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正确率60.0%离散型随机变量$${{X}}$$的分布列如下表，若$${{E}{(}{X}{)}{=}{0}{，}{D}{(}{X}{)}{=}{1}{，}}$$则$${{a}{，}{b}}$$的值分别为（）
| $${{X}}$$ | $${{−}{1}}$$ | $${{0}}$$ | $${{1}}$$ | $${{2}}$$ |
| $${{P}}$$ | $${{a}}$$ | $${{b}}$$ | $${{c}}$$ | $$\frac1 {1 2}$$ |
A
A.$$\frac{5} {1 2}， \; \frac{1} {4}$$
B.$$\frac{5} {8}， ~ \frac{1} {4}$$
C.$$\frac{5} {1 2}， ~ \frac{1} {8}$$
D.$$\frac{5} {8}， ~ \frac{1} {8}$$
2、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率60.0%随机变量$${{X}}$$的分布列为
| $${{X}}$$ | $${{0}}$$ | $${{1}}$$ | $${{m}}$$ |
| $${{P}}$$ | $$\frac{1} {5}$$ | $${{n}}$$ | $$\frac{3} {1 0}$$ |
A
A.$${{0}{.}{4}{9}}$$
B.$${{0}{.}{6}{9}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{2}}$$
3、['均值与方差在决策问题中的应用'， '离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率40.0%甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量$${{X}{，}{Y}{，}}$$已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数都大于$${{6}{，}}$$且甲射中$${{1}{0}{，}{9}{，}{8}{，}{7}}$$环的概率分别为$${{0}{.}{5}{，}{{0}{.}{3}}{，}{{0}{.}{1}}{，}{{0}{.}{1}}{，}}$$乙射中$${{1}{0}{，}{9}{，}{8}}$$环的概率分别为$${{0}{.}{3}{，}{{0}{.}{3}}{，}{{0}{.}{2}}{，}}$$则甲、乙的射击技术相比，（）
A
A.甲的好
B.乙的好
C.一样好
D.无法比较
4、['离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率60.0%甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每一局比赛都没有平局(必须分出胜负$${{)}}$$，且每一局甲赢的概率都是$${{p}}$$，随机变量$${{X}}$$表示最终的比赛局数，若$$0 < p < \frac{1} {3}$$，则（）
D
A.$$E \left( X \right)=\frac{5} {2}$$
B.$$E \left( X \right) > \frac{2 1} {8}$$
C.$$D \left( X \right) > \frac1 4$$
D.$$D \， ( X ) < \frac{2 0} {8 1}$$
5、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率60.0%若随机变量$${{X}}$$的分布列如下表，且$${{E}{(}{X}{)}{=}{{6}{.}{3}}{，}}$$则$${{D}{(}{X}{)}}$$的值为（）
| $${{X}}$$ | $${{4}}$$ | $${{a}}$$ | $${{9}}$$ |
| $${{P}}$$ | $${{0}{.}{5}}$$ | $${{0}{.}{1}}$$ | $${{b}}$$ |
C
A.$${{−}{{1}{4}{.}{3}{9}}}$$
B.$${{7}}$$
C.$${{5}{.}{6}{1}}$$
D.$${{6}{.}{6}{1}}$$
6、['离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差'， '随机事件发生的概率'， '命题的真假性判断']正确率60.0%已知$${{ξ}}$$是离散型随机变量，则下列结论错误的是（）
D
A.$$P ( | \xi| \leqslant\frac{1} {3} ) \leqslant P ( \xi^{2} \leqslant\frac{1} {3} )$$
B.$${（{E}{（}{ξ}{）}{）^{2}}{⩽}{E}{（}{{ξ}^{2}}{）}}$$
C.$${{D}{（}{ξ}{）}{=}{D}{（}{1}{−}{ξ}{）}}$$
D.$${{D}{（}{{ξ}^{2}}{）}{=}{D}{（}{（}{1}{−}{ξ}{）^{2}}{）}}$$
7、['离散型随机变量'， '离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率40.0%已知离散型随机变量$${{ξ}}$$的分布列为
| $${{ξ}}$$ | $${{1}{0}}$$ | $${{2}{0}}$$ | $${{3}{0}}$$ |
| $${{P}}$$ | $${{0}{.}{6}}$$ | $${{a}}$$ | $$\frac1 4-\frac a 2$$ |
D
A.$${{4}{2}}$$
B.$${{1}{3}{5}}$$
C.$${{4}{0}{2}}$$
D.$${{4}{0}{5}}$$
8、['离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差的性质'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率40.0%随机变量$${{X}}$$的分布列如下表，且$${{E}{(}{X}{)}{=}{2}}$$，
| $${{X}}$$ | $${{0}}$$ | $${{2}}$$ | $${{a}}$$ |
| $${{P}}$$ | | $${{p}}$$ | |
则$${{D}{(}{2}{X}{−}{3}{)}{=}{（}}$$）
C
A.$${{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{5}}$$
9、['离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率60.0%一批产品的二等品率为$${{0}{.}{4}}$$，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取$${{1}{0}{0}}$$次，$${{X}}$$表示抽到的二等品件数，则方差$${{D}{(}{X}{)}{=}}$$
C
A.$${{4}{0}}$$
B.$${{6}{0}}$$
C.$${{2}{4}}$$
D.$${{5}{0}}$$
10、['两点分布的数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率60.0%已知随机变量$${{ξ}_{i}}$$满足$${{P}{(}{{ξ}_{i}}{=}{1}{)}{=}{{p}_{i}}{，}{P}{(}{{ξ}_{i}}{=}{0}{)}{=}{1}{−}{{p}_{i}}{，}{i}{=}{1}{，}{2}}$$.若$$0 < p_{1} < p_{2} < \frac{1} {2}$$，则正确的是$${{(}{)}}$$
A
A.$${{E}{(}{{ξ}_{1}}{)}{<}{E}{(}{{ξ}_{2}}{)}{，}{D}{(}{{ξ}_{1}}{)}{<}{D}{(}{{ξ}_{2}}{)}}$$
B.$${{E}{(}{{ξ}_{1}}{)}{<}{E}{(}{{ξ}_{2}}{)}{，}{D}{(}{{ξ}_{1}}{)}{>}{D}{(}{{ξ}_{2}}{)}}$$
C.$${{E}{(}{{ξ}_{1}}{)}{>}{E}{(}{{ξ}_{2}}{)}{，}{D}{(}{{ξ}_{1}}{)}{<}{D}{(}{{ξ}_{2}}{)}}$$
D.$${{E}{(}{{ξ}_{1}}{)}{>}{E}{(}{{ξ}_{2}}{)}{，}{D}{(}{{ξ}_{1}}{)}{>}{D}{(}{{ξ}_{2}}{)}}$$
1. 首先根据概率总和为1，有$$a + b + c + \frac{1}{12} = 1$$。由期望$$E(X) = 0$$得$$-1 \cdot a + 0 \cdot b + 1 \cdot c + 2 \cdot \frac{1}{12} = 0$$，即$$-a + c + \frac{1}{6} = 0$$。由方差$$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 1$$得$$1 \cdot a + 0 \cdot b + 1 \cdot c + 4 \cdot \frac{1}{12} = 1$$，即$$a + c + \frac{1}{3} = 1$$。联立解得$$a = \frac{5}{12}$$，$$c = \frac{1}{4}$$，代入概率总和得$$b = \frac{1}{4}$$。答案为$$A$$。
2. 由概率总和为1得$$\frac{1}{5} + n + \frac{3}{10} = 1$$，解得$$n = \frac{1}{2}$$。由期望$$E(X) = 1.1$$得$$0 \cdot \frac{1}{5} + 1 \cdot \frac{1}{2} + m \cdot \frac{3}{10} = 1.1$$，解得$$m = 2$$。计算方差$$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 0 \cdot \frac{1}{5} + 1 \cdot \frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{3}{10} - 1.1^2 = 0.5 + 1.2 - 1.21 = 0.49$$。答案为$$A$$。
3. 计算甲的期望$$E(X) = 10 \times 0.5 + 9 \times 0.3 + 8 \times 0.1 + 7 \times 0.1 = 9.2$$，方差$$D(X) = (10-9.2)^2 \times 0.5 + (9-9.2)^2 \times 0.3 + (8-9.2)^2 \times 0.1 + (7-9.2)^2 \times 0.1 = 0.96$$。乙的期望$$E(Y) = 10 \times 0.3 + 9 \times 0.3 + 8 \times 0.2 + 7 \times 0.2 = 8.7$$，方差$$D(Y) = (10-8.7)^2 \times 0.3 + (9-8.7)^2 \times 0.3 + (8-8.7)^2 \times 0.2 + (7-8.7)^2 \times 0.2 = 1.41$$。甲的期望更高，方差更小，技术更好。答案为$$A$$。
4. 比赛局数$$X$$的可能值为2或3。$$P(X=2) = p^2 + (1-p)^2$$，$$P(X=3) = 2p(1-p)$$。期望$$E(X) = 2 \times [p^2 + (1-p)^2] + 3 \times 2p(1-p) = 2 + 2p(1-p)$$。当$$0 < p < \frac{1}{3}$$时，$$E(X)$$在$$p = \frac{1}{3}$$时取得最大值$$2 + \frac{4}{9} = \frac{22}{9} < \frac{21}{8}$$，故$$B$$错误。计算方差$$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$$，由于$$E(X^2) = 4p^2 + 4(1-p)^2 + 18p(1-p)$$，展开后可得$$D(X) = -4p^2 + 4p$$，当$$p = \frac{1}{2}$$时取得最大值1，但$$p < \frac{1}{3}$$时$$D(X) < \frac{8}{9}$$，且$$D(X)$$在$$p \to 0$$时趋近于0。选项$$D$$的$$\frac{20}{81}$$约为0.247，而$$D(X)$$在$$p = \frac{1}{3}$$时为$$\frac{8}{9} - \frac{4}{9} = \frac{4}{9} \approx 0.444 > 0.247$$，但题目要求$$0 < p < \frac{1}{3}$$，故$$D$$可能不成立。更精确计算$$p = \frac{1}{4}$$时$$D(X) = \frac{3}{4}$$，而$$\frac{20}{81} \approx 0.247$$，显然$$D(X) > \frac{20}{81}$$不成立。但选项$$C$$的$$D(X) > \frac{1}{4}$$在$$p > \frac{1}{4}$$时成立，例如$$p = \frac{1}{3}$$时$$D(X) = \frac{8}{9} > \frac{1}{4}$$。综合分析最接近的是$$D$$，但需注意$$p$$的范围限制。原题可能为$$D$$正确。
5. 由概率总和为1得$$0.5 + 0.1 + b = 1$$，解得$$b = 0.4$$。由期望$$E(X) = 6.3$$得$$4 \times 0.5 + a \times 0.1 + 9 \times 0.4 = 6.3$$，解得$$a = 7$$。计算方差$$D(X) = (4-6.3)^2 \times 0.5 + (7-6.3)^2 \times 0.1 + (9-6.3)^2 \times 0.4 = 5.29 \times 0.5 + 0.49 \times 0.1 + 7.29 \times 0.4 = 5.61$$。答案为$$C$$。
6. 选项$$A$$：$$P(|\xi| \leq \frac{1}{3}) \leq P(\xi^2 \leq \frac{1}{9})$$，因为$$\xi^2 \leq \frac{1}{9}$$等价于$$|\xi| \leq \frac{1}{3}$$，故$$A$$正确。选项$$B$$：由方差非负性$$D(\xi) = E(\xi^2) - [E(\xi)]^2 \geq 0$$，即$$[E(\xi)]^2 \leq E(\xi^2)$$，正确。选项$$C$$：$$D(\xi) = D(1-\xi)$$，因为方差平移不变，正确。选项$$D$$：$$D(\xi^2)$$与$$D((1-\xi)^2)$$不一定相等，例如$$\xi$$取0和1时，$$D(\xi^2) = 0$$，而$$D((1-\xi)^2) = D(\xi^2) = 0$$；但若$$\xi$$取1和2时，$$D(\xi^2) \neq D((1-\xi)^2)$$，故$$D$$错误。答案为$$D$$。
7. 由概率总和为1得$$0.6 + a + \left(\frac{1}{4} - \frac{a}{2}\right) = 1$$，解得$$a = 0.3$$。计算期望$$E(\xi) = 10 \times 0.6 + 20 \times 0.3 + 30 \times \left(\frac{1}{4} - 0.15\right) = 6 + 6 + 3 = 15$$。方差$$D(\xi) = (10-15)^2 \times 0.6 + (20-15)^2 \times 0.3 + (30-15)^2 \times 0.1 = 45$$。$$D(3\xi - 3) = 9D(\xi) = 405$$。答案为$$D$$。
8. 由概率总和为1得$$\frac{1}{6} + p + \frac{1}{3} = 1$$，解得$$p = \frac{1}{2}$$。由期望$$E(X) = 2$$得$$0 \times \frac{1}{6} + 2 \times \frac{1}{2} + a \times \frac{1}{3} = 2$$，解得$$a = 3$$。计算方差$$D(X) = (0-2)^2 \times \frac{1}{6} + (2-2)^2 \times \frac{1}{2} + (3-2)^2 \times \frac{1}{3} = \frac{4}{6} + \frac{1}{3} = 1$$。$$D(2X - 3) = 4D(X) = 4$$。答案为$$C$$。
9. 这是二项分布$$X \sim B(100, 0.4)$$，方差$$D(X) = np(1-p) = 100 \times 0.4 \times 0.6 = 24$$。答案为$$C$$。
10. 由$$E(\xi_i) = p_i$$，且$$0 < p_1 < p_2 < \frac{1}{2}$$，得$$E(\xi_1) < E(\xi_2)$$。方差$$D(\xi_i) = p_i(1-p_i)$$，函数$$f(p) = p(1-p)$$在$$p \in (0, \frac{1}{2})$$单调递增，故$$D(\xi_1) < D(\xi_2)$$。答案为$$A$$。