离散型随机变量的分布列及其性质-7.2 离散型随机变量及其分布列知识点考前进阶单选题自测题答案-福建省等高三数学选择必修,平均正确率55.99999999999999%

正确率40.0%在某次考试中，多项选择题的给分标准如下：在每题给出的四个选项中，正确选项为其中的两项或三项，全部选对的得$${{5}}$$分，部分选对的得$${{2}}$$分，有错选或不填写答案的得$${{0}}$$分.甲、乙、丙三人在完全不会做某个多项选择题的情况下，分别选了$$\mathrm{A， ~ A B， ~ A B C，}$$则三人该题得分的数学期望分别为（）

D

A.$$1， ~ 0. 8， ~ 0. 5$$

B.$$1. 2， ~ 0. 8， ~ 0. 6$$

C.$$1， ~ 0. 9， ~ 0. 6$$

D.$$1. 2， ~ 0. 9， ~ 0. 5$$

正确率60.0%已知随机变量$${{X}}$$的分布列为$$P ( X=k )=a ( 1 1-2 k )，$$$$k=1， ~ 2， ~ 3， ~ 4， ~ 5，$$其中$${{a}}$$为常数，则$$P \left( \frac{5} {2} < X < \frac{2 3} {5} \right)=$$（）

D

A.$$\frac{3} {5}$$

B.$$\frac{1 3} {2 5}$$

C.$$\frac{4} {5}$$

D.$$\frac{8} {2 5}$$

正确率60.0%若离散型随机变量$${{X}}$$的分布列为：

C

A.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$或$$\frac{1} {3}$$

B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$

C.$$\frac{1} {3}$$

D.$${{1}}$$

正确率60.0%设离散型随机变量$${{X}}$$的分布列如下表，则$${{p}{=}}$$（）

B

A.$${{1}}$$

B.$$1-\frac{\sqrt{2}} {2}$$

C.$$1+\frac{\sqrt2} {2}$$

D.$$1 \pm\frac{\sqrt2} {2}$$

正确率60.0%已知随机变量$${{X}}$$的分布列为

A

A.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$

B.$$\frac{1} {4}$$

C.$$\frac{1} {3}$$

D.$$\frac{1} {2}$$

正确率60.0%已知离散型随机变量$${{ξ}}$$的分布列如下，若随机变量$$\eta=3 \xi+1，$$则$${{η}}$$的数学期望为

B

A.$${{3}{.}{2}}$$

B.$${{3}{.}{4}}$$

C.$${{3}{.}{6}}$$

D.$${{3}{.}{8}}$$

正确率60.0%已知离散型随机变量$${{X}}$$的分布列如下，则$$D ( X )=( \textsubscript{\Lambda} )$$

B

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{4}}$$

正确率60.0%若$$P ( X \leqslant x_{2} )=1-\beta， P ( X \geqslant x_{1} )=1-\alpha$$，其中$${{x}_{1}{<}{{x}_{2}}}$$，则$$P ( x_{1} \leqslant X \leqslant x_{2} )$$等于（）

B

A.$$( 1-\alpha) ( 1-\beta)$$

B.$$1-( \alpha+\beta)$$

C.$$1-\alpha( 1-\beta)$$

D.$$1-\beta( 1-\alpha)$$

正确率60.0%已知随机变量$${{X}}$$的分布列是（）

B

A.$$\left[ \frac{4} {9}， 1 \right]$$

B.$$[-\frac{2} {9}， \frac{1} {3} ]$$

C.$$[ \frac{1} {3}， \frac{5} {9} ]$$

D.$$[-\frac{1} {3}， \frac{4} {9} \rbrack$$

正确率40.0%若离散型随机变量$${{X}}$$的分布列为$$P ( X=k )$$$$= \frac{m \cdot2^{k}} {( 2^{k+1}-1 ) ( 2^{k}-1 )}$$$$( 1 \leqslant k \leqslant5 )$$，$${{k}{∈}{Z}}$$，则$$P \left( \frac{3} {2} < X < \frac{5} {2} \right)$$的值为（）

A

A.$$\frac{6} {3 1}$$

B.$$\frac{6 1} {6 2}$$

C.$$\frac{2 5} {3 1}$$

D.$$\frac{6 2} {6 3}$$

1. 解析：首先计算所有可能的正确选项组合的概率。每题有四个选项，正确选项为2或3个。总组合数为$$C_4^2 + C_4^3 = 6 + 4 = 10$$。

2. 解析：首先求常数$$a$$。由概率和为1： $$a(9 + 7 + 5 + 3 + 1) = 1 \Rightarrow 25a = 1 \Rightarrow a = \frac{1}{25}$$。 $$P\left(\frac{5}{2} < X < \frac{23}{5}\right) = P(X=3) + P(X=4) = a(5 + 3) = \frac{8}{25}$$。 答案为D。

3. 解析：由概率和为1： $$9c^2 - c + 3 - 8c = 1 \Rightarrow 9c^2 - 9c + 2 = 0$$。 解得$$c = \frac{1}{3}$$或$$c = \frac{2}{3}$$。 验证概率非负： - 若$$c = \frac{1}{3}$$：$$P(0) = 9 \times \frac{1}{9} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$，$$P(1) = 3 - \frac{8}{3} = \frac{1}{3}$$，有效。 - 若$$c = \frac{2}{3}$$：$$P(0) = 9 \times \frac{4}{9} - \frac{2}{3} = \frac{10}{3}$$（无效，超过1）。 因此$$c = \frac{1}{3}$$，答案为C。

4. 解析：由概率和为1： $$1 - 2p + \frac{1}{2} + p^2 = 1 \Rightarrow p^2 - 2p + \frac{1}{2} = 0$$。 解得$$p = 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$。 验证概率非负： - $$1 - 2p \geq 0 \Rightarrow p \leq \frac{1}{2}$$，排除$$1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$$。 - $$p^2 \geq 0$$恒成立。 因此$$p = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$$，答案为B。

5. 解析：方差公式： $$DX = p(1 - p) = \frac{p}{3}$$。 解得$$3p(1 - p) = p \Rightarrow 3 - 3p = 1 \Rightarrow p = \frac{2}{3}$$。 答案为A。

6. 解析：首先求$$k$$： $$0.4 + 2k + k = 1 \Rightarrow k = 0.2$$。 $$E(\xi) = 0 \times 0.4 + 1 \times 0.4 + 2 \times 0.2 = 0.8$$。 $$E(\eta) = 3E(\xi) + 1 = 3 \times 0.8 + 1 = 3.4$$。 答案为B。

7. 解析：计算期望和方差： $$E(X) = 0 \times \frac{1}{4} + 2 \times \frac{1}{2} + 4 \times \frac{1}{4} = 2$$。 $$E(X^2) = 0 \times \frac{1}{4} + 4 \times \frac{1}{2} + 16 \times \frac{1}{4} = 6$$。 $$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 6 - 4 = 2$$。 答案为B。

8. 解析：由概率性质： $$P(X \leq x_2) = 1 - \beta$$，$$P(X \geq x_1) = 1 - \alpha$$。 $$P(x_1 \leq X \leq x_2) = P(X \leq x_2) - P(X < x_1) = (1 - \beta) - \alpha = 1 - (\alpha + \beta)$$。 答案为B。

9. 解析：由概率和为1： $$a + \frac{1}{3} + b = 1 \Rightarrow a + b = \frac{2}{3}$$。 约束条件$$a \leq 2b \leq 6a$$： - 由$$a \leq 2b$$和$$a = \frac{2}{3} - b$$得$$\frac{2}{3} - b \leq 2b \Rightarrow b \geq \frac{2}{9}$$。 - 由$$2b \leq 6a$$得$$2b \leq 6\left(\frac{2}{3} - b\right) \Rightarrow b \leq \frac{1}{2}$$。 期望$$E(X) = -a + b$$，代入$$a = \frac{2}{3} - b$$： $$E(X) = -\left(\frac{2}{3} - b\right) + b = 2b - \frac{2}{3}$$。 当$$b \in \left[\frac{2}{9}, \frac{1}{2}\right]$$时，$$E(X) \in \left[-\frac{2}{9}, \frac{1}{3}\right]$$。 答案为B。

10. 解析：首先求$$m$$： $$\sum_{k=1}^5 P(X=k) = 1$$。 通过裂项法： $$\frac{2^k}{(2^{k+1}-1)(2^k-1)} = \frac{1}{2^k-1} - \frac{1}{2^{k+1}-1}$$。 因此$$\sum_{k=1}^5 P(X=k) = m\left(\frac{1}{1} - \frac{1}{63}\right) = \frac{62}{63}m = 1 \Rightarrow m = \frac{63}{62}$$。 $$P\left(\frac{3}{2} < X < \frac{5}{2}\right) = P(X=2) = \frac{63}{62} \cdot \frac{4}{7 \times 3} = \frac{6}{31}$$。 答案为A。