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正确率60.0%已知随机变量$${{X}}$$的分布列为
| $${{X}}$$ | $${{a}}$$ | $${{1}}$$ | $${{2}}$$ |
| $${{P}}$$ | $$\frac{1} {2}$$ | $${{a}}$$ | $${{b}}$$ |
D
A.$$[-3， ~+\infty)$$
B.$$[-3， ~ 1 )$$
C.$$\left( \frac{1} {1 6}， ~+\infty\right)$$
D.$$\left( \frac{1} {1 6}， 1 \right)$$
2、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率60.0%随机变量$${{X}}$$的分布列为
| $${{X}}$$ | $${{0}}$$ | $${{1}}$$ | $${{2}}$$ |
| $${{P}}$$ | $${{a}}$$ | $$\frac{b} {2}$$ | $$\frac{b} {2}$$ |
C
A.$$a+b=1$$
B.$$E ( X )=\frac{3 b} {2}$$
C.$${{D}{(}{X}{)}}$$随$${{b}}$$的增大而减小
D.$${{D}{(}{X}{)}}$$有最大值
3、['离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率60.0%抛掷一枚硬币，规定正面向上得$${{1}}$$分，反面向上得$${{−}{1}}$$分，则得分$${{X}}$$的均值与方差分别为（）
A
A.$$E ( X )=0， \， \， \， D ( X )=1$$
B.$$E ( X )=0. 5， \， \， \， D ( X )=0. 5$$
C.$$E ( X )=0， \， \， \， D ( X )=0. 5$$
D.$$E ( X )=0. 5， \， \， \， D ( X )=1$$
4、['二项分布的期望和方差'， '离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差的性质'， '离散型随机变量的方差、标准差'， '离散型随机变量的均值的性质']正确率40.0%一台仪器每启动一次都随机地出现一个$${{3}}$$位的二进制数$$A=\boxed{a_{1}} ~ ~ \boxed{a_{2}} ~ ~ \boxed{a_{3}}$$，其中$${{A}}$$的各位数字中，$$a_{k} \left( k=1， 2， 3 \right)$$出现$${{0}}$$的概率为$$\frac{1} {3}，$$出现$${{1}}$$的概率为$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$.若启动一次出现的数字为$${{1}{0}{0}{，}}$$则称这次试验成功.若成功一次得$${{2}}$$分，失败一次得$${{−}{1}}$$分，则$${{8}{1}}$$次这样的重复试验的总得分$${{X}}$$的数学期望和方差分别为（）
B
A.$$- 6 3， ~ \frac{5 0} {9}$$
B.$${{−}{{6}{3}}{，}{{5}{0}}}$$
C.$$6， ~ \frac{5 0} {9}$$
D.$${{6}{，}{{5}{0}}}$$
5、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的均值或数学期望'， '事件的互斥与对立'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率40.0%在一个箱子中装有大小形状完全相同的$${{4}}$$个白球和$${{3}}$$个黑球，现从中有放回的摸取$${{5}}$$次，每次随机摸取一球，设摸得的白球个数为$${{X}}$$，黑球个数为$${{Y}}$$，则（）
C
A.$$E ~ ( X ) ~ > E ~ ( Y ) ~， ~ D ~ ( X ) ~ > D ~ ( Y )$$
B.$$E ~ ( X ) ~=E ~ ( Y ) ~， ~ D ~ ( X ) ~ > D ~ ( Y )$$
C.$$E ~ ( X ) ~ > E ~ ( Y ) ~， ~ D ~ ( X ) ~=D ~ ( Y )$$
D.$$E ~ ( X ) ~=E ~ ( Y ) ~， ~ D ~ ( X ) ~=D ~ ( Y )$$
6、['离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率60.0%已知$${{X}}$$为离散型随机变量，且$$P ( X=x_{i} )=p_{i} ($$其中$$x_{i} > 0， \， \， i=1， 2， 3 \cdots， 2 0 )$$，若$$\sum_{i=1}^{2 0} x_{i}^{2} p_{i}=9 0， \， \， \， D ( X )=5 4.$$则$$E ( X )=\alpha$$）
A
A.$${{6}}$$
B.$${\frac{9} {5}} \sqrt{1 0}$$
C.$${{5}{\sqrt {6}}}$$
D.$${{1}{2}}$$
7、['正态分布及概率密度函数'， '离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率40.0%已知：$$X \sim N ( \mu， \delta^{2} )$$，且$$E X=5， ~ ~ D X=4$$，则$$P ( 3 < x \leqslant7 ) \approx( \textsubscript{\textit{j}} )$$
C
A.$$0. 0 4 5 6$$
B.$${{0}{.}{5}{0}}$$
C.$$0. 6 8 2 6$$
D.$$0. 9 5 4 4$$
8、['分层随机抽样的概念'， '离散型随机变量的方差、标准差'， '样本相关系数与相关程度'， '一元线性回归模型']正确率40.0%下列说法中正确的是（）
A
A.若一组数据$$1， ~ a， ~ 3$$的平均数是$${{2}}$$，则该组数据的方差是$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
B.线性回归直线不一定过样本中心点$$( \overline{{x}}， \ \overline{{y}} )$$
C.若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数$${{r}}$$的值越接近于$${{1}}$$
D.先把高三年级的$${{2}{0}{0}{0}}$$名学生编号：$${{1}}$$到$${{2}{0}{0}{0}}$$，再从编号为$${{1}}$$到$${{5}{0}}$$的$${{5}{0}}$$名学生中随机抽取$${{1}}$$名学生，其编号为$${{m}}$$，然后抽取编号为
的学生，这样的抽样方法是分层抽样
正确率40.0%已知离散型随机变量$${{X}}$$的分布列如下：
| $${{X}}$$ | $${{0}}$$ | $${{1}}$$ | $${{2}}$$ |
| $${{P}}$$ | $${{x}}$$ | $${{4}{x}}$$ | $${{5}{x}}$$ |
C
A.$$E ( X )=1. 4， \， \， D ( X )=0. 2$$
B.$$E ( X )=0. 4 4， \， \， \， D ( X )=1. 4$$
C.$$E ( X )=1. 4， ~ D ( X )=0. 4 4$$
D.$$E ( X )=0. 4 4， \， \， \， D ( X )=0. 2$$
10、['离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率40.0%设$$0 < a < 1$$，则随机变量$${{X}}$$的分布列是：
| $${{X}}$$ | $${{0}}$$ | $${{a}}$$ | $${{1}}$$ |
| $${{P}}$$ | $$\frac{1} {3}$$ | $$\frac{1} {3}$$ | $$\frac{1} {3}$$ |
D
A.$${{D}{(}{X}{)}}$$增大
B.$${{D}{(}{X}{)}}$$减小
C.$${{D}{(}{X}{)}}$$先增大后减小
D.$${{D}{(}{X}{)}}$$先减小后增大
1. 解析：
首先根据分布列的性质，概率之和为1：$$\frac{1}{2} + a + b = 1 \Rightarrow a + b = \frac{1}{2}$$
期望 $$E(X)$$ 计算为：$$E(X) = a \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot a + 2 \cdot b = \frac{a}{2} + a + 2b = \frac{3a}{2} + 2b$$
将 $$b = \frac{1}{2} - a$$ 代入得：$$E(X) = \frac{3a}{2} + 2\left(\frac{1}{2} - a\right) = \frac{3a}{2} + 1 - 2a = 1 - \frac{a}{2}$$
方差 $$D(X)$$ 计算为：$$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$$
其中 $$E(X^2) = a^2 \cdot \frac{1}{2} + 1^2 \cdot a + 2^2 \cdot b = \frac{a^2}{2} + a + 4b$$
代入 $$b = \frac{1}{2} - a$$ 得：$$E(X^2) = \frac{a^2}{2} + a + 4\left(\frac{1}{2} - a\right) = \frac{a^2}{2} + a + 2 - 4a = \frac{a^2}{2} - 3a + 2$$
因此，$$D(X) = \left(\frac{a^2}{2} - 3a + 2\right) - \left(1 - \frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{2} - 3a + 2 - \left(1 - a + \frac{a^2}{4}\right) = \frac{a^2}{4} - 2a + 1$$
由于 $$a + b = \frac{1}{2}$$ 且 $$a, b \geq 0$$，得 $$0 \leq a \leq \frac{1}{2}$$。
$$D(X) = \frac{a^2}{4} - 2a + 1$$ 在 $$a \in [0, \frac{1}{2}]$$ 的最小值为 $$a = \frac{1}{2}$$ 时：$$D(X) = \frac{1}{16} - 1 + 1 = \frac{1}{16}$$，最大值在 $$a = 0$$ 时为 1。
因此 $$D(X) \in \left(\frac{1}{16}, 1\right)$$，答案为 D。
2. 解析：
根据分布列性质，概率之和为1：$$a + \frac{b}{2} + \frac{b}{2} = 1 \Rightarrow a + b = 1$$，选项 A 正确。
期望 $$E(X) = 0 \cdot a + 1 \cdot \frac{b}{2} + 2 \cdot \frac{b}{2} = \frac{b}{2} + b = \frac{3b}{2}$$，选项 B 正确。
方差 $$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \left(0^2 \cdot a + 1^2 \cdot \frac{b}{2} + 2^2 \cdot \frac{b}{2}\right) - \left(\frac{3b}{2}\right)^2 = \frac{b}{2} + 2b - \frac{9b^2}{4} = \frac{5b}{2} - \frac{9b^2}{4}$$
对 $$D(X)$$ 关于 $$b$$ 求导：$$\frac{dD(X)}{db} = \frac{5}{2} - \frac{9b}{2}$$，令导数为0得 $$b = \frac{5}{9}$$。
由于二次项系数为负，$$D(X)$$ 在 $$b = \frac{5}{9}$$ 处取得最大值，之后随 $$b$$ 增大而减小。因此选项 C 不完全正确，选项 D 正确。
题目要求选择不正确的选项，答案为 C。
3. 解析：
设硬币正面概率为 $$p = \frac{1}{2}$$，反面概率为 $$q = \frac{1}{2}$$。
期望 $$E(X) = 1 \cdot \frac{1}{2} + (-1) \cdot \frac{1}{2} = 0$$。
方差 $$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 1^2 \cdot \frac{1}{2} + (-1)^2 \cdot \frac{1}{2} - 0 = 1$$。
答案为 A。
4. 解析：
成功概率 $$P(\text{100}) = P(a_1=1) \cdot P(a_2=0) \cdot P(a_3=0) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{27}$$。
设单次试验得分 $$Y$$，则 $$Y$$ 的期望：$$E(Y) = 2 \cdot \frac{2}{27} + (-1) \cdot \frac{25}{27} = \frac{4}{27} - \frac{25}{27} = -\frac{21}{27} = -\frac{7}{9}$$。
81 次试验总期望：$$E(X) = 81 \cdot E(Y) = 81 \cdot \left(-\frac{7}{9}\right) = -63$$。
单次试验方差：$$D(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2 = 4 \cdot \frac{2}{27} + 1 \cdot \frac{25}{27} - \left(-\frac{7}{9}\right)^2 = \frac{8}{27} + \frac{25}{27} - \frac{49}{81} = \frac{33}{27} - \frac{49}{81} = \frac{99 - 49}{81} = \frac{50}{81}$$。
81 次试验总方差：$$D(X) = 81 \cdot D(Y) = 81 \cdot \frac{50}{81} = 50$$。
答案为 B。
5. 解析：
每次摸到白球的概率 $$p = \frac{4}{7}$$，黑球的概率 $$q = \frac{3}{7}$$。
$$X \sim B(5, \frac{4}{7})$$，$$Y \sim B(5, \frac{3}{7})$$。
期望：$$E(X) = 5 \cdot \frac{4}{7} = \frac{20}{7}$$，$$E(Y) = 5 \cdot \frac{3}{7} = \frac{15}{7}$$，故 $$E(X) > E(Y)$$。
方差：$$D(X) = 5 \cdot \frac{4}{7} \cdot \frac{3}{7} = \frac{60}{49}$$，$$D(Y) = 5 \cdot \frac{3}{7} \cdot \frac{4}{7} = \frac{60}{49}$$，故 $$D(X) = D(Y)$$。
答案为 C。
6. 解析：
已知 $$\sum x_i^2 p_i = 90$$，$$D(X) = 54$$。
由方差公式：$$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 \Rightarrow 54 = 90 - \alpha^2 \Rightarrow \alpha^2 = 36 \Rightarrow \alpha = 6$$。
答案为 A。
7. 解析：
$$X \sim N(5, 4)$$，标准差 $$\delta = 2$$。
$$P(3 < X \leq 7) = P\left(\frac{3-5}{2} < Z \leq \frac{7-5}{2}\right) = P(-1 < Z \leq 1) \approx 0.6826$$。
答案为 C。
8. 解析：
A：数据 $$1, a, 3$$ 的平均数为2，则 $$a = 2$$，方差 $$\frac{(1-2)^2 + (2-2)^2 + (3-2)^2}{3} = \frac{2}{3}$$，正确。
B：线性回归直线必过样本中心点 $$(\overline{x}, \overline{y})$$，错误。
C：相关系数 $$r$$ 的绝对值越接近1，线性相关性越强，但 $$r$$ 可以是负值，错误。
D：描述的是系统抽样，不是分层抽样，错误。
答案为 A。
9. 解析：
概率之和为1：$$x + 4x + 5x = 1 \Rightarrow x = 0.1$$。
分布列为：
| $$X$$ | 0 | 1 | 2 |
| $$P$$ | 0.1 | 0.4 | 0.5 |
期望：$$E(X) = 0 \cdot 0.1 + 1 \cdot 0.4 + 2 \cdot 0.5 = 1.4$$。
方差：$$E(X^2) = 0^2 \cdot 0.1 + 1^2 \cdot 0.4 + 2^2 \cdot 0.5 = 2.4$$，$$D(X) = 2.4 - 1.4^2 = 0.44$$。
答案为 C。
10. 解析：
期望 $$E(X) = 0 \cdot \frac{1}{3} + a \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \frac{1}{3} = \frac{a + 1}{3}$$。
方差 $$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \left(0^2 \cdot \frac{1}{3} + a^2 \cdot \frac{1}{3} + 1^2 \cdot \frac{1}{3}\right) - \left(\frac{a + 1}{3}\right)^2 = \frac{a^2 + 1}{3} - \frac{(a + 1)^2}{9}$$
化简得：$$D(X) = \frac{2a^2 - 2a + 2}{9}$$。
对 $$D(X)$$ 关于 $$a$$ 求导：$$\frac{dD(X)}{da} = \frac{4a - 2}{9}$$，令导数为0得 $$a = \frac{1}{2}$$。
当 $$a \in (0, \frac{1}{2})$$，导数小于0，$$D(X)$$ 减小；当 $$a \in (\frac{1}{2}, 1)$$，导数大于0，$$D(X)$$ 增大。
因此 $$D(X)$$ 先减小后增大，答案为 D。