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正确率60.0%随机变量$${{X}}$$的分布列为
| $${{X}}$$ | $${{0}}$$ | $${{1}}$$ | $${{2}}$$ |
| $${{P}}$$ | $${{a}}$$ | $$\frac{b} {2}$$ | $$\frac{b} {2}$$ |
C
A.$$a+b=1$$
B.$$E ( X )=\frac{3 b} {2}$$
C.$${{D}{(}{X}{)}}$$随$${{b}}$$的增大而减小
D.$${{D}{(}{X}{)}}$$有最大值
2、['离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率60.0%抛掷一枚硬币，规定正面向上得$${{1}}$$分，反面向上得$${{−}{1}}$$分，则得分$${{X}}$$的均值与方差分别为（）
A
A.$$E ( X )=0， \， \， \， D ( X )=1$$
B.$$E ( X )=0. 5， \， \， \， D ( X )=0. 5$$
C.$$E ( X )=0， \， \， \， D ( X )=0. 5$$
D.$$E ( X )=0. 5， \， \， \， D ( X )=1$$
3、['离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率60.0%已知$${{X}}$$为离散型随机变量，且$$P ( X=x_{i} )=p_{i} ($$其中$$x_{i} > 0， \， \， i=1， 2， 3 \cdots， 2 0 )$$，若$$\sum_{i=1}^{2 0} x_{i}^{2} p_{i}=9 0， \， \， \， D ( X )=5 4.$$则$$E ( X )=\alpha$$）
A
A.$${{6}}$$
B.$${\frac{9} {5}} \sqrt{1 0}$$
C.$${{5}{\sqrt {6}}}$$
D.$${{1}{2}}$$
4、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率60.0%已知离散型随机变量$${{X}}$$的概率分布列为
| $${{X}}$$ | $${{1}}$$ | $${{3}}$$ | $${{5}}$$ |
| $${{P}}$$ | $${{0}{.}{5}}$$ | $${{m}}$$ | $${{0}{.}{2}}$$ |
C
A.$${{1}}$$
B.$${{0}{.}{6}}$$
C.$${{2}{.}{4}{4}}$$
D.$${{2}{.}{4}}$$
5、['两点分布的数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率40.0%袋中有$${{m}}$$个红球，$${{n}}$$个白球，$${{p}}$$个黑球$$( 5 \geq n > m \geqslant1， p \geq4 )$$，从中任取$${{1}}$$个球(每个球取到的机会均等$${{)}}$$，设$${{ξ}_{1}}$$表示取出红球个数，$${{ξ}_{2}}$$表示取出白球个数，则$${{(}{)}}$$
D
A.$$E ( \xi_{1} ) > E ( \xi_{2} )， \， \， \， D ( \xi_{1} ) > D ( \xi_{2} )$$
B.$$E ( \xi_{1} ) > E ( \xi_{2} )， \， \， \， D ( \xi_{1} ) < D ( \xi_{2} )$$
C.$$E ( \xi_{1} ) < E ( \xi_{2} )， \， \， \， D ( \xi_{1} ) > D ( \xi_{2} )$$< E(xi _{2} )， D(xi _{1} ) >$${{D}{(}{{ξ}_{2}}{)}}$$
D.$$E ( \xi_{1} ) < E ( \xi_{2} )， \， \， \， D ( \xi_{1} ) < D ( \xi_{2} )$$
6、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率60.0%若随机变量$${{X}}$$的分布列如下表，且$$E ( X )=6. 3，$$则$${{D}{(}{X}{)}}$$的值为（）
| $${{X}}$$ | $${{4}}$$ | $${{a}}$$ | $${{9}}$$ |
| $${{P}}$$ | $${{0}{.}{5}}$$ | $${{0}{.}{1}}$$ | $${{b}}$$ |
C
A.$$- 1 4. 3 9$$
B.$${{7}}$$
C.$${{5}{.}{6}{1}}$$
D.$${{6}{.}{6}{1}}$$
7、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差'， '函数单调性的判断'， '二次函数的图象分析与判断']正确率40.0%设$$0 < P < \frac{1} {2}$$，互相独立的两个随机变量$${{ξ}_{1}{，}{{ξ}_{2}}}$$的分布列如表：
| $${{ξ}_{1}}$$ | $${{0}}$$ | $${{1}}$$ |
| $${{P}}$$ | $$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$ | $$\frac{1} {3}$$ |
| $${{ξ}_{2}}$$ | $${{−}{1}}$$ | $${{1}}$$ |
| $${{P}}$$ | $${{1}{−}{p}}$$ | $${{p}}$$ |
D
A.$$E \ ( \ \xi_{1} \cdot\xi_{2} )$$减小，$$D \ ( \xi_{1} \cdot\xi_{2} )$$减小
B.$$E \ ( \ \xi_{1} \cdot\xi_{2} )$$减小，$$D \ ( \xi_{1} \cdot\xi_{2} )$$增大
C.$$E \ ( \ \xi_{1} \cdot\xi_{2} )$$增大，$$D \ ( \xi_{1} \cdot\xi_{2} )$$减小
D.$$E \ ( \ \xi_{1} \cdot\xi_{2} )$$增大，$$D \ ( \xi_{1} \cdot\xi_{2} )$$增大
8、['在给定区间上恒成立问题'， '离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差'， '二次函数的图象分析与判断']正确率19.999999999999996%已知随机变量$${{X}}$$的分布列如下表：
| $${{X}}$$ | $${{−}{1}}$$ | $${{0}}$$ | $${{1}}$$ |
| $${{P}}$$ | $${{a}}$$ | $${{b}}$$ | $${{c}}$$ |
其中$$a， \! b， c \! > \! 0$$.若$${{X}}$$的方差$$D X \leq\frac{1} {3}$$对所有$$a {\in} ( 0， 1 \!-\! b )$$都成立，则$${{(}{)}}$$
D
A.$$0 < b \leq\frac{1} {3}$$
B.$$0 < b \leq\frac{2} {3}$$
C.$$\frac1 3 \leqslant b < 1$$
D.$$\frac{2} {3} \leq b < 1$$
9、['离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率60.0%设随机变量$${{X}}$$的分布列如下
| $${{X}}$$ | $${{1}}$$ | $${{2}}$$ | $${{3}}$$ |
| $${{P}}$$ | $${{0}{.}{5}}$$ | $${{x}}$$ | $${{y}}$$ |
若期望$$E ( X )=\frac{1 5} {8}$$，则方差$${{D}{(}{X}{)}}$$等于$${{(}{)}}$$
D
A.$$\frac{7} {3 2}$$
B.$$\frac{9} {3 2}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\frac{5 5} {6 4}$$
10、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '互斥事件的概率加法公式'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率60.0%已知表为离散型随机变量$${{X}}$$的概率分布列，则概率$$P ( X \geqslant D ( X ) )=~ ($$）
| $${{X}}$$ | $${{0}}$$ | $${{1}}$$ | $${{2}}$$ | $${{3}}$$ |
| $${{P}}$$ | $$\frac{1} {1 0}$$ | $$\frac{2} {1 0}$$ | $$\frac{3} {1 0}$$ | $$\frac{4} {1 0}$$ |
A
A.$$\frac{9} {1 0}$$
B.$$\frac{8} {1 0}$$
C.$$\frac{7} {1 0}$$
D.$$\frac{4} {1 0}$$
1. **解析**：
首先根据概率分布列的性质，有 $$a + \frac{b}{2} + \frac{b}{2} = a + b = 1$$，因此选项A正确。
计算期望 $$E(X) = 0 \times a + 1 \times \frac{b}{2} + 2 \times \frac{b}{2} = \frac{3b}{2}$$，选项B正确。
计算方差 $$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \left(0^2 \times a + 1^2 \times \frac{b}{2} + 2^2 \times \frac{b}{2}\right) - \left(\frac{3b}{2}\right)^2 = \frac{5b}{2} - \frac{9b^2}{4}$$。
分析 $$D(X)$$ 随 $$b$$ 的变化：对 $$D(X)$$ 关于 $$b$$ 求导，得 $$\frac{dD}{db} = \frac{5}{2} - \frac{9b}{2}$$。当 $$b \in (0,1)$$ 时，导数先正后负，说明 $$D(X)$$ 先增大后减小，存在最大值。因此选项C错误，选项D正确。
**答案**：C
2. **解析**：
得分 $$X$$ 的分布为 $$P(X=1) = 0.5$$，$$P(X=-1) = 0.5$$。
计算均值 $$E(X) = 1 \times 0.5 + (-1) \times 0.5 = 0$$。
计算方差 $$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = (1^2 \times 0.5 + (-1)^2 \times 0.5) - 0 = 1$$。
**答案**：A
3. **解析**：
已知 $$\sum_{i=1}^{20} x_i^2 p_i = 90$$，且 $$D(X) = 54$$。
方差公式为 $$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$$，即 $$54 = 90 - \alpha^2$$，解得 $$\alpha = \sqrt{36} = 6$$。
**答案**：A
4. **解析**：
首先根据概率分布列的性质，有 $$0.5 + m + 0.2 = 1$$，解得 $$m = 0.3$$。
计算均值 $$E(X) = 1 \times 0.5 + 3 \times 0.3 + 5 \times 0.2 = 2.4$$。
计算方差 $$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = (1^2 \times 0.5 + 3^2 \times 0.3 + 5^2 \times 0.2) - 2.4^2 = 8.4 - 5.76 = 2.64$$。
**答案**：C
5. **解析**：
设总球数为 $$N = m + n + p$$。
$$E(\xi_1) = \frac{m}{N}$$，$$E(\xi_2) = \frac{n}{N}$$，由题意 $$n > m$$，故 $$E(\xi_1) < E(\xi_2)$$。
方差公式为 $$D(\xi) = p(1-p)$$，其中 $$p$$ 为概率。由于 $$\frac{m}{N} < \frac{n}{N}$$，且 $$p$$ 越小方差越大，故 $$D(\xi_1) < D(\xi_2)$$。
**答案**：D
6. **解析**：
根据概率分布列的性质，有 $$0.5 + 0.1 + b = 1$$，解得 $$b = 0.4$$。
已知 $$E(X) = 6.3$$，即 $$4 \times 0.5 + a \times 0.1 + 9 \times 0.4 = 6.3$$，解得 $$a = 7$$。
计算方差 $$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = (16 \times 0.5 + 49 \times 0.1 + 81 \times 0.4) - 6.3^2 = 45.3 - 39.69 = 5.61$$。
**答案**：C
7. **解析**：
首先计算 $$E(\xi_1 \cdot \xi_2)$$：
$$E(\xi_1 \cdot \xi_2) = E(\xi_1) \cdot E(\xi_2) = \left(0 \times \frac{2}{3} + 1 \times \frac{1}{3}\right) \cdot \left((-1) \times (1-p) + 1 \times p\right) = \frac{1}{3} \cdot (2p - 1)$$。
当 $$p$$ 增大时，$$2p - 1$$ 增大，故 $$E(\xi_1 \cdot \xi_2)$$ 增大。
计算方差 $$D(\xi_1 \cdot \xi_2) = E[(\xi_1 \xi_2)^2] - [E(\xi_1 \xi_2)]^2$$。
由于 $$\xi_1 \xi_2$$ 的可能值为 $$0$$（概率 $$\frac{2}{3}$$）和 $$\pm 1$$（概率 $$\frac{1}{3}$$），故 $$E[(\xi_1 \xi_2)^2] = \frac{1}{3}$$。
因此 $$D(\xi_1 \cdot \xi_2) = \frac{1}{3} - \left(\frac{2p - 1}{3}\right)^2$$，当 $$p$$ 增大时，$$(2p - 1)^2$$ 增大，方差减小。
**答案**：C
8. **解析**：
根据概率分布列的性质，有 $$a + b + c = 1$$。
均值 $$E(X) = (-1) \times a + 0 \times b + 1 \times c = c - a$$。
方差 $$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = (a + c) - (c - a)^2 \leq \frac{1}{3}$$。
代入 $$c = 1 - a - b$$，化简得 $$4a^2 + 4a(b - 1) + (3b^2 - 6b + 2) \geq 0$$。
对所有 $$a \in (0, 1 - b)$$ 成立，需判别式 $$\Delta \leq 0$$，解得 $$b \geq \frac{2}{3}$$。
**答案**：D
9. **解析**：
根据概率分布列的性质，有 $$0.5 + x + y = 1$$，即 $$x + y = 0.5$$。
已知 $$E(X) = \frac{15}{8}$$，即 $$1 \times 0.5 + 2 \times x + 3 \times y = \frac{15}{8}$$，化简得 $$2x + 3y = \frac{11}{8}$$。
联立解得 $$x = \frac{1}{8}$$，$$y = \frac{3}{8}$$。
计算方差 $$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = (1 \times 0.5 + 4 \times \frac{1}{8} + 9 \times \frac{3}{8}) - \left(\frac{15}{8}\right)^2 = \frac{55}{64}$$。
**答案**：D
10. **解析**：
首先计算均值 $$E(X) = 0 \times \frac{1}{10} + 1 \times \frac{2}{10} + 2 \times \frac{3}{10} + 3 \times \frac{4}{10} = 2$$。
计算方差 $$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = (0 \times \frac{1}{10} + 1 \times \frac{2}{10} + 4 \times \frac{3}{10} + 9 \times \frac{4}{10}) - 4 = 1$$。
求 $$P(X \geq D(X)) = P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = \frac{9}{10}$$。
**答案**：A