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正确率60.0%若离散型随机变量$${{X}}$$的分布列为
| $${{X}}$$ | $${{0}}$$ | $${{1}}$$ |
| $${{P}}$$ | $${{4}{a}{−}{1}}$$ | $${{3}{{a}^{2}}{+}{a}}$$ |
C
A.$${{−}{2}}$$或$$\frac{1} {3}$$
B.$${{−}{2}}$$
C.$$\frac{1} {3}$$
D.$${{2}}$$或$$- \frac{1} {3}$$
2、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差的性质']正确率40.0%已知随机变量$${{ξ}_{i}}$$满足$$P ~ ( \xi_{i}=0 ) ~=p_{i}， ~ P ~ ( \xi_{i}=1 ) ~=1-p_{i}$$，且$$0 < p_{i} < \frac{1} {2}， \， \， \， i=1， \， \， \， 2$$．若$$E ~ ( \xi_{1} ) ~ < E ~ ( \xi_{2} )$$，则（）
B
A.$${{p}_{1}{<}{{p}_{2}}}$$，且$$D \ ( \xi_{1} ) \ < D \ ( \xi_{2} )$$
B.$${{p}_{1}{>}{{p}_{2}}}$$，且$$D \ ( \xi_{1} ) > D \ ( \xi_{2} )$$
C.$${{p}_{1}{<}{{p}_{2}}}$$，且$$D \ ( \xi_{1} ) > D \ ( \xi_{2} )$$
D.$${{p}_{1}{>}{{p}_{2}}}$$，且$$D \ ( \xi_{1} ) \ < D \ ( \xi_{2} )$$
3、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的均值或数学期望']正确率60.0%已知随机变量$${{X}}$$和$${{Y}{，}}$$其中$$Y=1 2 X+7，$$且$$E ( Y )=3 4，$$若$${{X}}$$的分布列如下表，则$${{m}}$$的值为（）
| $${{X}}$$ | $${{1}}$$ | $${{2}}$$ | $${{3}}$$ | $${{4}}$$ |
| $${{P}}$$ | $$\frac{1} {4}$$ | $${{m}}$$ | $${{n}}$$ | $$\frac1 {1 2}$$ |
A
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$\frac{1} {4}$$
C.$$\frac{1} {6}$$
D.$$\frac{1} {8}$$
4、['离散型随机变量的分布列及其性质']正确率60.0%设离散型随机变量$${{X}}$$的分布列如下表，则$${{p}{=}}$$（）
| $${{X}}$$ | $${{0}}$$ | $${{1}}$$ | $${{2}}$$ |
| $${{P}}$$ | $${{1}{−}{2}{p}}$$ | $$\frac{1} {2}$$ | $${{p}^{2}}$$ |
B
A.$${{1}}$$
B.$$1-\frac{\sqrt{2}} {2}$$
C.$$1+\frac{\sqrt2} {2}$$
D.$$1 \pm\frac{\sqrt2} {2}$$
5、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的均值或数学期望']正确率60.0%若随机变量$${{X}}$$的分布列为
| $${{X}}$$ | $${{1}}$$ | $${{2}}$$ | $${{3}}$$ |
| $${{P}}$$ | $$\frac{1} {3}$$ | $${{a}}$$ | $${{b}}$$ |
D
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
C.$$\frac{4} {3}$$
D.$${{1}}$$
6、['离散型随机变量的分布列及其性质']正确率60.0%随机变量$${{ξ}}$$的分布列为$$P ~ ( \xi=k ) ~=\frac{c} {k ( k+1 )}， ~ k=1， ~ 2， ~ 3， ~ 4， ~ c$$为常数，则$$P ( \frac{1} {2} < \xi< \frac{5} {2} )$$的值为（）
B
A.$$\frac{4} {5}$$
B.$$\frac{5} {6}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{3} {4}$$
8、['离散型随机变量的分布列及其性质']正确率60.0%随机变量$${{ξ}}$$的概率分布为$$p \left( \xi=k \right)=a \left( 1 1-2 k \right) \left( k=1， 2， 3， 4， 5 \right)$$其中$${{a}}$$是常数，$$p \left( \frac{5} {2} < \xi< \frac{1 3} {3} \right)$$的值为$${{(}{)}}$$
D
A.$$\frac{3} {5}$$
B.$$\frac{3} {2 5}$$
C.$$\frac{4} {5}$$
D.$$\frac{8} {2 5}$$
9、['离散型随机变量的分布列及其性质'， '离散型随机变量的均值或数学期望'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%一个射箭运动员在练习时只记射中$${{9}}$$环和$${{1}{0}}$$环的成绩，未击中$${{9}}$$环或$${{1}{0}}$$环就以$${{0}}$$环记．该运动员在练习时击中$${{1}{0}}$$环的概率为$${{a}}$$，击中$${{9}}$$环的概率为$${{b}}$$，既未击中$${{9}}$$环也未击中$${{1}{0}}$$环的概率为$$c ( a， b， c \in[ 0， 1 ) )$$，如果已知该运动员一次射箭击中环数的期望为$${{9}}$$环，则当$$\frac{1 0} {a}+\frac{1} {9 b}$$取最小值时，$${{c}}$$的值为$${{(}{)}}$$
A
A.$$\frac{1} {1 1}$$
B.$$\frac{2} {1 1}$$
C.$$\frac{5} {1 1}$$
D.$${{0}}$$
10、['离散型随机变量的分布列及其性质']正确率40.0%若离散型随机变量$${{X}}$$的分布列为$$P ( X=k )$$$$= \frac{m \cdot2^{k}} {( 2^{k+1}-1 ) ( 2^{k}-1 )}$$$$( 1 \leqslant k \leqslant5 )$$，$${{k}{∈}{Z}}$$，则$$P \left( \frac{3} {2} < X < \frac{5} {2} \right)$$的值为（）
A
A.$$\frac{6} {3 1}$$
B.$$\frac{6 1} {6 2}$$
C.$$\frac{2 5} {3 1}$$
D.$$\frac{6 2} {6 3}$$
1. 解析：
根据离散型随机变量分布列的性质，概率之和为1：
$$4a - 1 + 3a^2 + a = 1$$
化简得：
$$3a^2 + 5a - 2 = 0$$
解得：
$$a = \frac{1}{3} \quad \text{或} \quad a = -2$$
同时，概率需满足 $$0 \leq 4a - 1 \leq 1$$ 和 $$0 \leq 3a^2 + a \leq 1$$。
验证 $$a = -2$$ 时，$$4a - 1 = -9$$ 不满足；$$a = \frac{1}{3}$$ 时均满足。
因此，正确答案为 C。
2. 解析：
随机变量 $$\xi_i$$ 的期望为：
$$E(\xi_i) = 0 \cdot p_i + 1 \cdot (1 - p_i) = 1 - p_i$$
由 $$E(\xi_1) < E(\xi_2)$$ 得：
$$1 - p_1 < 1 - p_2 \Rightarrow p_1 > p_2$$
方差为：
$$D(\xi_i) = p_i(1 - p_i)$$
由于 $$0 < p_i < \frac{1}{2}$$，$$D(\xi_i)$$ 随 $$p_i$$ 增大而增大，故 $$D(\xi_1) > D(\xi_2)$$。
正确答案为 B。
3. 解析：
由 $$Y = 12X + 7$$ 和 $$E(Y) = 34$$ 得：
$$E(Y) = 12E(X) + 7 = 34 \Rightarrow E(X) = \frac{27}{12} = \frac{9}{4}$$
计算 $$E(X)$$：
$$E(X) = 1 \cdot \frac{1}{4} + 2 \cdot m + 3 \cdot n + 4 \cdot \frac{1}{12} = \frac{9}{4}$$
化简得：
$$2m + 3n = \frac{9}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$$
又概率之和为1：
$$\frac{1}{4} + m + n + \frac{1}{12} = 1 \Rightarrow m + n = \frac{2}{3}$$
联立解得：
$$m = \frac{1}{3}, \quad n = \frac{1}{3}$$
正确答案为 A。
4. 解析：
根据分布列性质，概率之和为1：
$$1 - 2p + \frac{1}{2} + p^2 = 1$$
化简得：
$$p^2 - 2p + \frac{1}{2} = 0$$
解得：
$$p = 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$
同时，概率需满足 $$0 \leq 1 - 2p \leq 1$$ 和 $$0 \leq p^2 \leq 1$$。
验证 $$p = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$$ 时，$$1 - 2p < 0$$ 不满足；$$p = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$$ 时均满足。
正确答案为 B。
5. 解析：
根据期望公式：
$$E(X) = 1 \cdot \frac{1}{3} + 2 \cdot a + 3 \cdot b = 2$$
化简得：
$$2a + 3b = \frac{5}{3}$$
又概率之和为1：
$$\frac{1}{3} + a + b = 1 \Rightarrow a + b = \frac{2}{3}$$
联立解得：
$$a = \frac{1}{3}, \quad b = \frac{1}{3}$$
因此：
$$a + 2b = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1$$
正确答案为 D。
6. 解析：
先求常数 $$c$$：
$$\sum_{k=1}^4 P(\xi = k) = c \left( \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} \right) = c \left( \frac{4}{5} \right) = 1$$
解得：
$$c = \frac{5}{4}$$
计算 $$P\left( \frac{1}{2} < \xi < \frac{5}{2} \right)$$：
$$\xi$$ 可取 1 和 2，因此：
$$P = P(\xi = 1) + P(\xi = 2) = \frac{5}{4} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{6} \right) = \frac{5}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{5}{6}$$
正确答案为 B。
8. 解析：
先求常数 $$a$$：
$$\sum_{k=1}^5 P(\xi = k) = a \sum_{k=1}^5 (11 - 2k) = a (9 + 7 + 5 + 3 + 1) = 25a = 1$$
解得：
$$a = \frac{1}{25}$$
计算 $$P\left( \frac{5}{2} < \xi < \frac{13}{3} \right)$$：
$$\xi$$ 可取 3 和 4，因此：
$$P = P(\xi = 3) + P(\xi = 4) = \frac{1}{25} (5 + 3) = \frac{8}{25}$$
正确答案为 D。
9. 解析：
由题意得：
$$E(X) = 10a + 9b + 0 \cdot c = 9 \Rightarrow 10a + 9b = 9$$
且 $$a + b + c = 1$$。
利用拉格朗日乘数法或直接优化，当 $$\frac{10}{a} + \frac{1}{9b}$$ 取最小值时，$$a = \frac{9}{11}$$，$$b = \frac{1}{11}$$。
因此：
$$c = 1 - a - b = \frac{1}{11}$$
正确答案为 A。
10. 解析：
先求常数 $$m$$：
$$\sum_{k=1}^5 P(X = k) = m \sum_{k=1}^5 \frac{2^k}{(2^{k+1} - 1)(2^k - 1)} = 1$$
通过裂项法化简求和：
$$\frac{2^k}{(2^{k+1} - 1)(2^k - 1)} = \frac{1}{2^k - 1} - \frac{1}{2^{k+1} - 1}$$
因此：
$$\sum_{k=1}^5 P(X = k) = m \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{63} \right) = m \cdot \frac{62}{63} = 1 \Rightarrow m = \frac{63}{62}$$
计算 $$P\left( \frac{3}{2} < X < \frac{5}{2} \right)$$：
$$X$$ 可取 2，因此：
$$P = P(X = 2) = \frac{63}{62} \cdot \frac{4}{3 \cdot 7} = \frac{6}{31}$$
正确答案为 A。