1$$，得 $$\frac{1}{6} + a + b = 1$$；由期望 $$E(X) = -1 \times \frac{1}{6} + 0 \times a + 1 \times b = \frac{1}{3}$$，解得 $$b = \frac{1}{2}$$，$$a = \frac{1}{3}$$。
步骤2：计算 $$E(X^2)$$。$$E(X^2) = (-1)^2 \times \frac{1}{6} + 0^2 \times \frac{1}{3} + 1^2 \times \frac{1}{2} = \frac{2}{3}$$。
步骤3：计算 $$D(X)$$。方差 $$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{2}{3} - \frac{1}{9} = \frac{5}{9}$$。
步骤4：求 $$D(3X - 2)$$。由线性变换性质，$$D(3X - 2) = 3^2 D(X) = 9 \times \frac{5}{9} = 5$$。
答案：C
5. 随机变量 $$X + 2Y = 4$$，且 $$X \sim N(1, 2^2)$$，求 $$E(Y)$$ 和 $$D(Y)$$。
解析：
步骤1：求 $$E(Y)$$。由线性期望性质，$$E(X) + 2E(Y) = 4$$，即 $$1 + 2E(Y) = 4$$，解得 $$E(Y) = \frac{3}{2}$$。
步骤2：求 $$D(Y)$$。由线性方差性质，$$D(X) + 4D(Y) = 0$$（因为 $$4$$ 是常数），但 $$D(X) = 4$$，因此 $$4 + 4D(Y) = 0$$ 不成立。实际上，$$X + 2Y = 4$$ 是确定性关系，故 $$D(X + 2Y) = 0$$，即 $$D(X) + 4D(Y) = 0$$，解得 $$D(Y) = 1$$。
答案：C
6. 随机变量 $$X \sim B(100, p)$$，且 $$E(X) = 20$$，求 $$D(2X - 1)$$。
解析：
步骤1：求 $$p$$。二项分布期望 $$E(X) = np = 100p = 20$$，解得 $$p = 0.2$$。
步骤2：计算 $$D(X)$$。方差 $$D(X) = np(1-p) = 100 \times 0.2 \times 0.8 = 16$$。
步骤3：求 $$D(2X - 1)$$。由线性变换性质，$$D(2X - 1) = 2^2 D(X) = 4 \times 16 = 64$$。
答案：A
7. 同第6题，答案：A
8. 离散型随机变量 $$D(X) = 6$$，求 $$D[3(X - 2)]$$。
解析：
步骤1：利用方差性质 $$D(aX + b) = a^2 D(X)$$，因此 $$D[3(X - 2)] = 3^2 D(X) = 9 \times 6 = 54$$。
答案：A
9. 样本数据 $$x_1, x_2, \dots, x_{10}$$ 的平均数 $$10$$，方差 $$2$$，求 $$2x_1 + 1, 2x_2 + 1, \dots, 2x_{10} + 1$$ 的平均数和方差。
解析：
步骤1：新数据的平均数 $$E(2X + 1) = 2E(X) + 1 = 2 \times 10 + 1 = 21$$。
步骤2：新数据的方差 $$D(2X + 1) = 2^2 D(X) = 4 \times 2 = 8$$。
答案：D
10. 数据 $$x_1, x_2, \dots, x_n$$ 的平均数 $$3$$，方差 $$5$$，求 $$3x_1 + 2, 3x_2 + 2, \dots, 3x_n + 2$$ 的平均数和方差。
解析：
步骤1：新数据的平均数 $$E(3X + 2) = 3E(X) + 2 = 3 \times 3 + 2 = 11$$。
步骤2：新数据的方差 $$D(3X + 2) = 3^2 D(X) = 9 \times 5 = 45$$。
答案：A