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正确率60.0%某同学参加学校篮球选修课的期末考试，老师规定每个同学罚篮$${{2}{0}}$$次，每罚进一球得$${{5}}$$分，不进记$${{0}}$$分，已知该同学罚球命中率为$${{6}{0}{%}{，}}$$则该同学得分的期望和方差分别为（）
D
A.$${{6}{0}{，}{{2}{4}}}$$
B.$${{8}{0}{，}{{1}{2}{0}}}$$
C.$${{8}{0}{，}{{2}{4}}}$$
D.$${{6}{0}{，}{{1}{2}{0}}}$$
2、['离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的均值的性质']正确率60.0%已知随机变量$${{X}}$$的分布列为
| $${{X}}$$ | $${{−}{1}}$$ | $${{0}}$$ | $${{1}}$$ |
| $${{P}}$$ | $$\frac{1} {2}$$ | $$\frac{1} {6}$$ | $${{a}}$$ |
C
A.$$- \frac{1} {6}$$
B.$$\frac{1} {6}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
D.$$- \frac2 3$$
3、['二项分布的期望和方差'， '离散型随机变量的均值的性质']正确率40.0%从一批含有$${{1}{3}}$$件正品、$${{2}}$$件次品的产品中不放回地抽取$${{3}}$$次，每次抽取$${{1}}$$件，设抽取的次品数为$${{ξ}{，}}$$则$$E ( 5 \xi+1 )=$$（）
C
A.$${{2}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
4、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的均值的性质']正确率60.0%随机变量$${{X}}$$的分布列如下表所示，则$$E ( 2 X-1 )=$$（）
| $${{X}}$$ | $${{−}{2}}$$ | $${{−}{1}}$$ | $${{1}}$$ |
| $${{P}}$$ | $$\frac{1} {6}$$ | $${{a}}$$ | $$\frac{1} {3}$$ |
D
A.$${{0}}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$
C.$${{−}{1}}$$
D.$${{−}{2}}$$
5、['二项分布的期望和方差'， '离散型随机变量的方差的性质'， '离散型随机变量的均值的性质']正确率60.0%已知随机变量$$\xi\sim B ( 1 2$$，$${{p}{)}}$$，且$$E ( 2 \xi-3 )=5$$，则$$D ( 3 \xi)=$$（）
D
A.$$\frac{8} {2}$$
B.$${{8}}$$
C.$${{2}{2}}$$
D.$${{2}{4}}$$
6、['二项分布的期望和方差'， '离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差的性质'， '离散型随机变量的方差、标准差'， '离散型随机变量的均值的性质']正确率40.0%一台仪器每启动一次都随机地出现一个$${{3}}$$位的二进制数$$A=\boxed{a_{1}} ~ ~ \boxed{a_{2}} ~ ~ \boxed{a_{3}}$$，其中$${{A}}$$的各位数字中，$$a_{k} \left( k=1， 2， 3 \right)$$出现$${{0}}$$的概率为$$\frac{1} {3}，$$出现$${{1}}$$的概率为$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$.若启动一次出现的数字为$${{1}{0}{0}{，}}$$则称这次试验成功.若成功一次得$${{2}}$$分，失败一次得$${{−}{1}}$$分，则$${{8}{1}}$$次这样的重复试验的总得分$${{X}}$$的数学期望和方差分别为（）
B
A.$$- 6 3， ~ \frac{5 0} {9}$$
B.$${{−}{{6}{3}}{，}{{5}{0}}}$$
C.$$6， ~ \frac{5 0} {9}$$
D.$${{6}{，}{{5}{0}}}$$
7、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的方差的性质'， '离散型随机变量的均值的性质']正确率40.0%设$$0 < \; p < \; 1，$$随机变量$${{ξ}}$$的分布列是
| $${{ξ}}$$ | $${{0}}$$ | $${{1}}$$ | $${{2}}$$ |
| $${{P}}$$ | $$\frac{1} {2}$$ | $$\frac{p} {2}$$ | $$\frac{1-p} {2}$$ |
A
A.$${{E}{(}{ξ}{)}}$$减小$$， ~ D ( \xi)$$减小
B.$${{E}{(}{ξ}{)}}$$减小$$， ~ D ( \xi)$$增大
C.$${{E}{(}{ξ}{)}}$$增大$$， ~ D ( \xi)$$减小
D.$${{E}{(}{ξ}{)}}$$增大$$， ~ D ( \xi)$$增大
8、['离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差'， '离散型随机变量的均值的性质']正确率60.0%设随机变量$${{ξ}}$$的取值为$$0， ~ 1， ~ 2$$．若$$P ~ ( \xi=0 ) ~={\frac{1} {5}}， ~ E ~ ( \xi) ~=1$$，则$$D \left( \xi\right) \ =\ ($$）
B
A.$$\frac{1} {5}$$
B.$$\frac{2} {5}$$
C.$$\frac{3} {5}$$
D.$$\frac{4} {5}$$
9、['二项分布的期望和方差'， '离散型随机变量的方差的性质'， '离散型随机变量的均值的性质']正确率40.0%已知两随机变量$${{ξ}}$$和$${{η}}$$满足$$2 \xi+\eta=8$$，且$$\xi\sim B \， ( 1 0， 0. 3 )$$，则$${{E}{{(}{η}{)}}}$$和$${{D}{{(}{η}{)}}}$$分别为（）
D
A.$${{3}{，}{{2}{.}{1}}}$$
B.$${{3}{，}{{8}{.}{4}}}$$
C.$${{2}{，}{{2}{.}{1}}}$$
D.$${{2}{，}{{8}{.}{4}}}$$
10、['离散型随机变量的均值或数学期望'， '相互独立事件的概率'， '离散型随机变量的均值的性质']正确率40.0%已知$${{a}{，}{b}}$$为实数，随机变量$${{X}{，}{Y}}$$的分布列如下：
| $${{X}}$$ | $${{−}{1}}$$ | $${{0}}$$ | $${{1}}$$ |
| $${{P}}$$ | $$\frac{1} {3}$$ | $$\frac{1} {2}$$ | $$\frac{1} {6}$$ |
| $${{Y}}$$ | $${{−}{1}}$$ | $${{0}}$$ | $${{1}}$$ |
| $${{P}}$$ | $${{a}}$$ | $${{b}}$$ | $${{c}}$$ |
B
A.$$[-\frac{3} {4}， ~ 1 ]$$
B.$$[-\frac{1} {1 8}， ~ 0 ]$$
C.$$[ \frac{1} {1 8}， ~ 1 ]$$
D.$$[ \frac{3} {4}， ~ 1 ]$$
1. 罚篮问题：罚球次数 $$n=20$$，命中率 $$p=0.6$$，进一球得 $$5$$ 分，不进得 $$0$$ 分。
设 $$X$$ 为进球次数，则 $$X \sim B(20, 0.6)$$，得分 $$Y=5X$$。
期望：$$E(Y)=5E(X)=5 \times 20 \times 0.6=60$$
方差：$$D(Y)=25D(X)=25 \times 20 \times 0.6 \times 0.4=25 \times 4.8=120$$
答案：D. $$60, 120$$
2. 随机变量 $$X$$ 的分布列：
由概率和 $$=1$$：$$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+a=1 \Rightarrow a=\frac{1}{3}$$
$$E(X)=(-1) \times \frac{1}{2}+0 \times \frac{1}{6}+1 \times \frac{1}{3}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=-\frac{1}{6}$$
$$Y=2X+1$$，则 $$E(Y)=2E(X)+1=2 \times (-\frac{1}{6})+1=-\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3}$$
答案：C. $$\frac{2}{3}$$
3. 产品抽取：共 $$13+2=15$$ 件，次品数 $$\xi$$ 服从超几何分布，$$N=15$$，$$M=2$$，$$n=3$$。
$$E(\xi)=n \times \frac{M}{N}=3 \times \frac{2}{15}=\frac{2}{5}$$
$$E(5\xi+1)=5E(\xi)+1=5 \times \frac{2}{5}+1=2+1=3$$
答案：C. $$3$$
4. 随机变量 $$X$$ 的分布列：
概率和 $$=1$$：$$\frac{1}{6}+a+\frac{1}{3}=1 \Rightarrow a=\frac{1}{2}$$
$$E(X)=(-2) \times \frac{1}{6}+(-1) \times \frac{1}{2}+1 \times \frac{1}{3}=-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=-\frac{1}{2}$$
$$E(2X-1)=2E(X)-1=2 \times (-\frac{1}{2})-1=-1-1=-2$$
答案：D. $$-2$$
5. 随机变量 $$\xi \sim B(12, p)$$，$$E(2\xi-3)=5$$。
$$E(\xi)=12p$$，则 $$2 \times 12p -3=5 \Rightarrow 24p=8 \Rightarrow p=\frac{1}{3}$$
$$D(\xi)=12 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3}=12 \times \frac{2}{9}=\frac{8}{3}$$
$$D(3\xi)=9D(\xi)=9 \times \frac{8}{3}=24$$
答案：D. $$24$$
6. 二进制数试验：成功条件为数字 $$100$$，即 $$a_1=1$$，$$a_2=0$$，$$a_3=0$$。
成功概率：$$P=\frac{2}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3}=\frac{2}{27}$$
设单次试验得分 $$Z$$，则 $$P(Z=2)=\frac{2}{27}$$，$$P(Z=-1)=\frac{25}{27}$$
$$E(Z)=2 \times \frac{2}{27}+(-1) \times \frac{25}{27}=\frac{4-25}{27}=-\frac{21}{27}=-\frac{7}{9}$$
$$D(Z)=E(Z^2)-[E(Z)]^2=4 \times \frac{2}{27}+1 \times \frac{25}{27}-(\frac{49}{81})=\frac{8+25}{27}-\frac{49}{81}=\frac{33}{27}-\frac{49}{81}=\frac{99-49}{81}=\frac{50}{81}$$
81 次独立重复试验总得分 $$X=\sum_{i=1}^{81} Z_i$$，则：
$$E(X)=81 \times (-\frac{7}{9})=-63$$
$$D(X)=81 \times \frac{50}{81}=50$$
答案：B. $$-63, 50$$
7. 随机变量 $$\xi$$ 的分布列：
$$E(\xi)=0 \times \frac{1}{2}+1 \times \frac{p}{2}+2 \times \frac{1-p}{2}=\frac{p}{2}+1-p=1-\frac{p}{2}$$
$$E(\xi^2)=0 \times \frac{1}{2}+1 \times \frac{p}{2}+4 \times \frac{1-p}{2}=\frac{p}{2}+2(1-p)=2-\frac{3p}{2}$$
$$D(\xi)=E(\xi^2)-[E(\xi)]^2=2-\frac{3p}{2}-(1-\frac{p}{2})^2=2-\frac{3p}{2}-(1-p+\frac{p^2}{4})=1-\frac{p}{2}-\frac{p^2}{4}$$
当 $$p \in (0,1)$$ 增大时，$$E(\xi)=1-\frac{p}{2}$$ 减小；
$$D(\xi)=1-\frac{p}{2}-\frac{p^2}{4}$$，求导：$$D'(\xi)=-\frac{1}{2}-\frac{p}{2}<0$$，故 $$D(\xi)$$ 减小。
答案：A. $$E(\xi)$$ 减小，$$D(\xi)$$ 减小
8. 随机变量 $$\xi$$ 取值为 $$0,1,2$$，$$P(\xi=0)=\frac{1}{5}$$，$$E(\xi)=1$$。
设 $$P(\xi=1)=a$$，$$P(\xi=2)=b$$，则：
$$\frac{1}{5}+a+b=1 \Rightarrow a+b=\frac{4}{5}$$
$$E(\xi)=0 \times \frac{1}{5}+1 \times a+2 \times b=a+2b=1$$
解方程组：$$a+b=\frac{4}{5}$$，$$a+2b=1$$，得 $$b=\frac{1}{5}$$，$$a=\frac{3}{5}$$
$$E(\xi^2)=0 \times \frac{1}{5}+1 \times \frac{3}{5}+4 \times \frac{1}{5}=\frac{7}{5}$$
$$D(\xi)=E(\xi^2)-[E(\xi)]^2=\frac{7}{5}-1=\frac{2}{5}$$
答案：B. $$\frac{2}{5}$$
9. 随机变量满足 $$2\xi+\eta=8$$，且 $$\xi \sim B(10,0.3)$$。
则 $$\eta=8-2\xi$$，
$$E(\eta)=8-2E(\xi)=8-2 \times 10 \times 0.3=8-6=2$$
$$D(\eta)=4D(\xi)=4 \times 10 \times 0.3 \times 0.7=4 \times 2.1=8.4$$
答案：D. $$2, 8.4$$
10. 随机变量 $$X$$ 分布已知，$$Y$$ 分布中 $$a+b+c=1$$，且 $$E(Y)=P(Y=-1)=a$$。
$$E(Y)=(-1)a+0b+1c=-a+c=a \Rightarrow c=2a$$
由 $$a+b+c=1$$ 得 $$a+b+2a=1 \Rightarrow b=1-3a$$
由于概率非负，故 $$a \geq 0$$，$$b=1-3a \geq 0 \Rightarrow a \leq \frac{1}{3}$$，$$c=2a \geq 0$$，所以 $$a \in [0, \frac{1}{3}]$$
$$X$$ 与 $$Y$$ 独立，$$\xi=XY$$，则 $$E(\xi)=E(X)E(Y)$$
$$E(X)=(-1) \times \frac{1}{3}+0 \times \frac{1}{2}+1 \times \frac{1}{6}=-\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=-\frac{1}{6}$$
$$E(Y)=a$$（由条件）
故 $$E(\xi)=(-\frac{1}{6}) \times a=-\frac{a}{6}$$
当 $$a \in [0, \frac{1}{3}]$$ 时，$$E(\xi) \in [-\frac{1}{18}, 0]$$
答案：B. $$[-\frac{1}{18}, 0]$$