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正确率40.0%随机变量$${{X}}$$的分布列为
| $${{X}}$$ | $${{−}{1}}$$ | $${{0}}$$ | $${{1}}$$ |
| $${{P}}$$ | $${{a}}$$ | $${{b}}$$ | $${{c}}$$ |
A
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
B.$$\begin{array} {l l} {5} \\ {\frac{5} {9}} \\ \end{array}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {9}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{3} {4}$$
2、['二项分布的期望和方差'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率60.0%小明参加某射击比赛，射中得$${{1}}$$分，未射中扣$${{1}}$$分，已知他每次能射中的概率为$$\frac{2} {3}，$$记小明射击$${{2}}$$次的得分为$${{X}{，}}$$则$$D ( X )=$$（）
B
A.$$\frac{8} {9}$$
B.$$\frac{1 6} {9}$$
C.$$\frac{2 0} {9}$$
D.$$\frac{2 6} {9}$$
3、['离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率60.0%已知随机变量$${{X}}$$满足$$E ( 2 X-1 )=3， \， \， \， D ( 2 X-1 )=4，$$则（）
D
A.$$E ( X )=2， \， \， \， D ( X )={\frac{5} {4}}$$
B.$$E ( X )=1， \， \， \， D ( X )={\frac{5} {4}}$$
C.$$E ( X )=\frac{3} {2}， \， \， \， D ( X )=1$$
D.$$E ( X )=2， \， \， \， D ( X )=1$$
4、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率60.0%已知随机变量$${{X}}$$的分布列为$$P ( X=x )=a x+b ( x=-1， \， \， \， 0， \， \， \， 1 )，$$其中$$a， ~ b \in\mathbf{R}$$. 若$$E ( X )=\frac{1} {3}，$$则$$D ( X )=$$（）
B
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {9}} \\ \end{array}$$
B.$$\begin{array} {l l} {5} \\ {\frac{5} {9}} \\ \end{array}$$
C.$$\frac{3} {4}$$
D.$$\frac{1 1} {9}$$
5、['二项分布的期望和方差'， '离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率40.0%袋中有大小相同的$${{2}}$$个红球和$${{4}}$$个绿球，每次随机从中摸取$${{1}}$$个球，甲方案为有放回地连续摸取$${{3}}$$次，乙方案为不放回地连续摸取$${{3}}$$次.记甲方案下红球出现的次数为随机变量$${{ξ}_{1}{，}}$$乙方案下红球出现的次数为随机变量$${{ξ}_{2}{，}}$$则（）
C
A.$$E ( \xi_{1} ) < E ( \xi_{2} )， \， \， \， D ( \xi_{1} ) > D ( \xi_{2} )$$
B.$$E ( \xi_{1} ) > E ( \xi_{2} )， \， \， \， D ( \xi_{1} ) < D ( \xi_{2} )$$
C.$$E ( \xi_{1} )=E ( \xi_{2} )， \， \， \， D ( \xi_{1} ) > D ( \xi_{2} )$$
D.$$E ( \xi_{1} )=E ( \xi_{2} )， \， \， \， D ( \xi_{1} ) < \， D ( \xi_{2} )$$
6、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率60.0%随机变量$${{X}}$$的所有可能取值为$$0， ~ 1， ~ 2，$$若$$P ( X=0 )=\frac{1} {4}， \， \， \， E ( X )=1，$$则$$D ( X )=$$（）
C
A.$$\frac{1} {4}$$
B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\frac{3} {4}$$
7、['离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率40.0%设$$a， ~ b， ~ c$$是不全相等的实数，随机变量$${{ξ}}$$取值为$$a， ~ b， ~ c$$的概率都是$$\frac{1} {3}，$$随机变量$${{η}}$$取值为$$\frac{a+b} {2}， \ \frac{b+c} {2}， \ \frac{c+a} {2}$$的概率也都是$$\frac{1} {3}，$$则（）
B
A.$$E \xi< E \eta， ~ ~ D \xi< D \eta$$
B.$$E \xi=E \eta， \， \， \， D \xi> D \eta$$
C.$$E \xi< E \eta， ~ ~ D \xi=D \eta$$
D.$$E \xi=E \eta， ~ ~ D \xi=D \eta$$
8、['离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率40.0%已知随机变量$${{ξ}_{i}}$$满足$$P ( \xi_{i}=1 )=p_{i}， \， \， P ( \xi_{i}=0 )=1-p_{i}，$$$$i=1， \; 2$$.若$$0 < \ p_{1} < \ p_{2} < \frac{1} {2}，$$则（）
A
A.$$E ( \xi_{1} ) < ~ E ( \xi_{2} )， ~ ~ D ( \xi_{1} ) < ~ D ( \xi_{2} )$$
B.$$E ( \xi_{1} ) < ~ E ( \xi_{2} )， ~ D ( \xi_{1} ) > D ( \xi_{2} )$$
C.$$E ( \xi_{1} ) > E ( \xi_{2} )， \， \， \， D ( \xi_{1} ) < \， \， D ( \xi_{2} )$$
D.$$E ( \xi_{1} ) > E ( \xi_{2} )， \， \， \， D ( \xi_{1} ) > D ( \xi_{2} )$$
9、['离散型随机变量'， '离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率40.0%已知离散型随机变量$${{ξ}}$$的分布列为
| $${{ξ}}$$ | $${{1}{0}}$$ | $${{2}{0}}$$ | $${{3}{0}}$$ |
| $${{P}}$$ | $${{0}{.}{6}}$$ | $${{a}}$$ | $$\frac1 4-\frac a 2$$ |
D
A.$${{4}{2}}$$
B.$${{1}{3}{5}}$$
C.$${{4}{0}{2}}$$
D.$${{4}{0}{5}}$$
10、['离散型随机变量的方差、标准差']正确率60.0%已知离散型随机变量$${{X}}$$的分布列为
| $${{X}}$$ | $${{1}}$$ | $${{2}}$$ | $${{3}}$$ | $${{4}}$$ |
| $${{P}}$$ | $$\frac{1} {4}$$ | $$\frac{1} {3}$$ | $$\frac{1} {6}$$ | $$\frac{1} {4}$$ |
C
A.$$\frac{2 9} {1 2}$$
B.$$\frac{3 1} {1 4 4}$$
C.$$\frac{1 7 9} {1 4 4}$$
D.$$\frac{1 7} {1 2}$$
以下是各题的详细解析： --- ### 1. 随机变量 $$X$$ 的方差最大值 **解析**： - 由 $$a, b, c$$ 成等差数列，设 $$b = a + d$$，$$c = a + 2d$$。 - 概率和为 $$a + b + c = 3a + 3d = 1$$，即 $$a + d = \frac{1}{3}$$，故 $$b = \frac{1}{3}$$。 - $$X$$ 的期望 $$E(X) = (-1)a + 0 \cdot b + 1 \cdot c = c - a = (a + 2d) - a = 2d$$。 - 方差 $$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = a + c - (2d)^2 = 2a + 2d - 4d^2$$。 - 代入 $$a = \frac{1}{3} - d$$，得 $$D(X) = \frac{2}{3} - 2d + 2d - 4d^2 = \frac{2}{3} - 4d^2$$。 - 当 $$d = 0$$ 时，$$D(X)$$ 取得最大值 $$\frac{2}{3}$$。 **答案**：$$\boxed{A}$$ --- ### 2. 小明射击得分的方差 **解析**： - 每次射击得分 $$Y$$ 的分布： - $$P(Y=1) = \frac{2}{3}$$，$$P(Y=-1) = \frac{1}{3}$$。 - $$E(Y) = 1 \cdot \frac{2}{3} + (-1) \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$$。 - $$D(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2 = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{8}{9}$$。 - $$X = Y_1 + Y_2$$，且 $$Y_1, Y_2$$ 独立，故 $$D(X) = 2D(Y) = \frac{16}{9}$$。 **答案**：$$\boxed{B}$$ --- ### 3. 随机变量 $$X$$ 的期望与方差 **解析**： - 由 $$E(2X - 1) = 3$$，得 $$2E(X) - 1 = 3$$，即 $$E(X) = 2$$。 - 由 $$D(2X - 1) = 4$$，得 $$4D(X) = 4$$，即 $$D(X) = 1$$。 **答案**：$$\boxed{D}$$ --- ### 4. 随机变量 $$X$$ 的方差 **解析**： - 由概率和为 $$1$$，得 $$(a \cdot (-1) + b) + (a \cdot 0 + b) + (a \cdot 1 + b) = 3b = 1$$，即 $$b = \frac{1}{3}$$。 - 期望 $$E(X) = (-1)(-a + b) + 0 \cdot b + 1 \cdot (a + b) = 2a = \frac{1}{3}$$，故 $$a = \frac{1}{6}$$。 - $$E(X^2) = 1 \cdot \left(-\frac{1}{6} + \frac{1}{3}\right) + 1 \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{3}\right) = \frac{1}{6} + \frac{1}{2} = \frac{2}{3}$$。 - 方差 $$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{2}{3} - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{5}{9}$$。 **答案**：$$\boxed{B}$$ --- ### 5. 甲、乙方案的期望与方差比较 **解析**： - **甲方案**（有放回）： - 每次摸到红球的概率 $$p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$。 - $$\xi_1 \sim B(3, \frac{1}{3})$$，$$E(\xi_1) = 1$$，$$D(\xi_1) = 3 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$$。 - **乙方案**（不放回）： - $$\xi_2$$ 服从超几何分布，$$E(\xi_2) = 3 \cdot \frac{2}{6} = 1$$。 - $$D(\xi_2) = 3 \cdot \frac{2}{6} \cdot \frac{4}{6} \cdot \frac{3}{5} = \frac{4}{5}$$。 - 比较得 $$E(\xi_1) = E(\xi_2)$$，$$D(\xi_1) < D(\xi_2)$$。 **答案**：$$\boxed{D}$$ --- ### 6. 随机变量 $$X$$ 的方差 **解析**： - 设 $$P(X=1) = p$$，$$P(X=2) = \frac{3}{4} - p$$。 - 期望 $$E(X) = 1 \cdot p + 2 \cdot \left(\frac{3}{4} - p\right) = \frac{3}{2} - p = 1$$，得 $$p = \frac{1}{2}$$。 - $$E(X^2) = 1 \cdot \frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{2}$$。 - 方差 $$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$$。 **答案**：$$\boxed{C}$$ --- ### 7. 随机变量 $$\xi$$ 与 $$\eta$$ 的比较 **解析**： - $$E(\xi) = \frac{a + b + c}{3}$$，$$E(\eta) = \frac{\frac{a+b}{2} + \frac{b+c}{2} + \frac{c+a}{2}}{3} = \frac{a + b + c}{3}$$，故 $$E(\xi) = E(\eta)$$。 - $$D(\xi) = \frac{(a - \mu)^2 + (b - \mu)^2 + (c - \mu)^2}{3}$$，其中 $$\mu = \frac{a + b + c}{3}$$。 - $$D(\eta)$$ 的计算类似，但 $$\eta$$ 的取值更接近 $$\mu$$，故 $$D(\xi) > D(\eta)$$。 **答案**：$$\boxed{B}$$ --- ### 8. 随机变量 $$\xi_1$$ 与 $$\xi_2$$ 的比较 **解析**： - $$E(\xi_i) = p_i$$，由 $$0 < p_1 < p_2 < \frac{1}{2}$$，得 $$E(\xi_1) < E(\xi_2)$$。 - 方差 $$D(\xi_i) = p_i(1 - p_i)$$，在 $$p_i \in (0, \frac{1}{2})$$ 时单调递增，故 $$D(\xi_1) < D(\xi_2)$$。 **答案**：$$\boxed{A}$$ --- ### 9. $$D(3\xi - 3)$$ 的计算 **解析**： - 由概率和为 $$1$$，得 $$0.6 + a + \left(\frac{1}{4} - \frac{a}{2}\right) = 1$$，解得 $$a = 0.3$$。 - 计算 $$E(\xi) = 10 \cdot 0.6 + 20 \cdot 0.3 + 30 \cdot 0.1 = 15$$。 - $$E(\xi^2) = 100 \cdot 0.6 + 400 \cdot 0.3 + 900 \cdot 0.1 = 270$$。 - $$D(\xi) = 270 - 15^2 = 45$$。 - $$D(3\xi - 3) = 9D(\xi) = 405$$。 **答案**：$$\boxed{D}$$ --- ### 10. 随机变量 $$X$$ 的方差 **解析**： - 计算期望 $$E(X) = 1 \cdot \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{1}{3} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{4} = \frac{25}{12}$$。 - 计算 $$E(X^2) = 1 \cdot \frac{1}{4} + 4 \cdot \frac{1}{3} + 9 \cdot \frac{1}{6} + 16 \cdot \frac{1}{4} = \frac{49}{6}$$。 - 方差 $$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{49}{6} - \left(\frac{25}{12}\right)^2 = \frac{179}{144}$$。 **答案**：$$\boxed{C}$$ 题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱