离散型随机变量的均值或数学期望-7.3 离散型随机变量的数字特征知识点教师选题进阶自测题答案-新疆维吾尔自治区等高三数学选择必修,平均正确率50.0%

1、['离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差']

正确率60.0%学号分别为$$1， ~ 2， ~ 3$$的三位小学生在课余时间一起玩“掷骰子爬楼梯”游戏，规则如下：投掷一颗骰子，将每次出现的点数除以$${{3}{，}}$$若学号与之同余(同除以$${{3}}$$余数相同)，则该小学生可以上$${{2}}$$阶楼梯，另外两位只能上$${{1}}$$阶楼梯.假定他们都是从平地$${{(}{0}}$$阶楼梯)开始向上爬，且楼梯阶数足够多.若经过$${{2}}$$次投掷骰子后，学号为$${{1}}$$的小学生站在第$${{X}}$$阶楼梯上，则$${{X}}$$的方差为（）

A.$$\frac{8} {2}$$

B.$$\frac{6 8} {9}$$

C.$$\begin{array} {l l} {\frac{4} {9}} \\ \end{array}$$

D.$$\frac{4} {3}$$

2、['二项分布的期望和方差'， '离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差的性质'， '离散型随机变量的方差、标准差'， '离散型随机变量的均值的性质']

正确率40.0%一台仪器每启动一次都随机地出现一个$${{3}}$$位的二进制数$$A=\boxed{a_{1}} ~ ~ \boxed{a_{2}} ~ ~ \boxed{a_{3}}$$，其中$${{A}}$$的各位数字中，$$a_{k} \left( k=1， 2， 3 \right)$$出现$${{0}}$$的概率为$$\frac{1} {3}，$$出现$${{1}}$$的概率为$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$.若启动一次出现的数字为$${{1}{0}{0}{，}}$$则称这次试验成功.若成功一次得$${{2}}$$分，失败一次得$${{−}{1}}$$分，则$${{8}{1}}$$次这样的重复试验的总得分$${{X}}$$的数学期望和方差分别为（）

A.$$- 6 3， ~ \frac{5 0} {9}$$

B.$${{−}{{6}{3}}{，}{{5}{0}}}$$

C.$$6， ~ \frac{5 0} {9}$$

D.$${{6}{，}{{5}{0}}}$$

3、['古典概型的概率计算公式'， '离散型随机变量的均值或数学期望']

正确率40.0%甲箱子里装有$${{3}}$$个白球和$${{2}}$$个红球，乙箱子里装有$${{2}}$$个白球和$${{2}}$$个红球．从这两个箱子里分别摸出一个球，设摸出的白球的个数为$${{X}}$$，摸出的红球的个数为$${{Y}}$$，则

A.$$P \left( X=1 \right) > \frac1 2$$，且$$E \left( X \right) < E \left( Y \right)$$

B.$$P \left( X=1 \right) > \frac1 2$$，且$$E \left( X \right) > E \left( Y \right)$$

C.$$P \left( X=1 \right)=\frac{1} {2}$$，且$$E \left( X \right) > E \left( Y \right)$$

D.$$P \left( X=1 \right)=\frac{1} {2}$$，且$$E \left( X \right) < E \left( Y \right)$$

4、['超几何分布'， '离散型随机变量的均值或数学期望']

正确率40.0%某班级有男生$${{3}{2}}$$人，女生$${{2}{0}}$$人，现选举$${{4}}$$名学生分别担任班长、副班长、团支部书记和体育委员.男生当选的人数记为$${{X}{，}}$$则$${{X}}$$的数学期望为（）

A.$$\frac{1 6} {1 3}$$

B.$$\frac{2 0} {1 3}$$

C.$$\frac{3 2} {1 3}$$

D.$$\frac{4 0} {1 3}$$

5、['超几何分布'， '离散型随机变量的均值或数学期望']

正确率60.0%袋中有$${{7}}$$个球，其中有$${{4}}$$个红球$${，{3}}$$个黑球，从袋中任取$${{3}}$$个球，以$${{X}}$$表示取出的红球个数，
则$$E ( X )=$$（）

A.$$\frac{6 1} {3 5}$$

B.$$\frac{1 2} {7}$$

C.$$\frac{2 2} {3 5}$$

D.$$\frac{1 8} {3 5}$$

6、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的均值或数学期望']

正确率40.0%甲盒子装有$${{3}}$$个红球，$${{1}}$$个黄球，乙盒中装有$${{1}}$$个红球，$${{3}}$$个黄球，同时从甲乙两盒中取出$$i \ ( \ i=1， \ 2， \ 3 )$$个球交换，分别记甲乙两个盒子中红球个数的数学期望为$$E_{1} \ ( \ i ) \， \ E_{2} \ ( \ i )$$则以下结论错误的是（）

A.$$E_{1} ~ ( 1 ) ~ > E_{2} ~ ( 1 )$$

B.$$E_{1} \ ( \bf2 ) \ =E_{2} \ ( \bf2 )$$

C.$$E_{1} ~ ( 1 ) ~+E_{2} ~ ( 1 ) ~=4$$

D.$$E_{1} ~ ( \mathrm{\bf~ 3} ) ~ < E_{2} ~ ( \mathrm{\bf~ 1} )$$

7、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的均值或数学期望']

正确率60.0%$${{4}}$$月$${{2}{3}}$$日是$${{“}}$$世界读书日$${{”}}$$，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解高三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲$${、}$$乙$${、}$$丙$${、}$$丁四个小组中随机抽取$${{1}{0}}$$名学生参加问卷调查.各组人数统计如下：在参加问卷调查的$${{1}{0}}$$名学生中，从来自甲$${、}$$丙两个小组的学生中随机抽取两名，用$${{X}}$$表示抽得甲组学生的人数，则$${{X}}$$的数学期望$${{E}{(}{X}{)}}$$为

小组	甲	乙	丙	丁
人数	$${{9}}$$	$${{1}{2}}$$	$${{6}}$$	$${{3}}$$

A.$$\frac{5} {6}$$

B.$$\frac{3} {5}$$

C.$$\frac{5} {3}$$

D.$$\frac{6} {5}$$

8、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差的性质']

正确率60.0%已知离散型随机变量$${{X}}$$的分布列如下：

$${{X}}$$	$${{0}}$$	$${{1}}$$	$${{2}}$$
$${{P}}$$	$${{x}}$$	$${{4}{x}}$$	$${{5}{x}}$$

由此可以得到期望$${{E}{{(}{X}{)}}}$$与方差$${{D}{{(}{X}{)}}}$$分别为$${{(}{)}}$$

A.$$E \left( X \right)=1. 4， \; \; D \left( X \right)=0. 2$$

B.$$E \left( X \right)=0. 4 4， \; \; D \left( X \right)=1. 4$$

C.$$E \left( X \right)=1. 4， \; \; D \left( X \right)=0. 4 4$$

D.$$E \left( X \right)=0. 4 4， \; \; D \left( X \right)=0. 2$$

9、['离散型随机变量的均值或数学期望']

正确率60.0%若$${{p}}$$为非负实数，随机变量$${{ξ}}$$的分布列为

$${{ξ}}$$	$${{0}}$$	$${{1}}$$	$${{2}}$$
$${{P}}$$	$$\frac{1} {2}-p$$	$${{p}}$$	$$\frac{1} {2}$$

则$${{E}{(}{ξ}{)}}$$的最大值为（）

A.$${{1}}$$

B.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$

C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$

D.$${{2}}$$

10、['离散型随机变量的均值或数学期望']

正确率40.0%为了给运动会选拔志愿者，组委会举办了一个趣味答题活动.参选的志愿者回答三个问题，其中两个是判断题，另一个是有三个选项的单项选择题，设某同学对这三个问题均没有把握，其回答正确的题数记为$${{ξ}{，}}$$则随机变量$${{ξ}}$$的数学期望$${{E}{{(}{ξ}{)}}{=}}$$（）

A.$${{1}}$$

B.$$\frac{4} {3}$$

C.$$\frac{5} {3}$$

D.$${{2}}$$

1. 解析：

每次掷骰子，点数除以3的余数可能为0、1、2，概率均为$$\frac{1}{3}$$。学号为1的学生在余数为1时上2阶，否则上1阶。经过2次投掷，$$X$$的可能取值为2、3、4：

- $$X=2$$：两次余数均不为1，概率$$(\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$$，$$E(X=2) = 2$$。

- $$X=3$$：一次余数为1，另一次不为1，概率$$2 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$$，$$E(X=3) = 3$$。

- $$X=4$$：两次余数均为1，概率$$(\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$$，$$E(X=4) = 4$$。

期望$$E(X) = 2 \times \frac{4}{9} + 3 \times \frac{4}{9} + 4 \times \frac{1}{9} = \frac{8}{9} + \frac{12}{9} + \frac{4}{9} = \frac{24}{9} = \frac{8}{3}$$。

方差$$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = (4 \times \frac{4}{9} + 9 \times \frac{4}{9} + 16 \times \frac{1}{9}) - (\frac{8}{3})^2 = \frac{68}{9} - \frac{64}{9} = \frac{4}{9}$$。

答案为$$\boxed{C}$$。

2. 解析：

成功概率$$P(100) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{27}$$。单次试验得分$$Y$$的期望和方差：

- $$E(Y) = 2 \times \frac{2}{27} + (-1) \times \frac{25}{27} = \frac{4}{27} - \frac{25}{27} = -\frac{21}{27} = -\frac{7}{9}$$。

- $$D(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2 = 4 \times \frac{2}{27} + 1 \times \frac{25}{27} - (\frac{7}{9})^2 = \frac{33}{27} - \frac{49}{81} = \frac{50}{81}$$。

81次试验总得分$$X$$的期望和方差：

- $$E(X) = 81 \times E(Y) = 81 \times (-\frac{7}{9}) = -63$$。

- $$D(X) = 81 \times D(Y) = 81 \times \frac{50}{81} = 50$$。

答案为$$\boxed{B}$$。

3. 解析：

甲箱白球概率$$\frac{3}{5}$$，红球概率$$\frac{2}{5}$$；乙箱白球概率$$\frac{1}{2}$$，红球概率$$\frac{1}{2}$$。

- $$P(X=1) = \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} + \frac{2}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{10} + \frac{2}{10} = \frac{1}{2}$$。

- $$E(X) = \frac{3}{5} + \frac{1}{2} = 1.1$$，$$E(Y) = \frac{2}{5} + \frac{1}{2} = 0.9$$。

因此$$P(X=1) = \frac{1}{2}$$且$$E(X) > E(Y)$$，答案为$$\boxed{C}$$。

4. 解析：

班级共52人，男生32人，女生20人。每次选1人，男生当选概率$$\frac{32}{52} = \frac{8}{13}$$。

选4人，$$X$$服从二项分布$$B(4, \frac{8}{13})$$，期望$$E(X) = 4 \times \frac{8}{13} = \frac{32}{13}$$。

答案为$$\boxed{C}$$。

5. 解析：

红球4个，黑球3个，取3球。$$X$$服从超几何分布：

$$E(X) = 3 \times \frac{4}{7} = \frac{12}{7}$$。

答案为$$\boxed{B}$$。

6. 解析：

初始甲盒3红1黄，乙盒1红3黄。

- **交换1个球**：甲盒红球期望$$E_1(1) = 3 - \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 2.5$$，乙盒$$E_2(1) = 1 - \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1.5$$，$$E_1(1) > E_2(1)$$且和为4。

- **交换2个球**：对称性导致$$E_1(2) = E_2(2) = 2$$。

- **交换3个球**：甲盒红球期望$$E_1(3) = 1.5$$，乙盒$$E_2(3) = 2.5$$，$$E_1(3) < E_2(3)$$。

选项D错误，答案为$$\boxed{D}$$。

7. 解析：

甲组9人，丙组6人，共15人。随机抽2人，$$X$$为甲组人数，服从超几何分布：

$$E(X) = 2 \times \frac{9}{15} = \frac{18}{15} = \frac{6}{5}$$。

答案为$$\boxed{D}$$。

8. 解析：

由分布列性质$$x + 4x + 5x = 1$$，解得$$x = 0.1$$。

- $$E(X) = 0 \times 0.1 + 1 \times 0.4 + 2 \times 0.5 = 1.4$$。

- $$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 0 \times 0.1 + 1 \times 0.4 + 4 \times 0.5 - 1.4^2 = 2.4 - 1.96 = 0.44$$。

答案为$$\boxed{C}$$。

9. 解析：

由分布列性质$$\frac{1}{2} - p + p + \frac{1}{2} = 1$$，$$p \in [0, \frac{1}{2}]$$。

$$E(\xi) = 0 \times (\frac{1}{2} - p) + 1 \times p + 2 \times \frac{1}{2} = p + 1$$。

当$$p = \frac{1}{2}$$时，$$E(\xi)$$最大为$$\frac{3}{2}$$。

答案为$$\boxed{B}$$。

10. 解析：

两道判断题正确概率$$\frac{1}{2}$$，单选题正确概率$$\frac{1}{3}$$。

$$E(\xi) = 2 \times \frac{1}{2} + 1 \times \frac{1}{3} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$$。

答案为$$\boxed{B}$$。

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