1、['正弦（型）函数的定义域和值域'， '条件概率的概念及公式']正确率40.0%在实数集$${{R}}$$上随机取一个数$${{x}}$$，事件$$A=\，^{4} \! \operatorname{s i n} x \geqslant0， \， \， \， x \in[ 0， 2 \pi]^{\prime\prime}$$，事件$$B=` \operatorname{s i n} x+\sqrt{3} \operatorname{c o s} x \leqslant1 "$$，则$$P ( B \mid A )=\emptyset$$）
C
A.$$\frac{1} {4}$$
B.$$\frac{1} {3}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
2、['条件概率的概念及公式']正确率60.0%已知盒子中装有形状、大小完全相同的五张卡片，分别标有数字$$1， ~ 2， ~ 3， ~ 4， ~ 5，$$现每次从中任意取一张，取出后不再放回，若抽取三次，则在前两张卡片所标数字之和为偶数的条件下，第三张卡片所标数字为奇数的概率为（）
C
A.$$\frac{1} {5}$$
B.$$\frac{2} {5}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {8}} \\ \end{array}$$
3、['相互独立事件的概念'， '条件概率的概念及公式']正确率60.0%甲箱中有$${{5}}$$个红球、$${{2}}$$个白球和$${{3}}$$个黑球，乙箱中有$${{4}}$$个红球、$${{3}}$$个白球和$${{3}}$$个黑球$${{.}}$$先从甲箱中随机取出$${{1}}$$个球放入乙箱，分别以事件$${{A}_{1}}$$，$${{A}_{2}}$$，$${{A}_{3}}$$表示由甲箱中取出的是红球、白球和黑球；再从乙箱中随机取出$${{1}}$$个球，记事件$${{B}{=}}$$“由乙箱中取出的球是红球”$${{.}}$$则下列结论正确的是（）
B
A.$$P ( B )=$$$$\frac{2} {5}$$
B.$$P ( B | A_{1}$$$${{)}{=}}$$$$\frac{5} {1 1}$$
C.事件$${{B}}$$与事件$${{A}_{1}}$$相互独立
D.$${{P}{(}{{A}_{1}}}$$$${{)}{=}}$$$$\frac{3} {1 0}$$
5、['条件概率的概念及公式']正确率60.0%袋中装有$${{4}}$$个红球$${、{3}}$$个白球，甲$${、}$$乙按先后次序无放回地各摸取一球，在甲摸到了白球的条件下，乙摸到白球的概率是（）
B
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {7}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{1} {3}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\frac{2} {5}$$
6、['条件概率的概念及公式']正确率40.0%甲$${、}$$乙两位同学各自独立地解答同一个问题，他们能够正确解答该问题的概率分别是$$\frac{2} {5}$$和$$\frac{1} {2}，$$在这个问题已被正确解答的条件下，甲$${、}$$乙两位同学都能正确回答该问题的概率为$${{(}{)}}$$
A
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {7}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{1} {5}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {9}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{9} {1 0}$$
7、['条件概率的概念及公式']正确率60.0%根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为$$\frac{7} {3 0}，$$既吹东风又下雨的概率为$$\frac{1} {1 0}.$$则在吹东风的条件下下雨的概率为（）
B
A.$$\frac{3} {1 1}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {7}} \\ \end{array}$$
C.$$\frac{7} {1 1}$$
D.$$\frac{1} {1 0}$$
8、['条件概率的应用'， '条件概率的概念及公式']正确率60.0%某班学生考试成绩中，数学不及格的占$$\frac{3} {2 0}，$$语文不及格的占$$\frac{1} {2 0}，$$两门都不及格的占$$\frac{3} {1 0 0} \，.$$已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是（）
D
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{1} {3}$$
C.$$\frac{3} {1 0}$$
D.$$\frac{1} {5}$$
9、['条件概率的应用'， '条件概率的概念及公式']正确率60.0%从$$1， ~ 2， ~ 3， ~ \ldots， ~ 1 5$$中，甲$${、}$$乙两人各任取一数(不重复$${{)}}$$，已知甲取到的数是$${{5}}$$的倍数，则甲取到的数大于乙取到的数的概率为$${{(}{)}}$$
D
A.$$\frac{1} {1 9}$$
B.$$\frac{1 7} {3 8}$$
C.$$\frac{4} {1 9}$$
D.$$\frac{9} {1 4}$$
10、['条件概率的应用'， '条件概率的概念及公式']正确率40.0%甲$${、}$$乙$${、}$$丙三人到三个不同的景点旅游，每人只去一个景点，设事件$${{A}}$$为$${{“}}$$三个人去的景点各不相同$${{”}}$$，事件$${{B}}$$为$${{“}}$$甲独自去一个景点，乙$${、}$$丙去剩下的景点$${{”}}$$，则$$P ( A | B )$$等于（）
C
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{4} {9}} \\ \end{array}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {9}} \\ \end{array}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\frac{1} {3}$$
1. 解析：
首先计算事件A的概率。$$A$$表示在$$[0, 2\pi]$$上$$4\sin x \geq 0$$，即$$\sin x \geq 0$$，解集为$$[0, \pi]$$，长度为$$\pi$$，总区间长度为$$2\pi$$，因此$$P(A) = \frac{\pi}{2\pi} = \frac{1}{2}$$。
接着计算事件B的概率。$$B$$表示$$\sin x + \sqrt{3} \cos x \leq 1$$，可以化简为$$2\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) \leq 1$$，即$$\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) \leq \frac{1}{2}$$。解集为$$x + \frac{\pi}{3} \in \left[0, \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}\right]$$，即$$x \in \left[-\frac{\pi}{3}, -\frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}\right]$$。由于$$x \in [0, 2\pi]$$，有效区间为$$\left[\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}\right]$$，长度为$$\frac{\pi}{3}$$。因此$$P(B) = \frac{\pi/3}{2\pi} = \frac{1}{6}$$。
由于$$A$$和$$B$$的交集为$$B$$本身（因为$$B$$的解集完全包含在$$A$$的解集内），所以$$P(B \mid A) = \frac{P(B)}{P(A)} = \frac{1/6}{1/2} = \frac{1}{3}$$。答案为$$B$$。
2. 解析：
设前两张卡片数字之和为偶数的事件为$$E$$，第三张卡片为奇数的事件为$$F$$。前两张和为偶数有两种情况：两张都是奇数或两张都是偶数。
奇数为1,3,5，偶数为2,4。总共有$$C(5,2) = 10$$种取两张卡片的组合。
两张都是奇数的组合数为$$C(3,2) = 3$$，两张都是偶数的组合数为$$C(2,2) = 1$$，因此$$P(E) = \frac{3 + 1}{10} = \frac{2}{5}$$。
在$$E$$发生的条件下，剩余卡片数为3张。若前两张为奇数，剩余奇数有1个（因为已取2个奇数），偶数有2个；若前两张为偶数，剩余奇数有3个，偶数有0个。
因此，$$P(F \mid E) = \frac{3 \times \frac{1}{3} + 1 \times \frac{3}{3}}{4} = \frac{1 + 1}{4} = \frac{1}{2}$$。答案为$$C$$。
3. 解析：
首先计算$$P(A_1) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$$，$$P(A_2) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$$，$$P(A_3) = \frac{3}{10}$$。
若$$A_1$$发生，乙箱有5红球，3白球，3黑球，$$P(B \mid A_1) = \frac{5}{11}$$。
若$$A_2$$发生，乙箱有4红球，4白球，3黑球，$$P(B \mid A_2) = \frac{4}{11}$$。
若$$A_3$$发生，乙箱有4红球，3白球，4黑球，$$P(B \mid A_3) = \frac{4}{11}$$。
由全概率公式，$$P(B) = P(A_1)P(B \mid A_1) + P(A_2)P(B \mid A_2) + P(A_3)P(B \mid A_3) = \frac{1}{2} \times \frac{5}{11} + \frac{1}{5} \times \frac{4}{11} + \frac{3}{10} \times \frac{4}{11} = \frac{5}{22} + \frac{4}{55} + \frac{12}{110} = \frac{25}{110} + \frac{8}{110} + \frac{12}{110} = \frac{45}{110} = \frac{9}{22}$$。
选项B正确，答案为$$B$$。
5. 解析：
设甲摸到白球为事件$$A$$，乙摸到白球为事件$$B$$。在$$A$$发生的条件下，袋中剩余球为4红球和2白球，因此$$P(B \mid A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$。答案为$$B$$。
6. 解析：
设甲正确解答为事件$$A$$，乙正确解答为事件$$B$$。问题被正确解答的概率为$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B) = \frac{2}{5} + \frac{1}{2} - \frac{2}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{9}{10} - \frac{1}{5} = \frac{7}{10}$$。
所求条件概率为$$P(A \cap B \mid A \cup B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A \cup B)} = \frac{\frac{2}{5} \times \frac{1}{2}}{\frac{7}{10}} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{7}{10}} = \frac{2}{7}$$。答案为$$A$$。
7. 解析：
设吹东风为事件$$A$$，下雨为事件$$B$$。已知$$P(A) = \frac{7}{30}$$，$$P(A \cap B) = \frac{1}{10}$$。
所求条件概率为$$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{\frac{1}{10}}{\frac{7}{30}} = \frac{3}{7}$$。答案为$$B$$。
8. 解析：
设数学不及格为事件$$A$$，语文不及格为事件$$B$$。已知$$P(A) = \frac{3}{20}$$，$$P(B) = \frac{1}{20}$$，$$P(A \cap B) = \frac{3}{100}$$。
所求条件概率为$$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{\frac{3}{100}}{\frac{3}{20}} = \frac{1}{5}$$。答案为$$D$$。
9. 解析：
甲取到的数为5的倍数，可能为5,10,15。乙取到的数为剩下的14个数。
若甲取5，乙有4个数小于5（1,2,3,4）；若甲取10，乙有9个数小于10；若甲取15，乙有14个数小于15。
因此所求概率为$$\frac{\frac{1}{3} \times \frac{4}{14} + \frac{1}{3} \times \frac{9}{14} + \frac{1}{3} \times \frac{14}{14}} = \frac{4 + 9 + 14}{42} = \frac{27}{42} = \frac{9}{14}$$。答案为$$D$$。
10. 解析：
事件$$B$$表示甲独自去一个景点，乙和丙去另一个景点。共有$$3 \times 2 \times 1 = 6$$种情况（甲选一个景点，乙和丙选剩下的两个景点中的一个）。
事件$$A \cap B$$表示三人去的景点各不相同，且甲独自去一个景点，共有$$3 \times 2 \times 1 = 6$$种情况。
因此$$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{6}{6} = 1$$，但选项中没有1，可能题目描述有误。重新理解题意，若$$B$$为“甲独自去一个景点，乙和丙去同一个景点”，则$$P(B) = 3 \times 2 = 6$$（甲选一个景点，乙和丙选剩下的两个景点中的一个），$$P(A \cap B) = 0$$，矛盾。可能需要重新审题。
假设$$B$$为“甲独自去一个景点”，则$$P(B) = 3 \times 2^2 = 12$$（甲选一个景点，乙和丙各有2种选择），$$P(A \cap B) = 3 \times 2 \times 1 = 6$$，因此$$P(A \mid B) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$。答案为$$C$$。
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