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正确率19.999999999999996%已知$$a， \， \， b \in{\bf R}，$$两个相互独立的随机变量$${{X}{，}{Y}}$$的分布列分别是
| $${{X}}$$ | $${{−}{1}}$$ | $${{0}}$$ | $${{1}}$$ |
| $${{P}}$$ | $$\frac{1} {3}$$ | $${{a}}$$ | $${{b}}$$ |
| $${{Y}}$$ | $${{−}{1}}$$ | $${{0}}$$ | $${{1}}$$ |
| $${{P}}$$ | $${{a}}$$ | $${{b}}$$ | $$\frac{1} {3}$$ |
C
A.一直增大
B.一直减小
C.先增大后减小
D.先减小后增大
2、['离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率60.0%抛掷一枚硬币，规定正面向上得$${{1}}$$分，反面向上得$${{−}{1}}$$分，则得分$${{X}}$$的均值与方差分别为（）
A
A.$$E ( X )=0， \， \， \， D ( X )=1$$
B.$$E ( X )=0. 5， \， \， \， D ( X )=0. 5$$
C.$$E ( X )=0， \， \， \， D ( X )=0. 5$$
D.$$E ( X )=0. 5， \， \， \， D ( X )=1$$
3、['离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率40.0%一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球$${{1}}$$个、黑球$${{2}}$$个，现随机等可能地取出小球.当有放回地依次取出$${{2}}$$个小球时，记取出的红球个数为$${{ξ}_{1}}$$；当无放回地依次取出两个小球时，记取出的红球个数为$${{ξ}_{2}{，}}$$则（）
B
A.$$E ( \xi_{1} ) < E ( \xi_{2} )， \， \， \， D ( \xi_{1} ) < \， D ( \xi_{2} )$$
B.$$E ( \xi_{1} )=E ( \xi_{2} )， \， \， \， D ( \xi_{1} ) > D ( \xi_{2} )$$
C.$$E ( \xi_{1} )=E ( \xi_{2} )， \， \， \， D ( \xi_{1} ) < \， D ( \xi_{2} )$$
D.$$E ( \xi_{1} ) > E ( \xi_{2} )， \， \， \， D ( \xi_{1} ) > D ( \xi_{2} )$$
4、['离散型随机变量的方差的性质'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率40.0%设数据$$a_{1}， a_{2}， a_{3}， a_{4}， a_{5}$$的方差为$${{1}}$$，则数据$$2 a_{1}+1， 2 a_{2}+1， 2 a_{3}+1， 2 a_{4}+1， 2 a_{5}+1$$的方差为
C
A.$${{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{5}}$$
5、['离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差的性质'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率60.0%随机变量$${{X}}$$的分布列如下表所示，若$$E ( X )=\frac{1} {3}，$$则$$D ( 3 X-2 )=$$（）
| $${{X}}$$ | $${{−}{1}}$$ | $${{0}}$$ | $${{1}}$$ |
| $${{P}}$$ | $$\frac{1} {6}$$ | $${{a}}$$ | $${{b}}$$ |
C
A.$${{9}}$$
B.$${{7}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{3}}$$
6、['离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率60.0%设随机变量$${{X}}$$的分布列是
| $${{X}}$$ | $${{0}}$$ | $${{1}}$$ | $${{2}}$$ |
| $${{P}}$$ | $$\frac{1-p} {2}$$ | $$\frac{1} {2}$$ | $$\frac{p} {2}$$ |
B
A.$$\frac{1} {4}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$\frac{3} {4}$$
D.$${{1}}$$
7、['离散型随机变量的方差的性质'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率60.0%若离散型随机变量$${{X}}$$的分布如下：则$${{X}}$$的方差$$D \ ( X ) ~=~ ($$）
| $${{X}}$$ | $${{0}}$$ | $${{1}}$$ |
| $${{P}}$$ | $${{m}}$$ | $${{0}{.}{6}}$$ |
C
A.$${{0}{.}{6}}$$
B.$${{0}{.}{4}}$$
C.$${{0}{.}{2}{4}}$$
D.$${{1}}$$
8、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率60.0%随机变量$${{X}}$$的分布列如表，若$$E ( X )=\frac{7} {6}$$，则$$D \left( X \right)=$$（）
| $${{X}}$$ | $${{0}}$$ | $${{1}}$$ | $${{2}}$$ |
| $${{P}}$$ | $$\frac{1} {6}$$ | $${{a}}$$ | $${{b}}$$ |
B
A.$$\frac{7} {1 2}$$
B.$$\frac{1 7} {3 6}$$
C.$$\begin{array} {l l} {7} \\ {\frac{7} {6}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{1 1} {6}$$
9、['离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率60.0%甲、乙两名运动员射击一次命中的环数$${{X}{，}{Y}}$$的分布列如下表，其中射击水平比较稳定的运动员是（）
| $${{X}}$$ | $${{8}}$$ | $${{9}}$$ | $${{1}{0}}$$ |
| $${{P}}$$ | $${{0}{.}{3}}$$ | $${{0}{.}{2}}$$ | $${{0}{.}{5}}$$ |
| $${{Y}}$$ | $${{8}}$$ | $${{9}}$$ | $${{1}{0}}$$ |
| $${{P}}$$ | $${{0}{.}{2}}$$ | $${{0}{.}{4}}$$ | $${{0}{.}{4}}$$ |
B
A.甲
B.乙
C.一样
D.无法比较
10、['离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率60.0%已知随机变量$${{ξ}}$$的分布列如下表，则$${{ξ}}$$的标准差为 （）
| $${{ξ}}$$ | $${{1}}$$ | $${{3}}$$ | $${{5}}$$ |
| $${{P}}$$ | $${{0}{.}{4}}$$ | $${{0}{.}{1}}$$ | $${{x}}$$ |
D
A.$${{3}{.}{5}{6}}$$
B.$${\sqrt {{3}{.}{2}}}$$
C.$${{3}{.}{2}}$$
D.$${\sqrt {{3}{.}{5}{6}}}$$
1. 已知 $$a, b \in \mathbb{R}$$，两个相互独立的随机变量 $$X, Y$$ 的分布列如下：
对于 $$X$$：$$P(X=-1)=\frac{1}{3}$$，$$P(X=0)=a$$，$$P(X=1)=b$$
对于 $$Y$$：$$P(Y=-1)=a$$，$$P(Y=0)=b$$，$$P(Y=1)=\frac{1}{3}$$
由概率和为 1：$$\frac{1}{3} + a + b = 1$$，得 $$a + b = \frac{2}{3}$$
计算 $$E(X) = (-1) \times \frac{1}{3} + 0 \times a + 1 \times b = b - \frac{1}{3}$$
$$E(Y) = (-1) \times a + 0 \times b + 1 \times \frac{1}{3} = \frac{1}{3} - a$$
$$E(X^2) = (-1)^2 \times \frac{1}{3} + 0^2 \times a + 1^2 \times b = \frac{1}{3} + b$$
$$E(Y^2) = (-1)^2 \times a + 0^2 \times b + 1^2 \times \frac{1}{3} = a + \frac{1}{3}$$
$$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{1}{3} + b - (b - \frac{1}{3})^2$$
$$D(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2 = a + \frac{1}{3} - (\frac{1}{3} - a)^2$$
由于 $$X$$ 与 $$Y$$ 独立，$$D(X+Y) = D(X) + D(Y)$$
代入 $$b = \frac{2}{3} - a$$，化简得 $$D(X+Y) = -\frac{4}{3}a^2 + \frac{4}{3}a + \frac{2}{3}$$
这是关于 $$a$$ 的二次函数，开口向下，对称轴 $$a = \frac{1}{2}$$
随着 $$a$$ 增大，先增大后减小
答案：C
2. 抛硬币：正面得 1 分（概率 0.5），反面得 -1 分（概率 0.5）
$$E(X) = 1 \times 0.5 + (-1) \times 0.5 = 0$$
$$E(X^2) = 1^2 \times 0.5 + (-1)^2 \times 0.5 = 1$$
$$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 1 - 0 = 1$$
答案：A
3. 袋中有 1 红球 2 黑球，共 3 球
有放回取 2 次：$$ξ_1 \sim B(2, \frac{1}{3})$$
$$E(ξ_1) = 2 \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$，$$D(ξ_1) = 2 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$$
无放回取 2 次：$$ξ_2$$ 服从超几何分布
$$P(ξ_2=0) = \frac{C_2^2}{C_3^2} = \frac{1}{3}$$，$$P(ξ_2=1) = \frac{C_1^1 C_2^1}{C_3^2} = \frac{2}{3}$$，$$P(ξ_2=2)=0$$
$$E(ξ_2) = 0 \times \frac{1}{3} + 1 \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$$
$$E(ξ_2^2) = 0^2 \times \frac{1}{3} + 1^2 \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$$
$$D(ξ_2) = E(ξ_2^2) - [E(ξ_2)]^2 = \frac{2}{3} - (\frac{2}{3})^2 = \frac{2}{9}$$
比较：$$E(ξ_1)=E(ξ_2)$$，$$D(ξ_1)=\frac{4}{9} > \frac{2}{9}=D(ξ_2)$$
答案：B
4. 数据 $$a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$$ 方差为 1
新数据 $$2a_1+1, 2a_2+1, ..., 2a_5+1$$
方差性质：$$D(kX+b) = k^2 D(X)$$
故新方差为 $$2^2 \times 1 = 4$$
答案：C
5. 随机变量 $$X$$ 分布：$$P(X=-1)=\frac{1}{6}$$，$$P(X=0)=a$$，$$P(X=1)=b$$
由概率和：$$\frac{1}{6} + a + b = 1$$，得 $$a + b = \frac{5}{6}$$
$$E(X) = (-1) \times \frac{1}{6} + 0 \times a + 1 \times b = b - \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$$
解得 $$b = \frac{1}{2}$$，$$a = \frac{1}{3}$$
计算 $$E(X^2) = (-1)^2 \times \frac{1}{6} + 0^2 \times \frac{1}{3} + 1^2 \times \frac{1}{2} = \frac{2}{3}$$
$$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{2}{3} - (\frac{1}{3})^2 = \frac{5}{9}$$
$$D(3X-2) = 3^2 D(X) = 9 \times \frac{5}{9} = 5$$
答案：C
6. 随机变量 $$X$$ 分布：$$P(X=0)=\frac{1-p}{2}$$，$$P(X=1)=\frac{1}{2}$$，$$P(X=2)=\frac{p}{2}$$
$$E(X) = 0 \times \frac{1-p}{2} + 1 \times \frac{1}{2} + 2 \times \frac{p}{2} = \frac{1}{2} + p$$
$$E(X^2) = 0^2 \times \frac{1-p}{2} + 1^2 \times \frac{1}{2} + 2^2 \times \frac{p}{2} = \frac{1}{2} + 2p$$
$$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = (\frac{1}{2} + 2p) - (\frac{1}{2} + p)^2 = -\frac{1}{4} - p^2 + p$$
这是关于 $$p$$ 的二次函数，开口向下，最大值在 $$p = \frac{1}{2}$$
代入得 $$D(X)_{max} = -\frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = 0$$？重新计算：
正确表达式：$$D(X) = \frac{1}{2} + 2p - (\frac{1}{4} + p + p^2) = \frac{1}{4} + p - p^2$$
最大值在 $$p = \frac{1}{2}$$，值为 $$\frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$$
答案：B
7. 离散型随机变量 $$X$$ 分布：$$P(X=0)=m$$，$$P(X=1)=0.6$$
概率和：$$m + 0.6 = 1$$，得 $$m = 0.4$$
$$E(X) = 0 \times 0.4 + 1 \times 0.6 = 0.6$$
$$E(X^2) = 0^2 \times 0.4 + 1^2 \times 0.6 = 0.6$$
$$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 0.6 - 0.36 = 0.24$$
答案：C
8. 随机变量 $$X$$ 分布：$$P(X=0)=\frac{1}{6}$$，$$P(X=1)=a$$，$$P(X=2)=b$$
概率和：$$\frac{1}{6} + a + b = 1$$，得 $$a + b = \frac{5}{6}$$
$$E(X) = 0 \times \frac{1}{6} + 1 \times a + 2 \times b = a + 2b = \frac{7}{6}$$
联立解得：$$a = \frac{1}{2}$$，$$b = \frac{1}{3}$$
$$E(X^2) = 0^2 \times \frac{1}{6} + 1^2 \times \frac{1}{2} + 2^2 \times \frac{1}{3} = \frac{1}{2} + \frac{4}{3} = \frac{11}{6}$$
$$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{11}{6} - (\frac{7}{6})^2 = \frac{11}{6} - \frac{49}{36} = \frac{17}{36}$$
答案：B
9. 甲运动员：$$E(X) = 8 \times 0.3 + 9 \times 0.2 + 10 \times 0.5 = 9.2$$
$$E(X^2) = 64 \times 0.3 + 81 \times 0.2 + 100 \times 0.5 = 88.4$$
$$D(X) = 88.4 - 84.64 = 3.76$$
乙运动员：$$E(Y) = 8 \times 0.2 + 9 \times 0.4 + 10 \times 0.4 = 9.2$$
$$E(Y^2) = 64 \times 0.2 + 81 \times 0.4 + 100 \times 0.4 = 87.6$$
$$D(Y) = 87.6 - 84.64 = 2.96$$
$$D(Y) < D(X)$$，乙更稳定
答案：B
10. 随机变量 $$ξ$$ 分布：$$P(ξ=1)=0.4$$，$$P(ξ=3)=0.1$$，$$P(ξ=5)=x$$
概率和：$$0.4 + 0.1 + x = 1$$，得 $$x = 0.5$$
$$E(ξ) = 1 \times 0.4 + 3 \times 0.1 + 5 \times 0.5 = 3.2$$
$$E(ξ^2) = 1 \times 0.4 + 9 \times 0.1 + 25 \times 0.5 = 13.8$$
$$D(ξ) = E(ξ^2) - [E(ξ)]^2 = 13.8 - 10.24 = 3.56$$
标准差 $$\sigma = \sqrt{D(ξ)} = \sqrt{3.56}$$
答案：D