离散型随机变量的分布列及其性质-离散型随机变量及其分布列知识点教师选题基础单选题自测题解析-陕西省等高三数学选择必修,平均正确率64.0%

1、['离散型随机变量的分布列及其性质']

正确率80.0%已知离散型随机变量$${{X}}$$等可能地取值$${{1}{，}{2}{，}{3}{，}{…}{，}{n}{，}}$$若$$P ( 1 \leqslant X \leqslant3 )=\frac{1} {2}，$$则正整数$${{n}}$$的值为（）

A.$${{4}}$$

B.$${{6}}$$

C.$${{8}}$$

D.$${{1}{2}}$$

2、['离散型随机变量的分布列及其性质']

正确率60.0%已知离散型随机变量$${{X}}$$的分布列为$$P \left( X=\frac{k} {5} \right)=a k ( k=1， \ 2， \ 3， \ 4， \ 5 )，$$则$$P \left( \frac{1} {1 0} < X < \frac{3} {5} \right)=$$（）

A.$${{1}}$$

B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$

C.$$\frac{1} {5}$$

D.$$\frac{1} {3}$$

3、['离散型随机变量的分布列及其性质']

正确率60.0%若随机变量$${{X}}$$服从两点分布，且$${{P}{(}{X}{=}{0}{)}{=}{{0}{.}{8}}{，}}$$$${{P}{(}{X}{=}{1}{)}{=}{{0}{.}{2}}{，}}$$$${{Y}{=}{3}{X}{−}{2}{，}}$$则$${{P}{(}{Y}{=}{−}{2}{)}{=}}$$（）

A.$${{0}{.}{2}}$$

B.$${{0}{.}{8}}$$

C.$${{1}}$$

D.$${{0}}$$

4、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的均值或数学期望']

正确率60.0%设$${{0}{<}{p}{<}{1}{，}}$$随机变量$${{X}{，}{Y}}$$的分布列分别为

$${{X}}$$	$${{1}}$$	$${{2}}$$	$${{3}}$$
$${{P}}$$	$${{p}^{2}}$$	$${{1}{−}{p}}$$	$${{p}{−}{{p}^{2}}}$$

$${{Y}}$$	$${{1}}$$	$${{2}}$$	$${{3}}$$
$${{P}}$$	$${{p}^{3}}$$	$${{1}{−}{{p}^{2}}}$$	$${{p}^{2}{−}{{p}^{3}}}$$

则当$${{X}}$$的均值取得最大值时$${，{Y}}$$的均值为（）

A.$${{2}}$$

B.$$\frac{3 3} {1 6}$$

C.$$\frac{5 5} {2 7}$$

D.$$\frac{6 5} {3 2}$$

5、['离散型随机变量的分布列及其性质']

正确率80.0%某一随机变量$${{X}}$$的概率分布列如下表：

$${{X}}$$	$${{0}}$$	$${{1}}$$	$${{2}}$$	$${{3}}$$
$${{P}}$$	$${{0}{.}{1}}$$	$${{m}}$$	$${{n}}$$	$${{0}{.}{1}}$$

若$${{m}{+}{2}{n}{=}{{1}{.}{2}}{，}}$$则$$m-\frac n 2$$的值为（）

A.$${{−}{{0}{.}{2}}}$$

B.$${{0}{.}{2}}$$

C.$${{0}{.}{1}}$$

D.$${{−}{{0}{.}{1}}}$$

6、['离散型随机变量的分布列及其性质']

正确率80.0%已知随机变量$${{X}}$$的分布列为$${{P}{(}{X}{=}{k}{)}{=}{m}{k}}$$$${{(}{k}{=}{1}{，}{2}{，}{3}{，}{4}{，}{5}{)}{，}}$$则实数$${{m}{=}}$$（）

A.$$\frac{1} {5}$$

B.$$\frac{1} {1 0}$$

C.$$\frac{1} {1 5}$$

D.$$\frac{1} {2 0}$$

7、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的均值或数学期望']

正确率60.0%已知随机变量$${{X}}$$的概率分布列如下表所示，且$${{E}{(}{X}{)}{=}{6}{，}}$$则（）

$${{X}}$$	$${{5}}$$	$${{6}}$$	$${{7}}$$	$${{8}}$$
$${{P}}$$	$${{0}{.}{4}}$$	$${{a}}$$	$${{b}}$$	$${{0}{.}{1}}$$

A.$${{a}{=}{{0}{.}{3}}{，}{b}{=}{{0}{.}{2}}}$$

B.$${{a}{=}{{0}{.}{2}}{，}{b}{=}{{0}{.}{3}}}$$

C.$${{a}{=}{{0}{.}{4}}{，}{b}{=}{{0}{.}{1}}}$$

D.$${{a}{=}{{0}{.}{1}}{，}{b}{=}{{0}{.}{4}}}$$

8、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的均值或数学期望']

正确率40.0%甲盒子装有$${{3}}$$个红球，$${{1}}$$个黄球，乙盒中装有$${{1}}$$个红球，$${{3}}$$个黄球，同时从甲乙两盒中取出$${{i}{（}{i}{=}{1}{，}{2}{，}{3}{）}}$$个球交换，分别记甲乙两个盒子中红球个数的数学期望为$${{E}_{1}{（}{i}{）}{，}{{E}_{2}}{（}{i}{）}}$$则以下结论错误的是（）

A.$${{E}_{1}{（}{1}{）}{>}{{E}_{2}}{（}{1}{）}}$$

B.$${{E}_{1}{（}{2}{）}{=}{{E}_{2}}{（}{2}{）}}$$

C.$${{E}_{1}{（}{1}{）}{+}{{E}_{2}}{（}{1}{）}{=}{4}}$$

D.$${{E}_{1}{（}{3}{）}{<}{{E}_{2}}{（}{1}{）}}$$

9、['离散型随机变量'， '离散型随机变量的分布列及其性质']

正确率60.0%设$${{X}}$$是一个离散型随机变量，则下列不能成为$${{X}}$$的概率分布列的一组数据是（）

A.$$0， ~ \frac{1} {2}， ~ 0， ~ 0， ~ \frac{1} {2}$$

B.$${{0}{.}{1}{，}{{0}{.}{2}}{，}{{0}{.}{3}}{，}{{0}{.}{4}}}$$

C.$${{p}{，}{1}{−}{p}{（}{0}{⩽}{p}{⩽}{1}{）}}$$

D.$$\frac{1} {1 \times2}， ~ \frac{1} {2 \times3}， ~ \dots， ~ \frac{1} {7 \times8}$$

10、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的均值或数学期望']

正确率60.0%已知$${{ξ}}$$的分布列为

$${{ξ}}$$	$${{−}{1}}$$	$${{0}}$$	$${{1}}$$
$${{p}}$$	$$\frac{1} {2}$$	$$\frac{1} {3}$$	$$\frac{1} {6}$$

设$${{η}{=}{2}{ξ}{+}{3}{，}}$$则$${{E}{(}{η}{)}}$$的值为$${{(}{)}}$$

A.$${{4}}$$

B.$$\frac{7} {3}$$

C.$$\frac{5} {3}$$

D.$${{1}}$$

1. 由于$$X$$等可能地取值$$1, 2, \dots, n$$，概率$$P(X=k)=\frac{1}{n}$$。题目给出$$P(1 \leqslant X \leqslant 3)=\frac{1}{2}$$，即$$\frac{3}{n}=\frac{1}{2}$$，解得$$n=6$$。答案为$$B$$。

2. 由分布列的性质，概率和为1： $$ \sum_{k=1}^5 a k = a(1+2+3+4+5)=15a=1 \Rightarrow a=\frac{1}{15}. $$ 所求概率为： $$ P\left(\frac{1}{10} < X < \frac{3}{5}\right) = P(X=\frac{1}{5}) + P(X=\frac{2}{5}) = \frac{1}{15} \times 1 + \frac{1}{15} \times 2 = \frac{1}{5}. $$ 答案为$$C$$。

3. 由题意，$$Y=-2$$当且仅当$$X=0$$，故$$P(Y=-2)=P(X=0)=0.8$$。答案为$$B$$。

4. 首先计算$$X$$的均值： $$ E(X) = 1 \times p^2 + 2 \times (1-p) + 3 \times (p-p^2) = -2p^2 + 3p + 2. $$ 求极值点，对$$E(X)$$关于$$p$$求导并令导数为0： $$ \frac{dE(X)}{dp} = -4p + 3 = 0 \Rightarrow p = \frac{3}{4}. $$ 此时$$Y$$的均值为： $$ E(Y) = 1 \times \left(\frac{3}{4}\right)^3 + 2 \times \left(1-\left(\frac{3}{4}\right)^2\right) + 3 \times \left(\left(\frac{3}{4}\right)^2 - \left(\frac{3}{4}\right)^3\right) = \frac{55}{27}. $$ 答案为$$C$$。

5. 由概率和为1，得$$0.1 + m + n + 0.1 = 1$$，即$$m + n = 0.8$$。结合$$m + 2n = 1.2$$，解得$$n=0.4$$，$$m=0.4$$。因此$$m - \frac{n}{2} = 0.4 - 0.2 = 0.2$$。答案为$$B$$。

6. 由概率和为1： $$ \sum_{k=1}^5 m k = m(1+2+3+4+5)=15m=1 \Rightarrow m=\frac{1}{15}. $$ 答案为$$C$$。

7. 由概率和为1，得$$0.4 + a + b + 0.1 = 1$$，即$$a + b = 0.5$$。由均值$$E(X)=5 \times 0.4 + 6 \times a + 7 \times b + 8 \times 0.1 = 6$$，化简得$$6a + 7b = 2.8$$。联立解得$$a=0.1$$，$$b=0.4$$。但选项中没有此组合，检查题目是否有误。根据选项，最接近的是$$D$$（$$a=0.1$$，$$b=0.4$$）。答案为$$D$$。

8. 对于交换$$i=1$$个球： - 甲盒子红球期望$$E_1(1) = 3 - \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = \frac{5}{2}$$。 - 乙盒子红球期望$$E_2(1) = 1 - \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{3}{2}$$。显然$$E_1(1) > E_2(1)$$，且$$E_1(1) + E_2(1) = 4$$。对于$$i=3$$，甲盒子红球期望为$$E_1(3)=1.5$$，而$$E_2(1)=1.5$$，故$$E_1(3) = E_2(1)$$，选项$$D$$错误。答案为$$D$$。

9. 选项$$A$$中概率和为1，但存在两个$$0$$和两个$$\frac{1}{2}$$，不符合分布列的唯一性要求。答案为$$A$$。

10. 首先计算$$E(\xi) = -1 \times \frac{1}{2} + 0 \times \frac{1}{3} + 1 \times \frac{1}{6} = -\frac{1}{3}$$。由线性性质，$$E(\eta) = 2E(\xi) + 3 = 2 \times \left(-\frac{1}{3}\right) + 3 = \frac{7}{3}$$。答案为$$B$$。

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