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正确率60.0%下列说法正确的是（）
D
A.离散型随机变量$${{X}}$$的均值$${{E}{X}}$$反映了$${{X}}$$取值的波动水平
B.离散型随机变量$${{X}}$$的方差$${{D}{X}}$$反映了$${{X}}$$取值的变化趋势
C.离散型随机变量$${{X}}$$的方差$${{D}{X}}$$反映了$${{X}}$$取值的平均水平
D.离散型随机变量$${{X}}$$的方差$${{D}{X}}$$反映了$${{X}}$$取值的波动水平
2、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率40.0%已知$${{0}{<}{k}{<}{1}{，}{0}{<}{x}{<}{1}{，}}$$随机变量$${{X}}$$的分布列为
| $${{X}}$$ | $${{0}}$$ | $${{2}{x}}$$ | $${{4}{\sqrt {{1}{−}{{x}^{2}}}}}$$ |
| $${{P}}$$ | $${{k}}$$ | $$\frac{1} {2}$$ | $$\frac{1} {4}$$ |
A
A.$${{1}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{9}{−}{\sqrt {2}}}$$
3、['超几何分布'， '离散型随机变量的均值或数学期望']正确率40.0%已知一个盒子里装有大小、质地完全相同的$${{5}}$$个红球和$${{3}}$$个白球，从中依次不放回地取出$${{3}}$$个球，则取出的这$${{3}}$$个球中白球个数的数学期望是（）
D
A.$$\frac{7} {8}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{1}}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\underset{\frac{9} {8}}} \\ \end{array}$$
4、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的均值或数学期望']正确率40.0%$${{6}}$$个电子产品中有$${{2}}$$个次品，$${{4}}$$个合格品，每次从中任取一个测试，测试完后不放回，直到两个次品都找到为止，那么测试次数$${{X}}$$的均值为（）
D
A.$$\frac{1 7} {1 5}$$
B.$$\frac{1 1} {1 5}$$
C.$$\frac{5} {3}$$
D.$$\frac{6 4} {1 5}$$
5、['离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率60.0%若随机变量$${{ξ}}$$的分布列为
| $${{ξ}}$$ | $${{0}}$$ | $${{1}}$$ |
| $${{P}}$$ | $${{m}}$$ | $${{n}}$$ |
C
A.$${{E}{（}{ξ}{）}{=}{m}{，}{D}{（}{ξ}{）}{=}{{n}^{3}}}$$
B.$${{E}{（}{ξ}{）}{=}{n}{，}{D}{（}{ξ}{）}{=}{{n}^{2}}}$$
C.$${{E}{（}{ξ}{）}{=}{1}{−}{m}{，}{D}{（}{ξ}{）}{=}{m}{−}{{m}^{2}}}$$
D.$${{E}{（}{ξ}{）}{=}{1}{−}{m}{，}{D}{（}{ξ}{）}{=}{{m}^{2}}}$$
6、['正态分布及概率密度函数'， '离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率40.0%已知：$${{X}{∼}{N}{(}{μ}{，}{{δ}^{2}}{)}}$$，且$${{E}{X}{=}{5}{，}{D}{X}{=}{4}}$$，则$${{P}{(}{3}{<}{x}{⩽}{7}{)}{≈}{(}{)}}$$
C
A.$${{0}{.}{0}{4}{5}{6}}$$
B.$${{0}{.}{5}{0}}$$
C.$${{0}{.}{6}{8}{2}{6}}$$
D.$${{0}{.}{9}{5}{4}{4}}$$
7、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的均值或数学期望']正确率60.0%已知$${{ξ}}$$的分布列为
| $${{ξ}}$$ | $${{−}{1}}$$ | $${{0}}$$ | $${{1}}$$ |
| $${{p}}$$ | $$\frac{1} {2}$$ | $$\frac{1} {3}$$ | $$\frac{1} {6}$$ |
B
A.$${{4}}$$
B.$$\frac{7} {3}$$
C.$$\frac{5} {3}$$
D.$${{1}}$$
8、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的均值或数学期望']正确率60.0%下表为随机变量$${{ξ}}$$的分布列，$${{c}{=}{2}{a}}$$，则$${{E}{(}{ξ}{)}}$$的值为（）
| $${{ξ}}$$ | $${{−}{1}}$$ | $${{1}}$$ | $${{2}}$$ |
| $${{P}}$$ | $${{a}}$$ | | $${{c}}$$ |
A
A.$${{1}}$$
B.$$\frac{1} {4}$$
C.$$\frac{9} {4}$$
D.$$\frac{3} {4}$$
9、['离散型随机变量的均值或数学期望']正确率40.0%已知袋中有$${{3}}$$个白球，$${{2}}$$个红球，现从中随机取出$${{3}}$$个球，其中每个白球计$${{1}}$$分，每个红球计$${{2}}$$分，记$${{X}}$$为取出$${{3}}$$个球的总分值，则$${{E}{(}{X}{)}{=}}$$（）
B
A.$$\frac{1 8} {5}$$
B.$$\frac{2 1} {5}$$
C.$${{4}}$$
D.$$\frac{2 4} {5}$$
10、['离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率60.0%一批产品的二等品率为$${{0}{.}{4}}$$，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取$${{1}{0}{0}}$$次，$${{X}}$$表示抽到的二等品件数，则方差$${{D}{(}{X}{)}{=}}$$
C
A.$${{4}{0}}$$
B.$${{6}{0}}$$
C.$${{2}{4}}$$
D.$${{5}{0}}$$
1. 选项D正确。离散型随机变量的方差$$D(X)$$反映的是$$X$$取值的波动水平，均值$$E(X)$$反映的是平均水平。A、B、C的描述均不正确。
2. 首先计算期望$$E(X)$$： $$E(X) = 0 \cdot k + 2x \cdot \frac{1}{2} + 4\sqrt{1-x^2} \cdot \frac{1}{4} = x + \sqrt{1-x^2}$$ 求导并令导数为0，得到$$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$时$$E(X)$$最大。此时： $$E(X) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$$ 计算方差$$D(X)$$： $$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = (0 \cdot k + (2x)^2 \cdot \frac{1}{2} + (4\sqrt{1-x^2})^2 \cdot \frac{1}{4}) - (\sqrt{2})^2 = 2x^2 + 4(1-x^2) - 2 = 2$$ 但选项中没有2，重新检查计算过程： $$E(X^2) = 0 \cdot k + 4x^2 \cdot \frac{1}{2} + 16(1-x^2) \cdot \frac{1}{4} = 2x^2 + 4 - 4x^2 = 4 - 2x^2$$ 当$$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$时： $$E(X^2) = 4 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 3$$ $$D(X) = 3 - (\sqrt{2})^2 = 1$$ 因此正确答案是A。
3. 设白球个数为$$X$$，则$$X$$服从超几何分布，期望为： $$E(X) = 3 \cdot \frac{3}{8} = \frac{9}{8}$$ 选项D正确。
4. 测试次数$$X$$的可能取值为2,3,4,5,6。计算期望： $$E(X) = 2 \cdot \frac{2}{6} \cdot \frac{1}{5} + 3 \cdot \left(\frac{2}{6} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{4} + \frac{4}{6} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4}\right) + \cdots$$ 更简单的方法是使用线性期望的性质： $$E(X) = \frac{6+1}{2+1} = \frac{7}{3}$$ 选项C正确。
5. 由分布列性质$$m + n = 1$$，所以： $$E(\xi) = 0 \cdot m + 1 \cdot n = n = 1 - m$$ $$D(\xi) = E(\xi^2) - [E(\xi)]^2 = n - n^2 = n(1 - n) = m(1 - m) = m - m^2$$ 选项C正确。
6. $$X \sim N(5,4)$$，则$$P(3 < X \leq 7) = P(-1 < \frac{X-5}{2} \leq 1) \approx 0.6826$$ 选项C正确。
7. 先计算$$E(\xi)$$： $$E(\xi) = -1 \cdot \frac{1}{2} + 0 \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \frac{1}{6} = -\frac{1}{3}$$ 则$$E(\eta) = 2E(\xi) + 3 = 2 \cdot (-\frac{1}{3}) + 3 = \frac{7}{3}$$ 选项B正确。
8. 由分布列性质$$a + \frac{1}{4} + c = 1$$且$$c = 2a$$，解得$$a = \frac{1}{4}$$，$$c = \frac{1}{2}$$。 计算期望： $$E(\xi) = -1 \cdot \frac{1}{4} + 1 \cdot \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$$ 选项D正确。
9. 设$$X$$为总分值，则$$X$$的可能取值为3,4,5。计算期望： $$E(X) = 3 \cdot \frac{C(3,3)}{C(5,3)} + 4 \cdot \frac{C(3,2)C(2,1)}{C(5,3)} + 5 \cdot \frac{C(3,1)C(2,2)}{C(5,3)} = \frac{21}{5}$$ 选项B正确。
10. $$X \sim B(100,0.4)$$，方差为： $$D(X) = 100 \cdot 0.4 \cdot 0.6 = 24$$ 选项C正确。