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正确率40.0%已知$$0 < k < 1， \; 0 < x < 1，$$随机变量$${{X}}$$的分布列为
| $${{X}}$$ | $${{0}}$$ | $${{2}{x}}$$ | $${{4}{\sqrt {{1}{−}{{x}^{2}}}}}$$ |
| $${{P}}$$ | $${{k}}$$ | $$\frac{1} {2}$$ | $$\frac{1} {4}$$ |
A
A.$${{1}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{9}{−}{\sqrt {2}}}$$
2、['离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率60.0%已知某$${{7}}$$个数据的数学期望为$${{6}{，}}$$方差为$${{4}{，}}$$现又加入一个新数据$${{6}{，}}$$此时这$${{8}}$$个数据的数学期望记为$$E ( X )，$$方差记为$$D ( X )，$$则（）
B
A.$$E ( X )=6， \， \， \， D ( X ) > 4$$
B.$$E ( X )=6， \， \， \， D ( X ) < \， 4$$
C.$$E ( X ) < ~ 6， ~ D ( X ) > 4$$
D.$$E ( X ) < 6， \， \， D ( X ) < 4$$
3、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率60.0%随机变量$${{ξ}}$$的分布列如下表，若$$E ( \xi)=0，$$则$$D ( \xi)=$$（）
| $${{ξ}}$$ | $${{−}{3}}$$ | $${{0}}$$ | $${{3}}$$ |
| $${{P}}$$ | $$\frac{1} {3}$$ | $${{a}}$$ | $${{b}}$$ |
A
A.$${{6}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{0}}$$
D.$${\sqrt {6}}$$
4、['离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率60.0%已知$$0 < a < \frac{1} {2}，$$随机变量$${{ξ}}$$的分布列如下表：
| $${{ξ}}$$ | $${{−}{1}}$$ | $${{0}}$$ | $${{1}}$$ |
| $${{P}}$$ | $$\frac{1} {2}$$ | $$\frac{1} {2}-a$$ | $${{a}}$$ |
D
A.$${{E}{(}{ξ}{)}}$$减小$$， ~ D ( \xi)$$减小
B.$${{E}{(}{ξ}{)}}$$减小$$， ~ D ( \xi)$$增大
C.$${{E}{(}{ξ}{)}}$$增大$$， ~ D ( \xi)$$减小
D.$${{E}{(}{ξ}{)}}$$增大$$， ~ D ( \xi)$$增大
5、['离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率60.0%学号分别为$$1， ~ 2， ~ 3$$的三位小学生在课余时间一起玩“掷骰子爬楼梯”游戏，规则如下：投掷一颗骰子，将每次出现的点数除以$${{3}{，}}$$若学号与之同余(同除以$${{3}}$$余数相同)，则该小学生可以上$${{2}}$$阶楼梯，另外两位只能上$${{1}}$$阶楼梯.假定他们都是从平地$${{(}{0}}$$阶楼梯)开始向上爬，且楼梯阶数足够多.若经过$${{2}}$$次投掷骰子后，学号为$${{1}}$$的小学生站在第$${{X}}$$阶楼梯上，则$${{X}}$$的方差为（）
C
A.$$\frac{8} {2}$$
B.$$\frac{6 8} {9}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{4} {9}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{4} {3}$$
6、['离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率60.0%随机变量$${{ξ}}$$的分布列如下表，则$${{p}}$$在$$( 0， 0. 5 )$$上增大时，$${{D}{(}{ξ}{)}}$$的变化是（）
| $${{ξ}}$$ | $${{1}}$$ | $${{2}}$$ | $${{3}}$$ | $${{4}}$$ |
| $${{P}}$$ | $${{p}}$$ | $$0. 5-p$$ | $$0. 5-p$$ | $${{p}}$$ |
A
A.一直增大
B.一直减小
C.先增大后减小
D.先减小后增大
7、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率60.0%已知随机变量$${{X}{，}{Y}}$$满足$$Y=2 X+1，$$且随机变量$${{X}}$$的分布列为
| $${{X}}$$ | $${{0}}$$ | $${{1}}$$ | $${{2}}$$ |
| $${{P}}$$ | $$\frac{1} {6}$$ | $$\frac{1} {3}$$ | $${{a}}$$ |
B
A.$$\begin{array} {l l} {5} \\ {\frac{5} {9}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{2 0} {9}$$
C.$$\frac{4} {3}$$
D.$$\frac{2 9} {9}$$
8、['离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率40.0%设$$a， ~ b， ~ c$$是不全相等的实数，随机变量$${{ξ}}$$取值为$$a， ~ b， ~ c$$的概率都是$$\frac{1} {3}，$$随机变量$${{η}}$$取值为$$\frac{a+b} {2}， \ \frac{b+c} {2}， \ \frac{c+a} {2}$$的概率也都是$$\frac{1} {3}，$$则（）
B
A.$$E \xi< E \eta， ~ ~ D \xi< D \eta$$
B.$$E \xi=E \eta， \， \， \， D \xi> D \eta$$
C.$$E \xi< E \eta， ~ ~ D \xi=D \eta$$
D.$$E \xi=E \eta， ~ ~ D \xi=D \eta$$
9、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差'， '二次函数的图象分析与判断']正确率60.0%若随机变量$${{X}}$$的分布列为$$P ( X=m )=\frac{1} {3}， \， \， P ( X=n )=a.$$若$$E ( X )=2，$$则$${{D}{(}{X}{)}}$$的最小值为（）
A
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{2}}$$
10、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差'， '函数单调性的判断'， '二次函数的图象分析与判断']正确率40.0%设$$0 < P < \frac{1} {2}$$，互相独立的两个随机变量$${{ξ}_{1}{，}{{ξ}_{2}}}$$的分布列如表：
| $${{ξ}_{1}}$$ | $${{0}}$$ | $${{1}}$$ |
| $${{P}}$$ | $$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$ | $$\frac{1} {3}$$ |
| $${{ξ}_{2}}$$ | $${{−}{1}}$$ | $${{1}}$$ |
| $${{P}}$$ | $${{1}{−}{p}}$$ | $${{p}}$$ |
D
A.$$E \ ( \ \xi_{1} \cdot\xi_{2} )$$减小，$$D \ ( \xi_{1} \cdot\xi_{2} )$$减小
B.$$E \ ( \ \xi_{1} \cdot\xi_{2} )$$减小，$$D \ ( \xi_{1} \cdot\xi_{2} )$$增大
C.$$E \ ( \ \xi_{1} \cdot\xi_{2} )$$增大，$$D \ ( \xi_{1} \cdot\xi_{2} )$$减小
D.$$E \ ( \ \xi_{1} \cdot\xi_{2} )$$增大，$$D \ ( \xi_{1} \cdot\xi_{2} )$$增大
1. 首先计算期望 $$E(X)$$：
$$E(X) = 0 \times k + 2x \times \frac{1}{2} + 4\sqrt{1-x^2} \times \frac{1}{4} = x + \sqrt{1-x^2}$$
为求最大值，设 $$f(x) = x + \sqrt{1-x^2}$$，求导得：
$$f'(x) = 1 - \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$$
令导数为零，解得 $$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$，此时 $$E(X)$$ 取得最大值 $$\sqrt{2}$$。
计算方差 $$D(X)$$：
$$E(X^2) = 0^2 \times k + (2x)^2 \times \frac{1}{2} + (4\sqrt{1-x^2})^2 \times \frac{1}{4} = 2x^2 + 4(1-x^2) = 4 - 2x^2$$
当 $$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ 时，$$E(X^2) = 4 - 2 \times \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 3$$
所以 $$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 3 - (\sqrt{2})^2 = 1$$，故选 A。
2. 原 7 个数据的期望为 6，加入新数据 6 后，新期望仍为 6，即 $$E(X) = 6$$。
原方差为 4，加入一个等于期望的数据 6，方差会减小，即 $$D(X) < 4$$，故选 B。
3. 由分布列性质得 $$\frac{1}{3} + a + b = 1$$，即 $$a + b = \frac{2}{3}$$。
由期望 $$E(\xi) = -3 \times \frac{1}{3} + 0 \times a + 3 \times b = 0$$，解得 $$b = \frac{1}{3}$$，$$a = \frac{1}{3}$$。
计算方差：
$$E(\xi^2) = (-3)^2 \times \frac{1}{3} + 0^2 \times \frac{1}{3} + 3^2 \times \frac{1}{3} = 6$$
$$D(\xi) = E(\xi^2) - [E(\xi)]^2 = 6 - 0 = 6$$，故选 A。
4. 计算期望 $$E(\xi)$$：
$$E(\xi) = -1 \times \frac{1}{2} + 0 \times \left(\frac{1}{2} - a\right) + 1 \times a = -\frac{1}{2} + a$$
随着 $$a$$ 增大，$$E(\xi)$$ 增大。
计算方差 $$D(\xi)$$：
$$E(\xi^2) = (-1)^2 \times \frac{1}{2} + 0^2 \times \left(\frac{1}{2} - a\right) + 1^2 \times a = \frac{1}{2} + a$$
$$D(\xi) = E(\xi^2) - [E(\xi)]^2 = \frac{1}{2} + a - \left(-\frac{1}{2} + a\right)^2 = \frac{3}{4} - \left(a - \frac{1}{2}\right)^2$$
当 $$a$$ 增大时，$$D(\xi)$$ 先增大后减小，但在 $$0 < a < \frac{1}{2}$$ 范围内单调递增，故选 D。
5. 每次投掷骰子，学号为 1 的学生有 $$\frac{1}{3}$$ 概率上 2 阶，$$\frac{2}{3}$$ 概率上 1 阶。
设 $$X_i$$ 为第 $$i$$ 次投掷后的阶数增量，则 $$X = X_1 + X_2$$。
单次期望 $$E(X_i) = 2 \times \frac{1}{3} + 1 \times \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$$
单次方差 $$D(X_i) = \left(2 - \frac{4}{3}\right)^2 \times \frac{1}{3} + \left(1 - \frac{4}{3}\right)^2 \times \frac{2}{3} = \frac{2}{9}$$
由于两次投掷独立，$$D(X) = 2 \times \frac{2}{9} = \frac{4}{9}$$，故选 C。
6. 计算期望 $$E(\xi)$$：
$$E(\xi) = 1 \times p + 2 \times (0.5 - p) + 3 \times (0.5 - p) + 4 \times p = 2.5$$
计算方差 $$D(\xi)$$：
$$E(\xi^2) = 1^2 \times p + 2^2 \times (0.5 - p) + 3^2 \times (0.5 - p) + 4^2 \times p = 7.5 - 4p$$
$$D(\xi) = E(\xi^2) - [E(\xi)]^2 = 7.5 - 4p - 6.25 = 1.25 - 4p$$
当 $$p$$ 增大时，$$D(\xi)$$ 单调减小，故选 B。
7. 首先确定 $$a = \frac{1}{2}$$，使得概率和为 1。
计算 $$E(X)$$ 和 $$D(X)$$：
$$E(X) = 0 \times \frac{1}{6} + 1 \times \frac{1}{3} + 2 \times \frac{1}{2} = \frac{4}{3}$$
$$E(X^2) = 0^2 \times \frac{1}{6} + 1^2 \times \frac{1}{3} + 2^2 \times \frac{1}{2} = \frac{7}{3}$$
$$D(X) = \frac{7}{3} - \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{5}{9}$$
由于 $$Y = 2X + 1$$，$$D(Y) = 4D(X) = \frac{20}{9}$$，故选 B。
8. 计算期望：
$$E(\xi) = \frac{a + b + c}{3}$$
$$E(\eta) = \frac{\frac{a+b}{2} + \frac{b+c}{2} + \frac{c+a}{2}}{3} = \frac{a + b + c}{3}$$
所以 $$E(\xi) = E(\eta)$$。
计算方差：
$$D(\xi) = \frac{(a - \mu)^2 + (b - \mu)^2 + (c - \mu)^2}{3}$$
$$D(\eta) = \frac{\left(\frac{a+b}{2} - \mu\right)^2 + \left(\frac{b+c}{2} - \mu\right)^2 + \left(\frac{c+a}{2} - \mu\right)^2}{3}$$
其中 $$\mu = \frac{a + b + c}{3}$$。通过代数运算可得 $$D(\xi) \geq D(\eta)$$，当且仅当 $$a = b = c$$ 时取等，故选 B。
9. 由概率和为 1 得 $$a = \frac{2}{3}$$。
由期望 $$E(X) = m \times \frac{1}{3} + n \times \frac{2}{3} = 2$$，得 $$m + 2n = 6$$。
计算方差：
$$D(X) = (m - 2)^2 \times \frac{1}{3} + (n - 2)^2 \times \frac{2}{3}$$
由 $$m = 6 - 2n$$，代入得：
$$D(X) = (4 - 2n)^2 \times \frac{1}{3} + (n - 2)^2 \times \frac{2}{3}$$
展开并化简得 $$D(X) = 2n^2 - 8n + 8$$，最小值为 0（当 $$n = 2$$ 时），故选 A。
10. 计算 $$E(\xi_1 \cdot \xi_2)$$：
$$E(\xi_1 \cdot \xi_2) = E(\xi_1) \cdot E(\xi_2) = \frac{1}{3} \cdot ( -1 \times (1 - p) + 1 \times p ) = \frac{2p - 1}{3}$$
当 $$p$$ 增大时，$$E(\xi_1 \cdot \xi_2)$$ 增大。
计算 $$D(\xi_1 \cdot \xi_2)$$：
$$D(\xi_1 \cdot \xi_2) = E(\xi_1^2 \cdot \xi_2^2) - [E(\xi_1 \cdot \xi_2)]^2$$
由于 $$\xi_1^2$$ 和 $$\xi_2^2$$ 独立，$$E(\xi_1^2 \cdot \xi_2^2) = E(\xi_1^2) \cdot E(\xi_2^2) = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}$$
$$D(\xi_1 \cdot \xi_2) = \frac{1}{3} - \left(\frac{2p - 1}{3}\right)^2$$
当 $$p$$ 增大时，$$D(\xi_1 \cdot \xi_2)$$ 减小，故选 C。