1、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的均值或数学期望']正确率40.0%现有$${{4}}$$个人通过掷一枚质地均匀的骰子去选择参加篮球和乒乓球的体育活动，掷出点数为$${{1}}$$或$${{2}}$$的人去打篮球，掷出点数大于$${{2}}$$的人去打乒乓球.用$${{X}{，}{Y}}$$分别表示这$${{4}}$$个人中去打篮球和乒乓球的人数，记$$\xi=| X-Y |，$$则随机变量$${{ξ}}$$的数学期望$$E ( \xi)=$$（）
D
A.$$\frac{1 2 8} {8 1}$$
B.$$\frac{1 3 5} {8 1}$$
C.$$\frac{1 4 0} {8 1}$$
D.$$\frac{1 4 8} {8 1}$$
2、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差的性质'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率60.0%已知随机变量$${{ξ}}$$的分布列为
| $${{ξ}}$$ | $${{−}{1}}$$ | $${{0}}$$ | $${{2}}$$ |
| $${{P}}$$ | $${{a}}$$ | $$\frac{1} {2}$$ | $${{b}}$$ |
且满足$$E ( \xi)=0，$$则下列方差值中最大的是（）D
A.$${{D}{(}{ξ}{)}}$$
B.$$D ( | \xi| )$$
C.$$D ( 2 \xi+1 )$$
D.$$D ( 3 | \xi|-2 )$$
3、['二项分布的期望和方差'， '离散型随机变量的方差的性质'， '离散型随机变量的均值或数学期望']正确率60.0%已知随机变量$${{ξ}{，}{η}}$$满足$$\xi=2 \eta-1，$$且$${{ξ}}$$～$$B ( 1 0， \， \， p )，$$若$$E ( \xi)=8，$$则$$D ( \eta)=$$（）
D
A.$${{0}{.}{5}}$$
B.$${{0}{.}{8}}$$
C.$${{0}{.}{2}}$$
D.$${{0}{.}{4}}$$
4、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的均值或数学期望']正确率60.0%已知$$m， ~ n \in( 0， ~ 1 )，$$离散型随机变量$${{ξ}}$$的分布列为
| $${{ξ}}$$ | $${{0}}$$ | $${{3}{m}}$$ | $${{2}}$$ |
| $${{P}}$$ | $${{m}}$$ | $$\frac{5} {1 2}$$ | $${{n}}$$ |
若$$P \left( \xi\leqslant\frac{1} {2} \right)=\frac{1} {3}，$$则$$E ( \xi)=$$（）C
A.$$\frac{3} {4}$$
B.$$\frac{5} {1 2}$$
C.$$\frac{1 1} {1 2}$$
D.$$\frac{9} {5}$$
5、['离散型随机变量的均值或数学期望'， '概率的基本性质']正确率60.0%已知离散型随机变量$${{x}}$$的分布列如下：
| $${{x}}$$ | $${{1}}$$ | $${{2}}$$ | $${{3}}$$ |
| $${{p}}$$ | $$\frac{1} {3}$$ | $${{a}}$$ | $$\frac{1} {6}$$ |
则$${{x}}$$的数学期望$$E \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) \ =\s($$）D
A.$$\frac{5} {6}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$2 a+\frac{5} {6}$$
D.$$\frac{1 1} {6}$$
6、['超几何分布'， '离散型随机变量的均值或数学期望']正确率60.0%从$${{4}}$$名男生和$${{2}}$$名女生中任选$${{3}}$$人参加演讲比赛，用$${{X}}$$表示所选$${{3}}$$人中女生的人数，则$${{E}{(}{X}{)}}$$为$${{(}{)}}$$
B
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
7、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的均值或数学期望']正确率60.0%已知随机变量$${{X}}$$的分布列如下表，又随机变量$$Y=2 X+3$$，则$${{Y}}$$的均值是（）
| $${{X}}$$ | $${{−}}$$ $${{1}}$$ | $${{0}}$$ | $${{1}}$$ |
| $${{P}}$$ | $$\frac{1} {2}$$ | $$\frac{1} {3}$$ | $${{a}}$$ |
C
A.$$\frac{1} {6}$$
B.$$- \frac{1} {3}$$
C.$$\frac{7} {3}$$
D.$${{3}}$$
8、['离散型随机变量的方差的性质'， '离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率60.0%若随机变量$${{X}}$$的分布列为
| $${{X}}$$ | $${{0}}$$ | $${{1}}$$ |
| $${{P}}$$ | $${{m}}$$ | $${{1}{−}{m}}$$ |
其中$$m \in( 0， 1 )，$$则下列结果中正确的是（）C
A.$$E ( X )=m， \， \， \， D ( X )=\left( 1-m \right)^{2}$$
B.$$E ( X )=1-m， \， \， \， D ( X )=( 1-m )^{2}$$
C.$$E ( X )=1-m， \， \， \， D ( X )=m-m^{2}$$
D.$$E ( X )=1-m， \， \， \， D ( X )=m^{2}$$
9、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率60.0%已知$$a， b \in{\bf R}$$，随机变量$${{ξ}}$$满足$$P ( \xi=x )=a x+b$$，其中$$x=-1， 0， 1$$，若$$E ( \xi)=\frac{1} {3}$$，则$$\left[ E ( \xi) \right]^{2}+D ( \xi)=$$（）
B
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
C.$${{1}}$$
D.$$\frac{4} {3}$$
10、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率40.0%已知离散型随机变量$${{X}}$$的分布列如下：
| $${{X}}$$ | $${{0}}$$ | $${{1}}$$ | $${{2}}$$ |
| $${{P}}$$ | $${{a}}$$ | $${{4}{a}}$$ | $${{5}{a}}$$ |
则均值$${{E}{(}{X}{)}}$$与方差$${{D}{(}{X}{)}}$$分别为（）C
A.$$\mathbf{1. 4}， 0. 2$$
B.$$0. 4 4， 1. 4$$
C.$$\mathbf{1. 4， 0. 4 4}$$
D.$$0. 4 4， 0. 2$$
1. 首先计算每个人去打篮球的概率为 $$P(X=1 \text{或} 2) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$，去打乒乓球的概率为 $$P(X>2) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$。由于有4个人独立进行选择，$$X$$ 服从二项分布 $$B(4, \frac{1}{3})$$，$$Y = 4 - X$$。
计算 $$\xi = |X - Y| = |2X - 4|$$。我们需要求 $$E(\xi)$$：
$$E(\xi) = E(|2X - 4|)$$。由于 $$X$$ 的可能取值为0,1,2,3,4，分别计算对应的概率和值：
$$P(X=0) = \left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{16}{81}$$，此时 $$\xi = 4$$
$$P(X=1) = C(4,1) \left(\frac{1}{3}\right)^1 \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{32}{81}$$，此时 $$\xi = 2$$
$$P(X=2) = C(4,2) \left(\frac{1}{3}\right)^2 \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{24}{81}$$，此时 $$\xi = 0$$
$$P(X=3) = C(4,3) \left(\frac{1}{3}\right)^3 \left(\frac{2}{3}\right)^1 = \frac{8}{81}$$，此时 $$\xi = 2$$
$$P(X=4) = \left(\frac{1}{3}\right)^4 = \frac{1}{81}$$，此时 $$\xi = 4$$
因此，$$E(\xi) = 4 \times \frac{16}{81} + 2 \times \frac{32}{81} + 0 \times \frac{24}{81} + 2 \times \frac{8}{81} + 4 \times \frac{1}{81} = \frac{64 + 64 + 0 + 16 + 4}{81} = \frac{148}{81}$$。
正确答案是 D。
2. 首先根据分布列的性质和 $$E(\xi) = 0$$ 求解 $$a$$ 和 $$b$$：
$$a + \frac{1}{2} + b = 1$$，即 $$a + b = \frac{1}{2}$$
$$E(\xi) = (-1) \times a + 0 \times \frac{1}{2} + 2 \times b = -a + 2b = 0$$，解得 $$a = 2b$$
代入得 $$3b = \frac{1}{2}$$，即 $$b = \frac{1}{6}$$，$$a = \frac{1}{3}$$
计算各项方差：
A. $$D(\xi) = E(\xi^2) - [E(\xi)]^2 = \left((-1)^2 \times \frac{1}{3} + 0^2 \times \frac{1}{2} + 2^2 \times \frac{1}{6}\right) - 0 = \frac{1}{3} + \frac{4}{6} = 1$$
B. $$|\xi|$$ 的分布为 $$P(|\xi|=0) = \frac{1}{2}$$，$$P(|\xi|=1) = \frac{1}{3}$$，$$P(|\xi|=2) = \frac{1}{6}$$
$$E(|\xi|) = 0 \times \frac{1}{2} + 1 \times \frac{1}{3} + 2 \times \frac{1}{6} = \frac{2}{3}$$
$$E(|\xi|^2) = 0^2 \times \frac{1}{2} + 1^2 \times \frac{1}{3} + 2^2 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{3} + \frac{4}{6} = 1$$
$$D(|\xi|) = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{5}{9}$$
C. $$D(2\xi + 1) = 4D(\xi) = 4 \times 1 = 4$$
D. $$3|\xi| - 2$$ 的方差为 $$9D(|\xi|) = 9 \times \frac{5}{9} = 5$$
因此，最大的方差是 D。
3. 已知 $$\xi = 2\eta - 1$$ 且 $$\xi \sim B(10, p)$$，$$E(\xi) = 8$$。
二项分布的期望 $$E(\xi) = 10p = 8$$，解得 $$p = 0.8$$
方差 $$D(\xi) = 10 \times 0.8 \times 0.2 = 1.6$$
由 $$\xi = 2\eta - 1$$，得 $$\eta = \frac{\xi + 1}{2}$$
$$D(\eta) = \frac{1}{4}D(\xi) = \frac{1.6}{4} = 0.4$$
正确答案是 D。
4. 根据分布列的性质和给定条件求解：
$$m + \frac{5}{12} + n = 1$$，即 $$m + n = \frac{7}{12}$$
$$P\left(\xi \leq \frac{1}{2}\right) = P(\xi = 0) = m = \frac{1}{3}$$，因此 $$n = \frac{7}{12} - \frac{1}{3} = \frac{1}{4}$$
计算期望：
$$E(\xi) = 0 \times m + 3m \times \frac{5}{12} + 2 \times n = 0 + \frac{15m}{12} + 2n = \frac{15 \times \frac{1}{3}}{12} + 2 \times \frac{1}{4} = \frac{5}{12} + \frac{1}{2} = \frac{11}{12}$$
正确答案是 C。
5. 根据分布列的性质求解：
$$\frac{1}{3} + a + \frac{1}{6} = 1$$，解得 $$a = \frac{1}{2}$$
计算期望：
$$E(x) = 1 \times \frac{1}{3} + 2 \times \frac{1}{2} + 3 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{3} + 1 + \frac{1}{2} = \frac{11}{6}$$
正确答案是 D。
6. 这是一个超几何分布问题，$$X$$ 表示选中的女生人数。
总共有4名男生和2名女生，选3人，期望 $$E(X) = 3 \times \frac{2}{6} = 1$$
正确答案是 B。
7. 首先根据分布列的性质求解 $$a$$：
$$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + a = 1$$，解得 $$a = \frac{1}{6}$$
计算 $$X$$ 的期望：
$$E(X) = (-1) \times \frac{1}{2} + 0 \times \frac{1}{3} + 1 \times \frac{1}{6} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{6} = -\frac{1}{3}$$
$$Y = 2X + 3$$，因此 $$E(Y) = 2E(X) + 3 = 2 \times \left(-\frac{1}{3}\right) + 3 = \frac{7}{3}$$
正确答案是 C。
8. 计算期望和方差：
$$E(X) = 0 \times m + 1 \times (1 - m) = 1 - m$$
$$E(X^2) = 0^2 \times m + 1^2 \times (1 - m) = 1 - m$$
$$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = (1 - m) - (1 - m)^2 = m - m^2$$
正确答案是 C。
9. 根据概率分布的性质和期望求解：
$$P(\xi = -1) + P(\xi = 0) + P(\xi = 1) = (-a + b) + (0 + b) + (a + b) = 3b = 1$$，解得 $$b = \frac{1}{3}$$
$$E(\xi) = (-1)(-a + b) + 0(b) + 1(a + b) = a - b + a + b = 2a = \frac{1}{3}$$，解得 $$a = \frac{1}{6}$$
计算 $$E(\xi^2) = 1(-a + b) + 0(b) + 1(a + b) = a - b + a + b = 2a = \frac{1}{3}$$
$$D(\xi) = E(\xi^2) - [E(\xi)]^2 = \frac{1}{3} - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{2}{9}$$
因此，$$\left[E(\xi)\right]^2 + D(\xi) = \left(\frac{1}{3}\right)^2 + \frac{2}{9} = \frac{1}{9} + \frac{2}{9} = \frac{1}{3}$$
正确答案是 A。
10. 首先根据分布列的性质求解 $$a$$：
$$a + 4a + 5a = 10a = 1$$，解得 $$a = 0.1$$
计算期望和方差：
$$E(X) = 0 \times 0.1 + 1 \times 0.4 + 2 \times 0.5 = 0 + 0.4 + 1 = 1.4$$
$$E(X^2) = 0^2 \times 0.1 + 1^2 \times 0.4 + 2^2 \times 0.5 = 0 + 0.4 + 2 = 2.4$$
$$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 2.4 - 1.96 = 0.44$$
正确答案是 C。
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