.jpg)
正确率60.0%若离散型随机变量$${{X}}$$的可能取值为$${{m}{，}{n}{，}}$$且$$P ( X=m )=n， \， \， \， P ( X=n )=m， \， \， \， E ( X )=\frac{3} {8}，$$则$${{m}^{2}{+}{{n}^{2}}}$$的值为（）
C
A.$$\frac{1} {4}$$
B.$$\frac{5} {1 6}$$
C.$$\frac{5} {8}$$
D.$$\frac{1 3} {1 6}$$
2、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的均值的性质']正确率40.0%将$${{3}}$$个球(形状相同，编号不同$${{)}}$$随机地投入编号为$${{1}}$$，$${{2}}$$，$${{3}}$$，$${{4}}$$的$${{4}}$$个盒子中，以$${{ξ}}$$表示其中至少有一个球的盒子的最小号码$${{(}{ξ}{=}{3}}$$表示$${{1}}$$号、$${{2}}$$号盒子是空的，$${{3}}$$号盒子中至少有$${{1}}$$个球$${{)}}$$，则$${{E}{(}{ξ}{)}}$$，$$E ( 2 \xi+1 )$$分别等于（）
B
A.$$\frac{2 5} {1 6}$$，$$\frac{2 5} {8}$$
B.$$\frac{2 5} {1 6}$$，$$\frac{3 3} {8}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$，$${{3}}$$
D.svg异常
3、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的均值或数学期望']正确率60.0%设$$0 < \; p < \; 1，$$随机变量$${{X}{，}{Y}}$$的分布列为
| $${{X}}$$ | $${{1}}$$ | $${{2}}$$ | $${{3}}$$ |
| $${{P}}$$ | $${{p}^{2}}$$ | $${{1}{−}{p}}$$ | $${{p}{−}{{p}^{2}}}$$ |
| $${{Y}}$$ | $${{1}}$$ | $${{2}}$$ | $${{3}}$$ |
| $${{P}}$$ | $${{p}^{3}}$$ | $${{1}{−}{{p}^{2}}}$$ | $${{p}^{2}{−}{{p}^{3}}}$$ |
D
A.$${{2}}$$
B.$$\frac{3 3} {1 6}$$
C.$$\frac{5 5} {2 7}$$
D.$$\frac{6 5} {3 2}$$
4、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的均值或数学期望']正确率60.0%设离散型随机变量$${{X}}$$的可能取值为$$1.$$的数学期望$$E ( X )=3，$$则$${{a}{+}{b}{=}}$$（）
A
A.$$\frac{1} {1 0}$$
B.$${{0}}$$
C.$$- \frac{1} {1 0}$$
D.$$\frac{1} {5}$$
5、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的均值或数学期望']正确率60.0%已知离散型随机变量$${{X}}$$的分布列为
| $${{X}}$$ | $${{0}}$$ | $${{1}}$$ | $${{2}}$$ | $${{3}}$$ |
| $${{P}}$$ | $$\frac{8} {2 7}$$ | $$\begin{array} {l l} {\frac{4} {9}} \\ \end{array}$$ | $${{m}}$$ | $$\frac{1} {2 7}$$ |
B
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
B.$${{1}}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
D.$${{2}}$$
6、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的均值或数学期望']正确率60.0%已知$${{X}}$$的分布列为：
| $${{X}}$$ | $${{−}{1}}$$ | $${{0}}$$ | $${{1}}$$ |
| $${{P}}$$ | $$\frac{1} {3}$$ | $$\frac{1} {3}$$ | $$\frac{1} {3}$$ |
A
A.$${{3}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{0}}$$
D.$${{4}}$$
7、['离散型随机变量'， '离散型随机变量的分布列及其性质']正确率40.0%设随机变量$${{X}}$$等可能取值$$1， 2， 3， \cdots， n$$，如果概率$$P ( X < 4 )=0. 3$$，则（）
C
A.$${{n}{=}{4}}$$
B.$${{n}{=}{6}}$$
C.$${{n}{=}{{1}{0}}}$$
D.$${{n}{=}{{2}{0}}}$$
8、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率60.0%随机变量$${{X}}$$的分布列如表，若$$E ( X )=\frac{7} {6}$$，则$$D \left( X \right)=$$（）
| $${{X}}$$ | $${{0}}$$ | $${{1}}$$ | $${{2}}$$ |
| $${{P}}$$ | $$\frac{1} {6}$$ | $${{a}}$$ | $${{b}}$$ |
B
A.$$\frac{7} {1 2}$$
B.$$\frac{1 7} {3 6}$$
C.$$\begin{array} {l l} {7} \\ {\frac{7} {6}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{1 1} {6}$$
9、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的均值或数学期望']正确率60.0%已知离散型随机变量$${{ξ}}$$的分布列如下，若随机变量$$\eta=3 \xi+1，$$则$${{η}}$$的数学期望为
| $${{ξ}}$$ | $${{0}}$$ | $${{1}}$$ | $${{2}}$$ |
| $${{P}}$$ | $${{0}{.}{4}}$$ | $${{2}{k}}$$ | $${{k}}$$ |
B
A.$${{3}{.}{2}}$$
B.$${{3}{.}{4}}$$
C.$${{3}{.}{6}}$$
D.$${{3}{.}{8}}$$
10、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '利用基本不等式求最值']正确率60.0%svg异常
B
A.svg异常
B.svg异常
C.svg异常
D.svg异常
1. 已知离散型随机变量 $$X$$ 的可能取值为 $$m$$ 和 $$n$$，且 $$P(X = m) = n$$，$$P(X = n) = m$$，期望 $$E(X) = \frac{3}{8}$$。求 $$m^2 + n^2$$ 的值。
首先，根据概率分布的性质，有 $$n + m = 1$$。
期望公式为：$$E(X) = m \cdot n + n \cdot m = 2mn = \frac{3}{8}$$，所以 $$mn = \frac{3}{16}$$。
又因为 $$m + n = 1$$，所以 $$(m + n)^2 = m^2 + 2mn + n^2 = 1$$。
代入 $$mn = \frac{3}{16}$$，得 $$m^2 + n^2 = 1 - 2 \times \frac{3}{16} = 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$$。
因此，答案为 C. $$\frac{5}{8}$$。
2. 将 3 个球随机投入编号为 1, 2, 3, 4 的 4 个盒子中，定义随机变量 $$\xi$$ 为至少有一个球的盒子的最小号码。求 $$E(\xi)$$ 和 $$E(2\xi + 1)$$。
首先，总投法数为 $$4^3 = 64$$。
计算 $$\xi$$ 的取值概率：
当 $$\xi = 1$$：1 号盒子有球，概率为 $$1 - \left(\frac{3}{4}\right)^3 = 1 - \frac{27}{64} = \frac{37}{64}$$。
当 $$\xi = 2$$：1 号盒子为空，2 号盒子有球，概率为 $$\left(\frac{3}{4}\right)^3 - \left(\frac{2}{4}\right)^3 = \frac{27}{64} - \frac{8}{64} = \frac{19}{64}$$。
当 $$\xi = 3$$：1 和 2 号盒子为空，3 号盒子有球，概率为 $$\left(\frac{2}{4}\right)^3 - \left(\frac{1}{4}\right)^3 = \frac{8}{64} - \frac{1}{64} = \frac{7}{64}$$。
当 $$\xi = 4$$：1, 2, 3 号盒子为空，4 号盒子有球，概率为 $$\left(\frac{1}{4}\right)^3 = \frac{1}{64}$$。
验证概率和：$$\frac{37}{64} + \frac{19}{64} + \frac{7}{64} + \frac{1}{64} = 1$$，正确。
计算期望：$$E(\xi) = 1 \times \frac{37}{64} + 2 \times \frac{19}{64} + 3 \times \frac{7}{64} + 4 \times \frac{1}{64} = \frac{37 + 38 + 21 + 4}{64} = \frac{100}{64} = \frac{25}{16}$$。
$$E(2\xi + 1) = 2E(\xi) + 1 = 2 \times \frac{25}{16} + 1 = \frac{50}{16} + \frac{16}{16} = \frac{66}{16} = \frac{33}{8}$$。
因此，答案为 B. $$\frac{25}{16}$$，$$\frac{33}{8}$$。
3. 设 $$0 < p < 1$$，随机变量 $$X$$ 和 $$Y$$ 的分布列如下，求当 $$X$$ 的数学期望最大时，$$Y$$ 的数学期望。
$$X$$ 的分布：$$P(X=1) = p^2$$，$$P(X=2) = 1 - p$$，$$P(X=3) = p - p^2$$。
首先验证概率和：$$p^2 + (1 - p) + (p - p^2) = 1$$，成立。
$$E(X) = 1 \cdot p^2 + 2 \cdot (1 - p) + 3 \cdot (p - p^2) = p^2 + 2 - 2p + 3p - 3p^2 = 2 + p - 2p^2$$。
这是一个关于 $$p$$ 的二次函数：$$E(X) = -2p^2 + p + 2$$，开口向下，最大值在顶点 $$p = \frac{-1}{2 \times (-2)} = \frac{1}{4}$$。
代入 $$p = \frac{1}{4}$$，计算 $$Y$$ 的期望。
$$Y$$ 的分布：$$P(Y=1) = p^3$$，$$P(Y=2) = 1 - p^2$$，$$P(Y=3) = p^2 - p^3$$。
$$E(Y) = 1 \cdot p^3 + 2 \cdot (1 - p^2) + 3 \cdot (p^2 - p^3) = p^3 + 2 - 2p^2 + 3p^2 - 3p^3 = 2 + p^2 - 2p^3$$。
代入 $$p = \frac{1}{4}$$：$$p^2 = \frac{1}{16}$$，$$p^3 = \frac{1}{64}$$。
所以 $$E(Y) = 2 + \frac{1}{16} - 2 \times \frac{1}{64} = 2 + \frac{1}{16} - \frac{1}{32} = 2 + \frac{2}{32} - \frac{1}{32} = 2 + \frac{1}{32} = \frac{65}{32}$$。
因此，答案为 D. $$\frac{65}{32}$$。
4. 设离散型随机变量 $$X$$ 的可能取值为 1, 2, 3，且 $$E(X) = 3$$，求 $$a + b$$。
题目中分布列未完整给出，但根据期望公式和概率和为 1，可建立方程。
假设分布为：$$P(X=1) = a$$，$$P(X=2) = b$$，$$P(X=3) = c$$，且 $$a + b + c = 1$$。
$$E(X) = 1 \cdot a + 2 \cdot b + 3 \cdot c = a + 2b + 3c = 3$$。
但具体值未知，可能题目有缺漏，无法计算。
5. 已知离散型随机变量 $$X$$ 的分布列，求 $$E(X)$$。
分布：$$P(X=0) = \frac{8}{27}$$，$$P(X=1) = \frac{4}{9} = \frac{12}{27}$$，$$P(X=2) = m$$，$$P(X=3) = \frac{1}{27}$$。
概率和：$$\frac{8}{27} + \frac{12}{27} + m + \frac{1}{27} = 1$$，所以 $$\frac{21}{27} + m = 1$$，$$m = \frac{6}{27} = \frac{2}{9}$$。
$$E(X) = 0 \times \frac{8}{27} + 1 \times \frac{12}{27} + 2 \times \frac{6}{27} + 3 \times \frac{1}{27} = 0 + \frac{12}{27} + \frac{12}{27} + \frac{3}{27} = \frac{27}{27} = 1$$。
因此，答案为 B. $$1$$。
6. 已知 $$X$$ 的分布列，设 $$Y = 2X + 3$$，求 $$E(Y)$$。
$$X$$ 的分布：$$P(X=-1) = \frac{1}{3}$$，$$P(X=0) = \frac{1}{3}$$，$$P(X=1) = \frac{1}{3}$$。
$$E(X) = (-1) \times \frac{1}{3} + 0 \times \frac{1}{3} + 1 \times \frac{1}{3} = 0$$。
所以 $$E(Y) = E(2X + 3) = 2E(X) + 3 = 0 + 3 = 3$$。
因此，答案为 A. $$3$$。
7. 设随机变量 $$X$$ 等可能取值 $$1, 2, 3, \cdots, n$$，且 $$P(X < 4) = 0.3$$，求 $$n$$。
$$P(X < 4) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = \frac{3}{n} = 0.3$$。
所以 $$\frac{3}{n} = 0.3$$，$$n = \frac{3}{0.3} = 10$$。
因此，答案为 C. $$n = 10$$。
8. 随机变量 $$X$$ 的分布列如表，若 $$E(X) = \frac{7}{6}$$，求 $$D(X)$$。
分布：$$P(X=0) = \frac{1}{6}$$，$$P(X=1) = a$$，$$P(X=2) = b$$。
概率和：$$\frac{1}{6} + a + b = 1$$，所以 $$a + b = \frac{5}{6}$$。
期望：$$0 \times \frac{1}{6} + 1 \cdot a + 2 \cdot b = a + 2b = \frac{7}{6}$$。
解方程组：
$$a + b = \frac{5}{6}$$
$$a + 2b = \frac{7}{6}$$
相减得：$$b = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$，代入得 $$a = \frac{5}{6} - \frac{1}{3} = \frac{5}{6} - \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$。
计算方差：$$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$$。
$$E(X^2) = 0^2 \times \frac{1}{6} + 1^2 \times \frac{1}{2} + 2^2 \times \frac{1}{3} = 0 + \frac{1}{2} + \frac{4}{3} = \frac{3}{6} + \frac{8}{6} = \frac{11}{6}$$。
$$[E(X)]^2 = \left(\frac{7}{6}\right)^2 = \frac{49}{36}$$。
所以 $$D(X) = \frac{11}{6} - \frac{49}{36} = \frac{66}{36} - \frac{49}{36} = \frac{17}{36}$$。
因此，答案为 B. $$\frac{17}{36}$$。
9. 已知离散型随机变量 $$\xi$$ 的分布列，若随机变量 $$\eta = 3\xi + 1$$，求 $$E(\eta)$$。
分布：$$P(\xi=0) = 0.4$$，$$P(\xi=1) = 2k$$，$$P(\xi=2) = k$$。
概率和：$$0.4 + 2k + k = 1$$，所以 $$3k = 0.6$$，$$k = 0.2$$。
因此，$$P(\xi=1) = 0.4$$，$$P(\xi=2) = 0.2$$。
$$E(\xi) = 0 \times 0.4 + 1 \times 0.4 + 2 \times 0.2 = 0 + 0.4 + 0.4 = 0.8$$。
所以 $$E(\eta) = E(3\xi + 1) = 3E(\xi) + 1 = 3 \times 0.8 + 1 = 2.4 + 1 = 3.4$$。
因此，答案为 B. $$3.4$$。
10. 题目异常，无法解析。