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正确率80.0%已知离散型随机变量$${{X}}$$等可能地取值$${{1}{，}{2}{，}{3}{，}{…}{，}{n}{，}}$$若$$P ( 1 \leqslant X \leqslant3 )=\frac{1} {2}，$$则正整数$${{n}}$$的值为（）
B
A.$${{4}}$$
B.$${{6}}$$
C.$${{8}}$$
D.$${{1}{2}}$$
2、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的均值或数学期望']正确率40.0%盒中有$${{5}}$$个小球，其中$${{3}}$$个白球$${，{2}}$$个黑球，从中任取$${{i}{(}{i}{=}{1}{，}{2}{)}}$$个球，在取出的球中，黑球放回，白球涂黑后放回，此时盒中黑球的个数记为$${{X}_{i}{(}{i}{=}{1}{，}{2}{)}{，}}$$则（）
C
A.$${{P}{(}{{X}_{1}}{=}{2}{)}{>}{P}{(}{{X}_{2}}{=}{2}{)}{，}{E}{(}{{X}_{1}}{)}{>}{E}{(}{{X}_{2}}{)}}$$
B.$${{P}{(}{{X}_{1}}{=}{2}{)}{<}{P}{(}{{X}_{2}}{=}{2}{)}{，}{E}{(}{{X}_{1}}{)}{>}{E}{(}{{X}_{2}}{)}}$$
C.$${{P}{(}{{X}_{1}}{=}{2}{)}{>}{P}{(}{{X}_{2}}{=}{2}{)}{，}{E}{(}{{X}_{1}}{)}{<}{E}{(}{{X}_{2}}{)}}$$
D.$${{P}{(}{{X}_{1}}{=}{2}{)}{<}{P}{(}{{X}_{2}}{=}{2}{)}{，}{E}{(}{{X}_{1}}{)}{<}{E}{(}{{X}_{2}}{)}}$$
3、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的均值的性质']正确率60.0%随机变量$${{X}}$$的分布列如下表所示，则$${{E}{(}{2}{X}{−}{1}{)}{=}}$$（）
| $${{X}}$$ | $${{−}{2}}$$ | $${{−}{1}}$$ | $${{1}}$$ |
| $${{P}}$$ | $$\frac{1} {6}$$ | $${{a}}$$ | $$\frac{1} {3}$$ |
D
A.$${{0}}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$
C.$${{−}{1}}$$
D.$${{−}{2}}$$
4、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率60.0%随机变量$${{X}}$$的 分 布 列 如下 表 所 示 ， 则$${{D}{(}{X}{)}{=}}$$（）
| $${{X}}$$ | $${{0}}$$ | $${{2}}$$ | $${{4}}$$ |
| $${{P}}$$ | $$\frac{1} {4}$$ | $${{a}}$$ | $$\frac{1} {4}$$ |
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
5、['离散型随机变量的分布列及其性质']正确率40.0%设$${{0}{<}{p}{<}{1}{，}}$$随机变量$${{X}}$$的分布列是
| $${{X}}$$ | $${{0}}$$ | $${{1}}$$ | $${{2}}$$ |
| $${{P}}$$ | $$\frac{p} {2}$$ | $$\frac{1-p} {2}$$ | $$\frac{1} {2}$$ |
B
A.$${{E}{(}{X}{)}}$$增大
B.$${{E}{(}{X}{)}}$$减小
C.$${{E}{(}{X}{)}}$$先增大，后减小
D.$${{E}{(}{X}{)}}$$先减小，后增大
7、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率60.0%随机变量$${{X}}$$的分布列如表，若$$E ( X )=\frac{7} {6}$$，则$${{D}{（}{X}{）}{=}}$$（）
| $${{X}}$$ | $${{0}}$$ | $${{1}}$$ | $${{2}}$$ |
| $${{P}}$$ | $$\frac{1} {6}$$ | $${{a}}$$ | $${{b}}$$ |
B
A.$$\frac{7} {1 2}$$
B.$$\frac{1 7} {3 6}$$
C.$$\begin{array} {l l} {7} \\ {\frac{7} {6}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{1 1} {6}$$
8、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的均值或数学期望']正确率40.0%若离散型随机变量$${{ξ}}$$的取值分别为$${{m}{，}{n}}$$，且$$P ( \xi=m )=n， \， \， \， P ( \xi=n )=m， \， \， \， E \xi=\frac{3} {8}$$，则$${{m}^{2}{+}{{n}^{2}}}$$的值为$${{(}{)}}$$
C
A.$$\frac{1} {4}$$
B.$$\frac{5} {1 6}$$
C.$$\frac{5} {8}$$
D.$$\frac{1 3} {1 6}$$
9、['离散型随机变量的分布列及其性质']正确率60.0%离散变量$${{X}}$$分布列是$$P \left( X=k \right)=\frac{c} {k \left( k+2 \right)}$$$${{(}{k}{=}{1}{，}{2}{，}{…}{，}{5}{)}}$$，则常数$${{c}{=}}$$
A
A.$$\frac{4 2} {2 5}$$
B.$$\frac{2 1} {2 5}$$
C.$$\frac{7} {3}$$
D.$$\begin{array} {l l} {7} \\ {\frac{7} {6}} \\ \end{array}$$
10、['离散型随机变量的分布列及其性质']正确率60.0%抛掷$${{2}}$$颗骰子，所得点数之和$${{X}}$$是一个随机变量，则$${{P}{(}{X}{⩽}{4}{)}}$$等于（）
A
A.$$\frac{1} {6}$$
B.$$\frac{1} {3}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
1. 解析：
离散型随机变量 $$X$$ 等可能取值 $$1, 2, \dots, n$$，故 $$P(X = k) = \frac{1}{n}$$。根据题意：
$$P(1 \leqslant X \leqslant 3) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = \frac{3}{n} = \frac{1}{2}$$
解得 $$n = 6$$。故选 B。
2. 解析：
初始黑球数为 2，白球数为 3。
- 取 1 个球 (i=1)：
- 取到黑球概率 $$\frac{2}{5}$$，黑球数 $$X_1 = 2$$（放回）。
- 取到白球概率 $$\frac{3}{5}$$，白球涂黑后 $$X_1 = 3$$。
故 $$P(X_1=2) = \frac{2}{5}$$，$$E(X_1) = 2 \times \frac{2}{5} + 3 \times \frac{3}{5} = \frac{13}{5}$$。
- 取 2 个球 (i=2)：
- 两黑球概率 $$\frac{\binom{2}{2}}{\binom{5}{2}} = \frac{1}{10}$$，$$X_2 = 2$$。
- 一黑一白概率 $$\frac{\binom{2}{1}\binom{3}{1}}{\binom{5}{2}} = \frac{6}{10}$$，白球涂黑后 $$X_2 = 3$$。
- 两白球概率 $$\frac{\binom{3}{2}}{\binom{5}{2}} = \frac{3}{10}$$，两白球涂黑后 $$X_2 = 4$$。
故 $$P(X_2=2) = \frac{1}{10}$$，$$E(X_2) = 2 \times \frac{1}{10} + 3 \times \frac{6}{10} + 4 \times \frac{3}{10} = \frac{32}{10} = \frac{16}{5}$$。
比较得 $$P(X_1=2) > P(X_2=2)$$ 且 $$E(X_1) > E(X_2)$$。故选 A。
3. 解析：
由分布列性质得：
$$\frac{1}{6} + a + \frac{1}{3} = 1 \Rightarrow a = \frac{1}{2}$$
计算期望 $$E(X)$$：
$$E(X) = (-2) \times \frac{1}{6} + (-1) \times \frac{1}{2} + 1 \times \frac{1}{3} = -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = -\frac{1}{2}$$
故 $$E(2X - 1) = 2E(X) - 1 = 2 \times (-\frac{1}{2}) - 1 = -2$$。故选 D。
4. 解析：
由分布列性质得：
$$\frac{1}{4} + a + \frac{1}{4} = 1 \Rightarrow a = \frac{1}{2}$$
计算期望 $$E(X)$$ 和方差 $$D(X)$$：
$$E(X) = 0 \times \frac{1}{4} + 2 \times \frac{1}{2} + 4 \times \frac{1}{4} = 2$$
$$E(X^2) = 0^2 \times \frac{1}{4} + 2^2 \times \frac{1}{2} + 4^2 \times \frac{1}{4} = 6$$
$$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 6 - 4 = 2$$。故选 B。
5. 解析：
计算期望 $$E(X)$$：
$$E(X) = 0 \times \frac{p}{2} + 1 \times \frac{1-p}{2} + 2 \times \frac{1}{2} = \frac{1-p}{2} + 1 = \frac{3-p}{2}$$
当 $$p$$ 增大时，$$E(X)$$ 减小。故选 B。
7. 解析：
由分布列性质得：
$$\frac{1}{6} + a + b = 1 \Rightarrow a + b = \frac{5}{6}$$
由期望 $$E(X) = \frac{7}{6}$$ 得：
$$0 \times \frac{1}{6} + 1 \times a + 2 \times b = \frac{7}{6} \Rightarrow a + 2b = \frac{7}{6}$$
解得 $$a = \frac{1}{2}$$，$$b = \frac{1}{3}$$。
计算方差 $$D(X)$$：
$$E(X^2) = 0^2 \times \frac{1}{6} + 1^2 \times \frac{1}{2} + 2^2 \times \frac{1}{3} = \frac{11}{6}$$
$$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{11}{6} - \left(\frac{7}{6}\right)^2 = \frac{17}{36}$$。故选 B。
8. 解析：
由题意得：
$$P(\xi = m) = n$$，$$P(\xi = n) = m$$，且 $$n + m = 1$$。
期望 $$E(\xi) = m \cdot n + n \cdot m = 2mn = \frac{3}{8}$$，故 $$mn = \frac{3}{16}$$。
由 $$m + n = 1$$ 和 $$mn = \frac{3}{16}$$ 得：
$$m^2 + n^2 = (m + n)^2 - 2mn = 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$$。故选 C。
9. 解析：
由分布列归一性得：
$$\sum_{k=1}^5 \frac{c}{k(k+2)} = c \left(\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{4 \cdot 6} + \frac{1}{5 \cdot 7}\right) = 1$$
计算部分分式：
$$\frac{1}{k(k+2)} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+2}\right)$$
求和得：
$$\frac{c}{2} \left(1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} - \frac{1}{7}\right) = 1 \Rightarrow c = \frac{42}{25}$$。故选 A。
10. 解析：
两颗骰子点数之和 $$X$$ 的可能值为 2 到 12。计算 $$P(X \leqslant 4)$$：
$$P(X=2) = \frac{1}{36}$$，$$P(X=3) = \frac{2}{36}$$，$$P(X=4) = \frac{3}{36}$$
故 $$P(X \leqslant 4) = \frac{1 + 2 + 3}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$$。故选 A。