1、['离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差的性质'， '导数与单调性'， '离散型随机变量的均值的性质']正确率40.0%设$$0 < ~ p < ~ \frac{1} {2}，$$随机变量$${{X}}$$的分布列是
| $${{X}}$$ | $${{−}{1}}$$ | $${{0}}$$ | $${{1}}$$ |
| $${{P}}$$ | $$p ( 1-p )$$ | $${{1}{−}{2}{p}}$$ | $$p ( 1+p )$$ |
则当$${{p}}$$在$$\left( 0， \frac{1} {2} \right)$$内增大时（）C
A.$${{E}{(}{X}{)}}$$不变
B.$${{E}{(}{X}{)}}$$减小
C.$${{D}{(}{X}{)}}$$增大
D.$${{D}{(}{X}{)}}$$减小
2、['二项分布与n重伯努利试验'， '二项分布的期望和方差'， '离散型随机变量的方差的性质']正确率40.0%已知某种疾病采取某种疗法的治愈率为$${{8}{0}{%}}$$.若有$${{1}{0}{0}}$$位该病患者采取了这种疗法，且每位患者治愈与否相互独立，设其中被治愈的人数为$${{X}{，}}$$则下列选项中正确的是（）
B
A.$$E ( 2 X+1 )=1 6 0$$
B.$$P ( X=3 0 )=C_{1 0 0}^{3 0} \times( 0. 8 )^{3 0} \times( 0. 2 )^{7 0}$$
C.$$D ( 2 X+1 )=3 2$$
D.存在$${{k}{≠}{{5}{0}}{，}}$$使得$$P ( X=k )=P ( X=1 0 0-k )$$成立
3、['二项分布的期望和方差'， '离散型随机变量的方差的性质'， '离散型随机变量的均值的性质']正确率60.0%已知随机变量$${{X}}$$～$$B ( n， \ p )，$$随机变量$$Y=3 X+1，$$若$$E ( Y )=7， \， \， \， D ( Y )=1 2，$$则$${{p}{=}}$$（）
B
A.$$\frac{1} {6}$$
B.$$\frac{1} {3}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
4、['离散型随机变量的方差的性质'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率19.999999999999996%已知$$a， \， \， b \in{\bf R}，$$两个相互独立的随机变量$${{X}{，}{Y}}$$的分布列分别是
| $${{X}}$$ | $${{−}{1}}$$ | $${{0}}$$ | $${{1}}$$ |
| $${{P}}$$ | $$\frac{1} {3}$$ | $${{a}}$$ | $${{b}}$$ |
| $${{Y}}$$ | $${{−}{1}}$$ | $${{0}}$$ | $${{1}}$$ |
| $${{P}}$$ | $${{a}}$$ | $${{b}}$$ | $$\frac{1} {3}$$ |
则随着$${{a}}$$的增大，$$D ( X+Y )$$（）C
A.一直增大
B.一直减小
C.先增大后减小
D.先减小后增大
5、['离散型随机变量的方差的性质']正确率60.0%已知随机变量$${{ξ}{，}{η}}$$满足$$\xi\sim B ( 2， p )， \， \， \， \eta+2 \xi=1，$$且$$P ( \xi\leqslant1 )=\frac{3} {4}，$$则$${{D}{(}{η}{)}}$$的值为（）
C
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
6、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的方差的性质'， '离散型随机变量的均值的性质']正确率40.0%设$$0 < \; p < \; 1，$$随机变量$${{ξ}}$$的分布列是
| $${{ξ}}$$ | $${{0}}$$ | $${{1}}$$ | $${{2}}$$ |
| $${{P}}$$ | $$\frac{1} {2}$$ | $$\frac{p} {2}$$ | $$\frac{1-p} {2}$$ |
则当$${{p}}$$在$$( 0， 1 )$$内增大时（）A
A.$${{E}{(}{ξ}{)}}$$减小$$， ~ D ( \xi)$$减小
B.$${{E}{(}{ξ}{)}}$$减小$$， ~ D ( \xi)$$增大
C.$${{E}{(}{ξ}{)}}$$增大$$， ~ D ( \xi)$$减小
D.$${{E}{(}{ξ}{)}}$$增大$$， ~ D ( \xi)$$增大
7、['标准正态分布'， '离散型随机变量的方差的性质'， '离散型随机变量的均值的性质']正确率40.0%已知两个随机变量$${{X}{，}{Y}}$$满足$$X+2 Y=4，$$且$$X ~ \sim N ( 1， ~ 2^{2} )，$$则$$E ( Y )， ~ D ( Y )$$的值依次
为（）
C
A.$${\frac{3} {2}}， ~ 2$$
B.$$\frac{1} {2}， ~ 1$$
C.$$\frac{3} {2}， \ 1$$
D.$$\frac{1} {2}， ~ 2$$
8、['二项分布的期望和方差'， '离散型随机变量的方差的性质'， '离散型随机变量的均值的性质']正确率60.0%某种种子每粒发芽的概率是$${{9}{0}{%}{，}}$$现播种该种子$${{1}{{0}{0}{0}}}$$粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种$${{2}}$$粒，补种的种子数记为$${{X}{，}}$$则$${{X}}$$的数学期望与方差分别是（）
D
A.$$1 0 0， 9 0$$
B.$$1 0 0， 1 8 0$$
C.$$2 0 0， 1 8 0$$
D.$$2 0 0， 3 6 0$$
9、['离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差的性质'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率40.0%随机变量$${{X}}$$的分布列如下表，且$$E ( X )=2$$，
$${{X}}$$ |
$${{0}}$$ |
$${{2}}$$ |
$${{a}}$$ |
$${{P}}$$ |
$$\frac{1} {6}$$ |
$${{p}}$$ |
$$\frac{1} {3}$$ |
则$$D ( 2 X-3 )=\langle($$）C
A.$${{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{5}}$$
10、['离散型随机变量的方差的性质'， '离散型随机变量的均值或数学期望']正确率60.0%设$${{0}{<}{a}}$$$$< \frac{1} {3}$$，随机变量$${{X}}$$的分布列为：
| $${{X}}$$ | $${{−}{2}}$$ | $${{−}{1}}$$ | $${{1}}$$ | $${{2}}$$ |
| $${{P}}$$ | $$\frac{1} {3}$$ | $${{a}}$$ | $$\frac{1} {3}-$$ $${{a}}$$ | $$\frac{1} {3}$$ |
则当$${{a}}$$在$$\left( 0， \frac{1} {3} \right)$$增大时，（）C
A.$${{D}}$$($${{X}}$$)增大
B.$${{D}}$$($${{X}}$$)减小
C.$${{D}}$$($${{X}}$$)先增大后减小
D.$${{D}}$$($${{X}}$$)先减小后增大
1. 首先计算期望 $$E(X)$$ 和方差 $$D(X)$$：
$$E(X) = (-1) \times p(1-p) + 0 \times (1-2p) + 1 \times p(1+p) = -p + p^2 + p + p^2 = 2p^2$$
当 $$p \in \left(0, \frac{1}{2}\right)$$ 时，$$E(X)$$ 随 $$p$$ 增大而增大，故选项 A 和 B 错误。
计算方差：
$$E(X^2) = (-1)^2 \times p(1-p) + 0^2 \times (1-2p) + 1^2 \times p(1+p) = p(1-p) + p(1+p) = 2p$$
$$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 2p - 4p^4$$
对 $$D(X)$$ 求导：
$$\frac{dD(X)}{dp} = 2 - 16p^3$$
在 $$p \in \left(0, \frac{1}{2}\right)$$ 时，导数 $$\frac{dD(X)}{dp} > 0$$，故 $$D(X)$$ 随 $$p$$ 增大而增大，选项 C 正确，D 错误。
2. 分析选项：
$$X \sim B(100, 0.8)$$，故 $$E(X) = 100 \times 0.8 = 80$$，$$D(X) = 100 \times 0.8 \times 0.2 = 16$$。
选项 A：$$E(2X+1) = 2E(X) + 1 = 161 \neq 160$$，错误。
选项 B：$$P(X=30) = C_{100}^{30} \times (0.8)^{30} \times (0.2)^{70}$$ 正确。
选项 C：$$D(2X+1) = 4D(X) = 64 \neq 32$$，错误。
选项 D：由于 $$X \sim B(100, 0.8)$$，$$P(X=k) = P(X=100-k)$$ 当且仅当 $$k = 50$$ 时成立，但题目要求 $$k \neq 50$$，故错误。
3. 根据题意：
$$Y = 3X + 1$$，$$E(Y) = 3E(X) + 1 = 7$$，故 $$E(X) = 2$$。
又 $$D(Y) = 9D(X) = 12$$，故 $$D(X) = \frac{4}{3}$$。
对于 $$X \sim B(n, p)$$，$$E(X) = np = 2$$，$$D(X) = np(1-p) = \frac{4}{3}$$。
解得 $$p = \frac{1}{3}$$，选项 B 正确。
4. 首先确定 $$a$$ 和 $$b$$ 的关系：
对于 $$X$$ 的分布列，$$\frac{1}{3} + a + b = 1$$，故 $$a + b = \frac{2}{3}$$。
对于 $$Y$$ 的分布列，$$a + b + \frac{1}{3} = 1$$，同样 $$a + b = \frac{2}{3}$$。
计算 $$E(X)$$ 和 $$E(Y)$$：
$$E(X) = (-1) \times \frac{1}{3} + 0 \times a + 1 \times b = b - \frac{1}{3}$$
$$E(Y) = (-1) \times a + 0 \times b + 1 \times \frac{1}{3} = \frac{1}{3} - a$$
由于 $$X$$ 和 $$Y$$ 独立，$$D(X+Y) = D(X) + D(Y)$$。
计算 $$D(X)$$ 和 $$D(Y)$$：
$$E(X^2) = (-1)^2 \times \frac{1}{3} + 0^2 \times a + 1^2 \times b = \frac{1}{3} + b$$
$$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{1}{3} + b - \left(b - \frac{1}{3}\right)^2$$
$$E(Y^2) = (-1)^2 \times a + 0^2 \times b + 1^2 \times \frac{1}{3} = a + \frac{1}{3}$$
$$D(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2 = a + \frac{1}{3} - \left(\frac{1}{3} - a\right)^2$$
将 $$b = \frac{2}{3} - a$$ 代入，分析 $$D(X+Y)$$ 随 $$a$$ 的变化：
通过求导或数值分析可知，$$D(X+Y)$$ 先减小后增大，选项 D 正确。
5. 根据题意：
$$\xi \sim B(2, p)$$，$$P(\xi \leq 1) = 1 - P(\xi = 2) = 1 - p^2 = \frac{3}{4}$$，故 $$p = \frac{1}{2}$$。
$$\eta = 1 - 2\xi$$，故 $$D(\eta) = 4D(\xi) = 4 \times 2 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = 2$$，选项 C 正确。
6. 计算期望和方差：
$$E(\xi) = 0 \times \frac{1}{2} + 1 \times \frac{p}{2} + 2 \times \frac{1-p}{2} = \frac{p}{2} + 1 - p = 1 - \frac{p}{2}$$
当 $$p \in (0, 1)$$ 时，$$E(\xi)$$ 随 $$p$$ 增大而减小。
计算方差：
$$E(\xi^2) = 0^2 \times \frac{1}{2} + 1^2 \times \frac{p}{2} + 2^2 \times \frac{1-p}{2} = \frac{p}{2} + 2 - 2p = 2 - \frac{3p}{2}$$
$$D(\xi) = E(\xi^2) - [E(\xi)]^2 = 2 - \frac{3p}{2} - \left(1 - \frac{p}{2}\right)^2 = 2 - \frac{3p}{2} - 1 + p - \frac{p^2}{4} = 1 - \frac{p}{2} - \frac{p^2}{4}$$
对 $$D(\xi)$$ 求导：
$$\frac{dD(\xi)}{dp} = -\frac{1}{2} - \frac{p}{2} < 0$$
故 $$D(\xi)$$ 随 $$p$$ 增大而减小，选项 A 正确。
7. 根据题意：
$$X \sim N(1, 4)$$，$$Y = \frac{4 - X}{2}$$。
$$E(Y) = \frac{4 - E(X)}{2} = \frac{3}{2}$$
$$D(Y) = \frac{D(X)}{4} = 1$$
选项 C 正确。
8. 分析补种的种子数 $$X$$：
每粒种子不发芽的概率为 $$0.1$$，补种 $$2$$ 粒，故 $$X = 2 \times (1000 \times 0.1) = 200$$。
期望 $$E(X) = 200$$，方差 $$D(X) = 4 \times 1000 \times 0.1 \times 0.9 = 360$$，选项 D 正确。
9. 根据分布列和期望：
$$E(X) = 0 \times \frac{1}{6} + 2 \times p + a \times \frac{1}{3} = 2$$，且概率和为 $$1$$，即 $$\frac{1}{6} + p + \frac{1}{3} = 1$$，解得 $$p = \frac{1}{2}$$，$$a = 3$$。
计算方差：
$$E(X^2) = 0^2 \times \frac{1}{6} + 2^2 \times \frac{1}{2} + 3^2 \times \frac{1}{3} = 0 + 2 + 3 = 5$$
$$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 5 - 4 = 1$$
$$D(2X-3) = 4D(X) = 4$$，选项 C 正确。
10. 计算期望和方差：
$$E(X) = (-2) \times \frac{1}{3} + (-1) \times a + 1 \times \left(\frac{1}{3} - a\right) + 2 \times \frac{1}{3} = -\frac{2}{3} - a + \frac{1}{3} - a + \frac{2}{3} = \frac{1}{3} - 2a$$
$$E(X^2) = (-2)^2 \times \frac{1}{3} + (-1)^2 \times a + 1^2 \times \left(\frac{1}{3} - a\right) + 2^2 \times \frac{1}{3} = \frac{4}{3} + a + \frac{1}{3} - a + \frac{4}{3} = 3$$
$$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 3 - \left(\frac{1}{3} - 2a\right)^2$$
分析 $$D(X)$$ 随 $$a$$ 的变化：
$$D(X)$$ 关于 $$a$$ 是开口向下的二次函数，对称轴为 $$a = \frac{1}{6}$$，故 $$D(X)$$ 先增大后减小，选项 C 正确。
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