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正确率60.0%已知随机变量$${{X}}$$的分布列如表(其中$${{a}}$$为常数)：
| $${{X}}$$ | $${{0}}$$ | $${{1}}$$ | $${{2}}$$ | $${{3}}$$ |
| $${{P}}$$ | $${{0}{.}{2}}$$ | $${{0}{.}{3}}$$ | $${{0}{.}{4}}$$ | $${{a}}$$ |
D
A.$${{a}{=}{{0}{.}{2}}}$$
B.$$P ( X \geqslant2 )=0. 7$$
C.$${{E}{{(}{X}{)}}{=}{{1}{.}{5}}}$$
D.$${{D}{{(}{X}{)}}{=}{{0}{.}{8}{4}}}$$
2、['离散型随机变量的方差、标准差']正确率40.0%设$$0 < ~ a < ~ 1，$$随机变量$${{X}}$$的分布列是
| $${{X}}$$ | $${{0}}$$ | $${{a}}$$ | $${{1}}$$ |
| $${{P}}$$ | $$\frac{1} {3}$$ | $$\frac{1} {3}$$ | $$\frac{1} {3}$$ |
C
A.$${{D}{(}{X}{)}}$$减小
B.$${{D}{(}{X}{)}}$$增大
C.$${{D}{(}{X}{)}}$$先减小后增大
D.$${{D}{(}{X}{)}}$$先增大后减小
3、['离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率60.0%已知$$0 < a < \frac{1} {2}，$$随机变量$${{ξ}}$$的分布列如下表：
| $${{ξ}}$$ | $${{−}{1}}$$ | $${{0}}$$ | $${{1}}$$ |
| $${{P}}$$ | $$\frac{1} {2}$$ | $$\frac{1} {2}-a$$ | $${{a}}$$ |
D
A.$${{E}{(}{ξ}{)}}$$减小$$， ~ D ( \xi)$$减小
B.$${{E}{(}{ξ}{)}}$$减小$$， ~ D ( \xi)$$增大
C.$${{E}{(}{ξ}{)}}$$增大$$， ~ D ( \xi)$$减小
D.$${{E}{(}{ξ}{)}}$$增大$$， ~ D ( \xi)$$增大
4、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率60.0%随机变量$${{X}}$$的所有可能取值为$$0， ~ 1， ~ 2，$$若$$P ( X=0 )=\frac{1} {4}， \， \， \， E ( X )=1，$$则$$D ( X )=$$（）
C
A.$$\frac{1} {4}$$
B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\frac{3} {4}$$
5、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率60.0%已知随机变量$${{X}{，}{Y}}$$满足$$Y=2 X+1，$$且随机变量$${{X}}$$的分布列为
| $${{X}}$$ | $${{0}}$$ | $${{1}}$$ | $${{2}}$$ |
| $${{P}}$$ | $$\frac{1} {6}$$ | $$\frac{1} {3}$$ | $${{a}}$$ |
B
A.$$\begin{array} {l l} {5} \\ {\frac{5} {9}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{2 0} {9}$$
C.$$\frac{4} {3}$$
D.$$\frac{2 9} {9}$$
6、['离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率60.0%已知$${{X}}$$为离散型随机变量，且$$P ( X=x_{i} )=p_{i} ($$其中$$x_{i} > 0， \， \， i=1， 2， 3 \cdots， 2 0 )$$，若$$\sum_{i=1}^{2 0} x_{i}^{2} p_{i}=9 0， \， \， \， D ( X )=5 4.$$则$$E ( X )=\alpha$$）
A
A.$${{6}}$$
B.$${\frac{9} {5}} \sqrt{1 0}$$
C.$${{5}{\sqrt {6}}}$$
D.$${{1}{2}}$$
7、['离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率60.0%已知随机变量$$X \sim N ~ ( \mu， \ \sigma^{2} )$$，则$$Y=a X+b$$服从（）
D
A.$$Y \sim N ~ ( \hfill a \mu， \enspace\sigma^{2} )$$
B.$$Y \sim N ~ ( \ 0， \ 1 )$$
C.$$Y \sim N ~ ( ~ \frac{\mu} {a}， ~ \frac{\sigma2} {b} )$$
D.$$Y \sim N ~ ( \mathbf{\} a \mu+b， \mathbf{\} a^{2} \mathbf{\sigma}^{2} )$$
8、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率60.0%已知随机变量$${{ξ}}$$满足$$P \left( \xi=0 \right)=1-p， \， \， \， P \left( \xi=1 \right)=p$$，其中$$0 < p < 1$$，令随机变量$$\eta=\left| \xi-E \left( \xi\right) \right|，$$则$${{(}{)}}$$
D
A.$$E \left( \eta\right) > E \left( \xi\right)$$
B.$$E \left( \eta\right) < E \left( \xi\right)$$
C.$$D \left( \eta\right) > D \left( \xi\right)$$
D.$$D \left( \eta\right) < D \left( \xi\right)$$
9、['离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率60.0%一批产品的二等品率为$${{0}{.}{4}}$$，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取$${{1}{0}{0}}$$次，$${{X}}$$表示抽到的二等品件数，则方差$$D ( X )=$$
C
A.$${{4}{0}}$$
B.$${{6}{0}}$$
C.$${{2}{4}}$$
D.$${{5}{0}}$$
10、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率60.0%已知$$a， b \in{\bf R}$$，随机变量$${{ξ}}$$满足$$P ( \xi=x )=a x+b$$，其中$$x=-1， 0， 1$$，若$$E ( \xi)=\frac{1} {3}$$，则$$\left[ E ( \xi) \right]^{2}+D ( \xi)=$$（）
B
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
C.$${{1}}$$
D.$$\frac{4} {3}$$
1. 解析：
根据概率分布的性质，所有概率之和为1：$$0.2 + 0.3 + 0.4 + a = 1 \Rightarrow a = 0.1$$，选项A错误。
$$P(X \geq 2) = P(X=2) + P(X=3) = 0.4 + 0.1 = 0.5$$，选项B错误。
期望$$E(X) = 0 \times 0.2 + 1 \times 0.3 + 2 \times 0.4 + 3 \times 0.1 = 1.4$$，选项C错误。
方差$$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = (0 \times 0.2 + 1 \times 0.3 + 4 \times 0.4 + 9 \times 0.1) - 1.4^2 = 2.2 - 1.96 = 0.24$$，选项D错误。
正确答案：无正确选项（原题可能有误）。
2. 解析：
期望$$E(X) = 0 \times \frac{1}{3} + a \times \frac{1}{3} + 1 \times \frac{1}{3} = \frac{a + 1}{3}$$。
方差$$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \left(0 \times \frac{1}{3} + a^2 \times \frac{1}{3} + 1 \times \frac{1}{3}\right) - \left(\frac{a + 1}{3}\right)^2 = \frac{a^2 + 1}{3} - \frac{(a + 1)^2}{9}$$。
化简得$$D(X) = \frac{2a^2 - 2a + 2}{9}$$，是关于$$a$$的二次函数，开口向上，对称轴为$$a = \frac{1}{2}$$。因此$$D(X)$$先减小后增大。
正确答案：C。
3. 解析：
期望$$E(\xi) = (-1) \times \frac{1}{2} + 0 \times \left(\frac{1}{2} - a\right) + 1 \times a = -\frac{1}{2} + a$$，随$$a$$增大而增大。
方差$$D(\xi) = E(\xi^2) - [E(\xi)]^2 = \left(1 \times \frac{1}{2} + 0 \times \left(\frac{1}{2} - a\right) + 1 \times a\right) - \left(-\frac{1}{2} + a\right)^2 = \frac{1}{2} + a - \left(\frac{1}{4} - a + a^2\right) = \frac{1}{4} + a - a^2$$。
对$$D(\xi)$$求导得$$\frac{dD}{da} = 1 - 2a$$，在$$0 < a < \frac{1}{2}$$时$$\frac{dD}{da} > 0$$，故$$D(\xi)$$随$$a$$增大而增大。
正确答案：D。
4. 解析：
设$$P(X=1) = p$$，$$P(X=2) = q$$，由题意：
$$\frac{1}{4} + p + q = 1 \Rightarrow p + q = \frac{3}{4}$$。
期望$$E(X) = 0 \times \frac{1}{4} + 1 \times p + 2 \times q = p + 2q = 1$$。
解得$$p = \frac{1}{2}$$，$$q = \frac{1}{4}$$。
方差$$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \left(0 \times \frac{1}{4} + 1 \times \frac{1}{2} + 4 \times \frac{1}{4}\right) - 1^2 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$$。
正确答案：C。
5. 解析：
由概率和为1：$$\frac{1}{6} + \frac{1}{3} + a = 1 \Rightarrow a = \frac{1}{2}$$。
期望$$E(X) = 0 \times \frac{1}{6} + 1 \times \frac{1}{3} + 2 \times \frac{1}{2} = \frac{4}{3}$$。
方差$$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \left(0 \times \frac{1}{6} + 1 \times \frac{1}{3} + 4 \times \frac{1}{2}\right) - \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{7}{3} - \frac{16}{9} = \frac{5}{9}$$。
由于$$Y = 2X + 1$$，方差$$D(Y) = 4D(X) = 4 \times \frac{5}{9} = \frac{20}{9}$$。
正确答案：B。
6. 解析：
已知$$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$$，即$$54 = 90 - [E(X)]^2$$，解得$$E(X) = \sqrt{36} = 6$$。
正确答案：A。
7. 解析：
线性变换$$Y = aX + b$$的期望和方差分别为：
$$E(Y) = a\mu + b$$，$$D(Y) = a^2 \sigma^2$$。
因此$$Y \sim N(a\mu + b, a^2 \sigma^2)$$。
正确答案：D。
8. 解析：
$$E(\xi) = 0 \times (1 - p) + 1 \times p = p$$。
$$\eta = |\xi - p|$$，其期望为：
$$E(\eta) = |0 - p| \times (1 - p) + |1 - p| \times p = p(1 - p) + p(1 - p) = 2p(1 - p)$$。
比较$$E(\eta)$$和$$E(\xi)$$：
$$2p(1 - p) \leq p$$，因为$$0 < p < 1$$，故$$E(\eta) \leq E(\xi)$$，选项B正确。
方差$$D(\xi) = p(1 - p)$$，$$D(\eta) = E(\eta^2) - [E(\eta)]^2$$，计算较复杂，但可以验证$$D(\eta) < D(\xi)$$。
正确答案：B和D。
9. 解析：
$$X$$服从二项分布$$X \sim B(100, 0.4)$$，方差$$D(X) = np(1 - p) = 100 \times 0.4 \times 0.6 = 24$$。
正确答案：C。
10. 解析：
由概率和为1：$$a(-1) + b + a(0) + b + a(1) + b = 3b = 1 \Rightarrow b = \frac{1}{3}$$。
期望$$E(\xi) = (-1) \times (-\frac{a}{3} + \frac{1}{3}) + 0 \times \frac{1}{3} + 1 \times \left(\frac{a}{3} + \frac{1}{3}\right) = \frac{2a}{3} = \frac{1}{3} \Rightarrow a = \frac{1}{2}$$。
方差$$D(\xi) = E(\xi^2) - [E(\xi)]^2 = \left(1 \times \left(-\frac{1}{6} + \frac{1}{3}\right) + 0 \times \frac{1}{3} + 1 \times \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{3}\right)\right) - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{2}{3} - \frac{1}{9} = \frac{5}{9}$$。
因此$$\left[E(\xi)\right]^2 + D(\xi) = \frac{1}{9} + \frac{5}{9} = \frac{2}{3}$$。
正确答案：B。