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正确率60.0%已知$$P ( A ) > 0， \， \， \， P ( B | A )+P ( \bar{B} )=1，$$则事件$${{A}}$$与事件$${{B}}$$（）
C
A.互斥
B.对立
C.独立
D.以上均不正确
2、['古典概型的概率计算公式'， '条件概率的概念及公式']正确率60.0%现有标有数字$$1， ~ 2， ~ 3， ~ 4， ~ 5， ~ 6$$的六张卡片，卡片的形状、质地都相同，从中有放回地随机抽取两次，每次抽取一张，事件$${{A}}$$表示“第一次取出的数字是$${{3}}$$”，事件$${{B}}$$表示“第二次取出的数字是$${{2}}$$”，事件$${{C}}$$表示“两次取出的数字之和是$${{6}}$$”，事件$${{D}}$$表示“两次取出的数字之和是$${{7}}$$”，则（）
B
A.$$P ( C )=\frac{1} {6}$$
B.$$P ( A | D )=P ( A )$$
C.$$P ( A | C )=P ( A )$$
D.$$P ( B C )=P ( B ) P ( C )$$
3、['排列组合中的相邻与不相邻'， '条件概率的概念及公式']正确率60.0%有$${{4}}$$名女生和$${{2}}$$名男生参加学校组织的演讲比赛，现场抽签决定比赛顺序，已知男生甲比男生乙先出场，则两位男生相邻的概率是（）
B
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{1} {3}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{4} {7}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{3} {5}$$
4、['条件概率的概念及公式']正确率60.0%一个盒子中装有$${{5}}$$个黑球和$${{4}}$$个白球，现从中先后无放回地随机取$${{2}}$$个球，记“第一次取得黑球”为事件$${{A}{，}}$$“第二次取得白球”为事件$${{B}{，}}$$则$$P ( A B )+P ( B | A )=$$（）
A
A.$$\begin{array} {l l} {7} \\ {\frac{7} {9}} \\ \end{array}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
C.$$\frac{5} {6}$$
D.$$\frac{8} {9}$$
5、['条件概率的概念及公式']正确率40.0%一个袋中共有$${{1}{0}}$$个大小相同的黑球和白球，若从袋中任意摸出$${{2}}$$个球，则至少有$${{1}}$$个白球的概率为$$\frac{1 3} {1 5}$$.现从中不放回地取球，每次取$${{1}}$$个球，取$${{2}}$$次，则在已知第$${{2}}$$次取得白球的条件下，第$${{1}}$$次取得黑球的概率为（）
A
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{4} {9}} \\ \end{array}$$
B.$$\begin{array} {l l} {5} \\ {\frac{5} {9}} \\ \end{array}$$
C.$$\begin{array} {l l} {7} \\ {\frac{7} {9}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{1 3} {1 8}$$
6、['条件概率的应用'， '条件概率的概念及公式']正确率60.0%设$${{A}{，}{B}}$$为两个独立事件，且$$P ( A ) > 0，$$若$$P ( A B )=\frac{1} {3}， \， \， \， P ( B )=\frac{2} {3}，$$则$$P ( A | B )=$$（）
D
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{4} {9}} \\ \end{array}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{1} {9}} \\ \end{array}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {9}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
7、['条件概率的应用'， '条件概率的概念及公式']正确率80.0%下面几种概率是条件概率的是（）
B
A.甲、乙二人的投篮命中率分别为$$0. 6， ~ 0. 7，$$各投篮一次都投中的概率
B.甲、乙二人参加抽奖$${，{{1}{0}}}$$张奖票中有$${{2}}$$张有奖，当甲没有中奖时乙中奖的概率
C.有$${{1}{0}}$$件产品，其中$${{3}}$$件次品，抽$${{2}}$$件产品进行检验，恰好抽到$${{1}}$$件次品的概率
D.小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是$$\frac{2} {5}，$$小明在一次上学途中遇到红灯的概率
8、['条件概率的概念及公式']正确率60.0%将两颗骰子各掷一次，设事件$${{A}{=}{“}}$$两个点数不相同$$n， ~ B=^{\omega}$$至少出现一个$${{6}}$$点$${{”}}$$，则概率$$P \; ( \boldsymbol{A} | \boldsymbol{B} )$$等于（）
A
A.$$\frac{1 0} {1 1}$$
B.$$\frac{5} {1 1}$$
C.$$\frac{5} {1 8}$$
D.$$\frac{5} {3 6}$$
9、['条件概率的概念及公式']正确率60.0%从编号为$$1， ~ 2， ~ \ldots， ~ 1 0$$的$${{1}{0}}$$个大小相同的球中任取$${{4}}$$个，已知选出$${{4}}$$号球的条件下，选出球的最大号码为$${{6}}$$的概率为$${{(}{)}}$$
A
A.$$\frac{1} {1 4}$$
B.$$\frac{1} {1 0}$$
C.$$\frac{1} {5}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
10、['事件的独立性与条件概率的关系'， '条件概率的应用'， '条件概率的概念及公式']正确率60.0%已知一种元件的使用寿命超过$${{1}}$$年的概率为$${{0}{.}{8}}$$，超过$${{2}}$$年的概率为$${{0}{.}{6}}$$，若一个这种元件使用到$${{1}}$$年时还未失效，则这个元件使用寿命超过$${{2}}$$年的概率为（）
A
A.$${{0}{.}{7}{5}}$$
B.$${{0}{.}{6}}$$
C.$${{0}{.}{5}{2}}$$
D.$${{0}{.}{4}{8}}$$
1. 题目给出 $$P(A) > 0$$ 和 $$P(B|A) + P(\overline{B}) = 1$$。由条件概率定义，$$P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)}$$，代入得： $$\frac{P(AB)}{P(A)} + 1 - P(B) = 1 \Rightarrow \frac{P(AB)}{P(A)} = P(B) \Rightarrow P(AB) = P(A)P(B)$$ 因此，事件 $$A$$ 与 $$B$$ 独立，答案为 C。
2. 选项分析： - A: $$P(C)$$ 是两次数字之和为6的概率，共有 (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) 5种情况，概率为 $$\frac{5}{36} \neq \frac{1}{6}$$，错误。 - B: $$P(A|D) = \frac{P(AD)}{P(D)}$$，$$D$$ 有 (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) 6种情况，$$AD$$ 是 (3,4)，概率为 $$\frac{1}{6}$$，而 $$P(A) = \frac{1}{6}$$，正确。 - C: $$P(A|C) = \frac{P(AC)}{P(C)}$$，$$AC$$ 是 (3,3)，概率为 $$\frac{1}{36}$$，$$P(C) = \frac{5}{36}$$，结果为 $$\frac{1}{5} \neq \frac{1}{6}$$，错误。 - D: $$P(BC)$$ 是第二次为2且和为6，即 (4,2)，概率为 $$\frac{1}{36}$$，而 $$P(B)P(C) = \frac{1}{6} \times \frac{5}{36} = \frac{5}{216}$$，不相等，错误。 答案为 B。
3. 已知男生甲比乙先出场，剩余4名女生和1名男生乙的排列中，甲固定在前。将甲乙视为一个整体，有5个位置可选，相邻的概率为 $$\frac{1}{5} \times 4 = \frac{4}{5}$$，但需考虑女生排列，实际计算为： 总排列数为 $$\frac{6!}{2} = 360$$，甲乙相邻且甲在前的排列数为 $$5! = 120$$，概率为 $$\frac{120}{360} = \frac{1}{3}$$。 但更简单的方法是固定甲在乙前，相邻情况为甲乙绑定，有5种位置，总排列为 $$\binom{6}{2} = 15$$，概率为 $$\frac{5}{15} = \frac{1}{3}$$，答案为 B。
4. 计算两部分： - $$P(AB)$$ 是第一次黑球且第二次白球，概率为 $$\frac{5}{9} \times \frac{4}{8} = \frac{5}{18}$$。 - $$P(B|A)$$ 是第一次黑球后第二次白球，概率为 $$\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$。 总和为 $$\frac{5}{18} + \frac{1}{2} = \frac{14}{18} = \frac{7}{9}$$，答案为 A。
5. 设白球数为 $$n$$，则至少有1个白球的概率为 $$1 - \frac{\binom{10-n}{2}}{\binom{10}{2}} = \frac{13}{15}$$，解得 $$n = 6$$。 在第二次取得白球的条件下，第一次取得黑球的概率为： $$\frac{P(\text{第一次黑且第二次白})}{P(\text{第二次白})} = \frac{\frac{4}{10} \times \frac{6}{9}}{\frac{6}{10}} = \frac{\frac{24}{90}}{\frac{6}{10}} = \frac{4}{9}$$，答案为 A。
6. 因为 $$A$$ 和 $$B$$ 独立，$$P(A|B) = P(A)$$。已知 $$P(AB) = P(A)P(B) = \frac{1}{3}$$，且 $$P(B) = \frac{2}{3}$$，所以 $$P(A) = \frac{1/3}{2/3} = \frac{1}{2}$$，答案为 D。
7. 条件概率需涉及已知条件下的事件概率： - A 是联合概率，非条件概率。 - B 是在甲未中奖的条件下乙中奖，是条件概率。 - C 是联合概率。 - D 是边际概率。 答案为 B。
8. 计算 $$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$$： - $$P(B) = 1 - P(\text{无6点}) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$$。 - $$AB$$ 是点数不同且至少一个6点，有 (6,1) 到 (6,5) 和 (1,6) 到 (5,6)，共10种，概率为 $$\frac{10}{36}$$。 因此 $$P(A|B) = \frac{10/36}{11/36} = \frac{10}{11}$$，答案为 A。
9. 在已选4号球的条件下，剩余3个球从1-5和6中选，且最大为6，则必须选6且另两个从1-5选。组合数为 $$\binom{5}{2} = 10$$，总组合数为 $$\binom{9}{3} = 84$$，概率为 $$\frac{10}{84} = \frac{5}{42}$$，但选项无此答案。重新审题，可能理解为固定4号球后，另3个球中最大为6，则需包含6且其余不超过6，组合数为 $$\binom{5}{2}$$，总组合数为 $$\binom{9}{3}$$，概率为 $$\frac{10}{84} = \frac{5}{42}$$，但选项最接近的是 A $$\frac{1}{14}$$（可能有误）。
10. 设 $$P(T > 1) = 0.8$$，$$P(T > 2) = 0.6$$，则条件概率为： $$P(T > 2 | T > 1) = \frac{P(T > 2)}{P(T > 1)} = \frac{0.6}{0.8} = 0.75$$，答案为 A。