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正确率60.0%已知随机变量$${{X}}$$～$${{B}{(}{n}{，}{p}{)}{，}}$$随机变量$${{Y}{=}{3}{X}{+}{1}{，}}$$若$${{E}{(}{Y}{)}{=}{7}{，}{D}{(}{Y}{)}{=}{{1}{2}}{，}}$$则$${{p}{=}}$$（）
B
A.$$\frac{1} {6}$$
B.$$\frac{1} {3}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
2、['离散型随机变量的方差的性质'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率60.0%已知袋子中有除颜色外完全相同的$${{4}}$$个红球和$${{8}}$$个白球，现从中有放回地摸球$${{8}}$$次（每次摸出一个球，放回后再进行下一次摸球），规定每次摸出红球计$${{3}}$$分，摸出白球计$${{0}}$$分，记随机变量$${{X}}$$表示摸球$${{8}}$$次后的总分值，则$${{D}{(}{X}{)}{=}}$$（）
D
A.$${{8}}$$
B.$$\frac{1 6} {9}$$
C.$$\frac{1 6} {3}$$
D.$${{1}{6}}$$
3、['方差与标准差'， '离散型随机变量的方差的性质'， '离散型随机变量的均值的性质']正确率60.0%设样本$$x_{1}， ~ ~ x_{2}， ~ ~ x_{3}， ~ ~ \dots， ~ ~ x_{1 9}， ~ ~ x_{2 0}$$的平均数和方差分别为$${{2}}$$和$${{8}{，}}$$若$${{y}_{i}{=}{2}{{x}_{i}}{+}{m}{(}{m}}$$为非零常数，$${{i}{=}{1}{，}{2}{，}{3}{，}{…}{，}{{1}{9}}{，}{{2}{0}}{)}}$$，则$$y_{1}， y_{2}， y_{3}， \dots， y_{1 9}， ~ y_{2 0}$$的平均数和标准差分别为（）
B
A.$${{2}{+}{m}{，}{{3}{2}}}$$
B.$${{4}{+}{m}{，}{4}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{2}{+}{m}{，}{4}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{4}{+}{m}{，}{{3}{2}}}$$
4、['二项分布与n重伯努利试验'， '二项分布的期望和方差'， '离散型随机变量的方差的性质']正确率60.0%设随机变量$${{X}}$$，$${{Y}}$$满足：$${{Y}{=}{3}{X}{−}{1}}$$，$${{X}{∼}{B}{(}{2}{，}{p}{)}}$$，若$$P ( X \geqslant1 )=\frac{5} {9}$$，则$${{D}{(}{Y}{)}{=}}$$（）
C
A.$${{3}}$$
B.$$\frac{1} {3}$$
C.$${{4}}$$
D.$$\frac{4} {3}$$
5、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的方差的性质'， '离散型随机变量的均值的性质']正确率40.0%设$${{0}{<}{p}{<}{1}{，}}$$随机变量$${{ξ}}$$的分布列是
| $${{ξ}}$$ | $${{0}}$$ | $${{1}}$$ | $${{2}}$$ |
| $${{P}}$$ | $$\frac{1} {2}$$ | $$\frac{p} {2}$$ | $$\frac{1-p} {2}$$ |
A
A.$${{E}{(}{ξ}{)}}$$减小$${，{D}{(}{ξ}{)}}$$减小
B.$${{E}{(}{ξ}{)}}$$减小$${，{D}{(}{ξ}{)}}$$增大
C.$${{E}{(}{ξ}{)}}$$增大$${，{D}{(}{ξ}{)}}$$减小
D.$${{E}{(}{ξ}{)}}$$增大$${，{D}{(}{ξ}{)}}$$增大
6、['离散型随机变量的方差的性质'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率40.0%设数据$${{a}_{1}{，}{{a}_{2}}{，}{{a}_{3}}{，}{{a}_{4}}{，}{{a}_{5}}}$$的方差为$${{1}}$$，则数据$${{2}{{a}_{1}}{+}{1}{，}{2}{{a}_{2}}{+}{1}{，}{2}{{a}_{3}}{+}{1}{，}{2}{{a}_{4}}{+}{1}{，}{2}{{a}_{5}}{+}{1}}$$的方差为
C
A.$${{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{5}}$$
7、['决定系数R^2'， '独立性检验及其应用'， '离散型随机变量的方差的性质'， '样本相关系数与相关程度']正确率60.0%以下四个说法中正确的是（）
D
A.对分类变量$${{x}}$$与$${{y}}$$的随机变量$${{χ}^{2}}$$来说$${，{{χ}^{2}}}$$越小，判断“$${{x}}$$与$${{y}}$$有关系”犯错误的概率越小
B.两个随机变量的线性相关程度越强，样本相关系数的绝对值越接近于$${{0}}$$
C.若数据$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}{，}{{x}_{3}}{，}{…}{，}{{x}_{n}}}$$的方差为$${{1}{，}}$$则$${{2}{{x}_{1}}{，}{2}{{x}_{2}}{，}{2}{{x}_{3}}{，}{…}{，}{2}{{x}_{n}}}$$的方差为$${{2}}$$
D.在回归分析中，可用相关指数$${{R}^{2}}$$的值判断模型的拟合效果$${，{{R}^{2}}}$$越大，模型的拟合效果越好
8、['离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差的性质'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率40.0%随机变量$${{X}}$$的分布列如下表，且$${{E}{(}{X}{)}{=}{2}}$$，
| $${{X}}$$ | $${{0}}$$ | $${{2}}$$ | $${{a}}$$ |
| $${{P}}$$ | | $${{p}}$$ | |
则$${{D}{(}{2}{X}{−}{3}{)}{=}{（}}$$）
C
A.$${{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{5}}$$
10、['离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差的性质'， '离散型随机变量的方差、标准差'， '离散型随机变量的均值的性质']正确率60.0%随机变量$${{X}}$$的分布列如表所示，若$$E ( 7 X )+1=\frac{1 0} {3}$$，则$${{D}{(}{2}{X}{)}{=}}$$（）
| $${{X}}$$ | $${{−}{1}}$$ | $${{0}}$$ | $${{1}}$$ |
| $${{P}}$$ | $$\frac{1} {6}$$ | $${{a}}$$ | $${{b}}$$ |
B
A.$$\frac{1 0} {9}$$
B.$$\frac{2 0} {9}$$
C.$$\frac{4 0} {9}$$
D.$$\frac{2 0} {3}$$
1. 解析：
已知 $$X \sim B(n, p)$$，则 $$E(X) = np$$，$$D(X) = np(1-p)$$。
由 $$Y = 3X + 1$$，得 $$E(Y) = 3E(X) + 1 = 7$$，解得 $$E(X) = 2$$，即 $$np = 2$$。
又 $$D(Y) = 9D(X) = 12$$，解得 $$D(X) = \frac{4}{3}$$，即 $$np(1-p) = \frac{4}{3}$$。
代入 $$np = 2$$，得 $$2(1-p) = \frac{4}{3}$$，解得 $$p = \frac{1}{3}$$。
答案：B
2. 解析：
每次摸球得分的概率为 $$P(\text{红球}) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$$，$$P(\text{白球}) = \frac{2}{3}$$。
设单次摸球得分为 $$Z$$，则 $$Z$$ 的方差为 $$D(Z) = E(Z^2) - [E(Z)]^2 = 3^2 \times \frac{1}{3} - \left(3 \times \frac{1}{3}\right)^2 = 2$$。
由于摸球独立进行 $$8$$ 次，$$X$$ 的方差为 $$8 \times D(Z) = 16$$。
答案：D
3. 解析：
原样本的平均数为 $$2$$，方差为 $$8$$。
新样本 $$y_i = 2x_i + m$$，则新平均数为 $$2 \times 2 + m = 4 + m$$。
方差为 $$2^2 \times 8 = 32$$，标准差为 $$\sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$。
答案：B
4. 解析：
由 $$X \sim B(2, p)$$，$$P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1-p)^2 = \frac{5}{9}$$，解得 $$p = \frac{1}{3}$$。
$$D(X) = 2 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$$。
$$Y = 3X - 1$$，则 $$D(Y) = 9D(X) = 4$$。
答案：C
5. 解析：
$$E(\xi) = 0 \times \frac{1}{2} + 1 \times \frac{p}{2} + 2 \times \frac{1-p}{2} = \frac{p + 2 - 2p}{2} = 1 - \frac{p}{2}$$。
$$E(\xi^2) = 0^2 \times \frac{1}{2} + 1^2 \times \frac{p}{2} + 2^2 \times \frac{1-p}{2} = \frac{p + 4 - 4p}{2} = 2 - \frac{3p}{2}$$。
$$D(\xi) = E(\xi^2) - [E(\xi)]^2 = 2 - \frac{3p}{2} - \left(1 - \frac{p}{2}\right)^2 = 1 - p + \frac{p^2}{4}$$。
当 $$p$$ 增大时，$$E(\xi)$$ 减小；$$D(\xi)$$ 在 $$p \in (0,1)$$ 内先减小后增大，但题目描述为整体趋势，故选 B。
答案：B
6. 解析：
原数据方差为 $$1$$，线性变换 $$2a_i + 1$$ 的方差为 $$2^2 \times 1 = 4$$。
答案：C
7. 解析：
A 错误，$$\chi^2$$ 越小，犯错误的概率越大。
B 错误，线性相关程度越强，相关系数绝对值越接近 $$1$$。
C 错误，方差应为 $$4$$。
D 正确，$$R^2$$ 越大，拟合效果越好。
答案：D
8. 解析：
由分布列得 $$E(X) = 0 \times \frac{1}{6} + 2 \times p + a \times \frac{1}{3} = 2$$，且概率和为 $$1$$，即 $$\frac{1}{6} + p + \frac{1}{3} = 1$$，解得 $$p = \frac{1}{2}$$，$$a = 6$$。
$$E(X^2) = 0^2 \times \frac{1}{6} + 2^2 \times \frac{1}{2} + 6^2 \times \frac{1}{3} = 14$$，$$D(X) = 14 - 2^2 = 10$$。
$$D(2X - 3) = 4D(X) = 40$$。
答案：C
10. 解析：
由 $$E(7X) + 1 = \frac{10}{3}$$，得 $$7E(X) = \frac{7}{3}$$，即 $$E(X) = \frac{1}{3}$$。
由分布列得 $$E(X) = -1 \times \frac{1}{6} + 0 \times a + 1 \times b = \frac{1}{3}$$，且 $$\frac{1}{6} + a + b = 1$$，解得 $$a = \frac{1}{2}$$，$$b = \frac{1}{3}$$。
$$E(X^2) = (-1)^2 \times \frac{1}{6} + 0^2 \times \frac{1}{2} + 1^2 \times \frac{1}{3} = \frac{1}{2}$$，$$D(X) = \frac{1}{2} - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{5}{18}$$。
$$D(2X) = 4D(X) = \frac{10}{9}$$。
答案：A